Agrandissement, réduction et volumes : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « agrandissement, réduction et volumes », question par question.
Ce corrigé suit l’ordre du sujet et montre, pour chaque question, comment on identifie le coefficient k puis la puissance à utiliser. Les calculs d’aires et de volumes sont menés de deux façons quand c’est possible, pour que tu puisses contrôler tes résultats par une méthode différente de la tienne.
Les conversions d’unités de la maquette sont détaillées étape par étape, car elles expliquent une bonne partie des erreurs. Le barème sépare les points de méthode et ceux du résultat, et les encadrés « Piège classique » reviennent sur la confusion entre k, k² et k³. Refais ensuite l’exercice du verre sans aide : il résume tout le chapitre.
L’énoncé complet se trouve ici : Agrandissement, réduction et volumes : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : agrandissement, réduction et volumes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Longueurs, aires et volumes | 3 points |
| 2. La maison et sa maquette | 4 points |
| 3. La photo agrandie | 3 points |
| 4. Le cône coupé | 5 points |
| 5. Les verres coniques de Maëlys | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : agrandissement, réduction et volumes
Exercice 1 – Longueurs, aires et volumes (3 points)
- D’abord, les aires sont multipliées par \(k^2 = 3^2 = 9\).
\(12 \times 9 = 108\)
Le triangle agrandi a une aire de \(108\text{ cm}^2\). - Ensuite, les volumes sont multipliés par \(k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\).
\(480 \times \dfrac{1}{8} = 60\)
Le pavé réduit a un volume de \(60\text{ cm}^3\). - Enfin, l’aire a été multipliée par \(\dfrac{200}{50} = 4\), donc \(k^2 = 4\) et \(k = 2\) (car \(k\) est positif).
Les longueurs ont été multipliées par \(2\).
Piège classique : répondre \(4\) à la question c). Le quotient des aires donne \(k^2\), pas \(k\) : il faut encore prendre la racine carrée.
Exercice 2 – La maison et sa maquette (4 points)
- On exprime les deux largeurs dans la même unité : \(10\text{ m} = 1\,000\text{ cm}\).
\(k = \dfrac{20}{1\,000} = \dfrac{1}{50}\)
La maquette est bien une réduction de rapport \(\dfrac{1}{50}\). - Ensuite, \(7{,}5\text{ m} = 750\text{ cm}\) et \(750 \times \dfrac{1}{50} = 15\).
La maquette mesure \(15\text{ cm}\) de haut. - Ici, les aires sont multipliées par \(k^2 = \dfrac{1}{2\,500}\).
\(80\text{ m}^2 = 800\,000\text{ cm}^2\)
\(800\,000 \div 2\,500 = 320\)
La surface au sol de la maquette est de \(320\text{ cm}^2\). - Enfin, les volumes sont multipliés par \(k^3 = \dfrac{1}{125\,000}\).
\(400\text{ m}^3 = 400\,000\,000\text{ cm}^3\)
\(400\,000\,000 \div 125\,000 = 3\,200\)
Le volume intérieur de la maquette est de \(3\,200\text{ cm}^3\), soit \(3{,}2\) litres.
Piège classique : convertir \(80\text{ m}^2\) en \(8\,000\text{ cm}^2\). Comme \(1\text{ m} = 100\text{ cm}\), on a \(1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\) et \(1\text{ m}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3\).
Exercice 3 – La photo agrandie (3 points)
- \(k = \dfrac{25}{10} = 2{,}5\). Le rapport de l’agrandissement est \(2{,}5\).
- Ensuite, \(15 \times 2{,}5 = 37{,}5\). Le grand côté du tirage mesure \(37{,}5\text{ cm}\).
- Aire de la photo : \(10 \times 15 = 150\text{ cm}^2\).
Ensuite, aire du tirage : \(25 \times 37{,}5 = 937{,}5\text{ cm}^2\).
\(\dfrac{937{,}5}{150} = 6{,}25 = 2{,}5^2\)
Tom a tort : l’aire a été multipliée par \(6{,}25\), c’est-à-dire par \(k^2\), et non par \(2{,}5\). - Enfin, le rapport des aires est \(\dfrac{24}{150} = 0{,}16\), donc \(k^2 = 0{,}16\) et \(k = \sqrt{0{,}16} = 0{,}4\).
\(10 \times 0{,}4 = 4\) et \(15 \times 0{,}4 = 6\). Vérification : \(4 \times 6 = 24\).
La vignette mesure \(4\text{ cm}\) sur \(6\text{ cm}\).
Exercice 4 – Le cône coupé (5 points)
- D’abord, le triangle \(SOA\) est rectangle en \(O\). D’après le théorème de Pythagore :
\(SA^2 = SO^2 + OA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\)
\(SA = \sqrt{169} = 13\)
La génératrice mesure \(13\text{ cm}\). - Ensuite, \(k = \dfrac{SO^{\prime}}{SO} = \dfrac{4{,}8}{12} = 0{,}4\). Le rapport de réduction est \(0{,}4\).
- Puis le rayon de la section est l’image du rayon \(OA\) par la réduction :
\(O^{\prime}A^{\prime} = 0{,}4 \times 5 = 2\)
Le rayon de la section est \(2\text{ cm}\). On retrouve ce résultat avec le théorème de Thalès, car \((O^{\prime}A^{\prime})\) est parallèle à \((OA)\). - \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 = 100\pi\)
Le volume du grand cône est \(100\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(314{,}2\text{ cm}^3\). - Enfin, les volumes sont multipliés par \(k^3 = 0{,}4^3 = 0{,}064\).
\(V^{\prime} = 0{,}064 \times 100\pi = 6{,}4\pi\)
Vérification directe : \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 2^2 \times 4{,}8 = 6{,}4\pi\).
Le petit cône a un volume de \(6{,}4\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(20{,}1\text{ cm}^3\).
Piège classique : multiplier le volume par \(0{,}4\) et trouver \(40\pi\). Le petit cône est réduit dans les trois dimensions : son volume est multiplié par \(0{,}4^3\).
Exercice 5 – Les verres coniques de Maëlys (5 points)
- \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 9 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 9 = 48\pi\)
Un verre plein contient \(48\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(150{,}8\text{ cm}^3\). - Ensuite, le liquide forme une réduction du cône de rapport \(k = \dfrac{4{,}5}{9} = \dfrac{1}{2}\).
Les volumes sont multipliés par \(k^3 = \dfrac{1}{8}\), donc \(V_1 = \dfrac{48\pi}{8} = 6\pi \approx 18{,}8\).
Le verre contient seulement \(\dfrac{1}{8}\) de son volume, soit environ \(18{,}8\text{ cm}^3\). - Puis le rapport de réduction est \(k = \dfrac{7{,}2}{9} = 0{,}8\), donc \(k^3 = 0{,}8^3 = 0{,}512\).
\(V_2 = 0{,}512 \times 48\pi = 24{,}576\pi \approx 77{,}2\text{ cm}^3\)
La moitié du verre plein vaut \(24\pi \approx 75{,}4\text{ cm}^3\), et \(0{,}512 > 0{,}5\).
Le verre rempli à \(7{,}2\text{ cm}\) contient un peu plus de la moitié du volume du verre plein. - Enfin, \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\) et \(1\,000 \div 77{,}2 \approx 12{,}95\).
Douze verres utilisent \(12 \times 24{,}576\pi \approx 926{,}5\text{ cm}^3\), mais treize en demanderaient environ \(1\,003{,}7\text{ cm}^3\), plus que la carafe.
Maëlys peut servir entièrement \(12\) verres.
Piège classique : croire qu’un verre rempli à mi-hauteur est à moitié plein. Le volume dépend de \(k^3\) : à mi-hauteur, le verre ne contient qu’un huitième de sa contenance.
À retenir de ce contrôle
- Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.
- Le rapport k se calcule en divisant une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de la figure initiale, dans la même unité.
- Un plan parallèle à la base d’un cône découpe un petit cône qui est une réduction du grand, de rapport égal au quotient des hauteurs.
- Un cône rempli jusqu’à la moitié de sa hauteur ne contient qu’un huitième de son volume, car un demi au cube vaut un huitième.
- Pour convertir une aire, on multiplie par 10 000 pour passer des m² aux cm² ; pour un volume, par 1 000 000 des m³ aux cm³.
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