Diagrammes et comparaison de séries : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « diagrammes et comparaison de séries », question par question.
Cette correction détaille la lecture de chaque graphique avant les calculs, car une erreur d’effectif fausse ensuite toute la suite. Pour chaque série, tu trouveras le calcul de la moyenne pondérée, la recherche du rang de la médiane à l’aide des effectifs cumulés et l’étendue. Les questions de comparaison sont rédigées comme on l’attend au brevet : un argument chiffré, puis une phrase d’interprétation.
Le diagramme circulaire est tracé avec ses angles, et le barème indique la part de points attribuée à la méthode. Reprends d’abord les exercices où tu as hésité, puis compare tes phrases de conclusion aux nôtres.
L’énoncé complet se trouve ici : Diagrammes et comparaison de séries : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : diagrammes et comparaison de séries
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les notes de la 3e A | 4 points |
| 2. Deux classes face à face | 4 points |
| 3. Inès ou Hugo pour le relais | 4 points |
| 4. Les loisirs préférés | 4 points |
| 5. Le trajet jusqu’au collège | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : diagrammes et comparaison de séries
Exercice 1 – Les notes de la 3e A (4 points)
- D’abord, on additionne les hauteurs des barres : \(2 + 3 + 4 + 6 + 5 + 4 + 1 = 25\). 25 élèves de 3e A ont passé l’évaluation.
- \(M_A = \dfrac{4 \times 2 + 5 \times 3 + 6 \times 4 + 7 \times 6 + 8 \times 5 + 9 \times 4 + 10 \times 1}{25}\)
\(M_A = \dfrac{8 + 15 + 24 + 42 + 40 + 36 + 10}{25} = \dfrac{175}{25} = 7\)
La moyenne de la 3e A est 7 sur 10. - L’effectif est impair (25) : la médiane est la 13e note de la série rangée dans l’ordre croissant, car \(12\) notes sont avant et \(12\) après.
Effectifs cumulés : \(2\) (note 4), \(5\) (note 5), \(9\) (note 6), \(15\) (note 7).
Ainsi, les notes de rang 10 à 15 valent 7, donc la 13e note est 7. La médiane de la 3e A est 7. - Ensuite, \(10 – 4 = 6\). L’étendue est de 6 points.
- Au moins 8 : \(5 + 4 + 1 = 10\) élèves. Donc \(\dfrac{10}{25} = 0{,}4\). 40 % des élèves de 3e A ont obtenu au moins 8.
Piège classique : la médiane n’est pas « la note du milieu de l’axe » ni la note la plus fréquente : c’est la valeur du rang central de la série rangée.
Exercice 2 – Deux classes face à face (4 points)
- D’abord, \(1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 2 = 24\) : la 3e B compte bien 24 élèves.
Ensuite, \(M_B = \dfrac{2 + 3 + 4 + 10 + 24 + 21 + 48 + 36 + 20}{24} = \dfrac{168}{24} = 7\)
La moyenne de la 3e B est 7 sur 10. - L’effectif est pair (24) : la médiane est la moyenne des 12e et 13e notes.
Effectifs cumulés : \(1, 2, 3, 5, 9, 12\) (note 7), \(18\) (note 8).
La 12e note vaut 7 et la 13e vaut 8, donc la médiane vaut \(\dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5\).
Enfin, l’étendue vaut \(10 – 2 = 8\).
Médiane : 7,5 ; étendue : 8 points. - Les deux classes ont d’abord la même moyenne, 7 : sur ce point, le professeur a raison. Mais la médiane de la 3e B (7,5) est plus élevée que celle de la 3e A (7) : en 3e B, la moitié des élèves a eu au moins 7,5. En revanche, l’étendue de la 3e B (8) est plus grande que celle de la 3e A (6) : les notes de la 3e B sont plus dispersées, avec quelques élèves très en difficulté (2, 3 et 4), alors que la 3e A est plus homogène.
Exercice 3 – Inès ou Hugo pour le relais (4 points)
- On saisit =MOYENNE(B2:H2) dans la cellule I2.
- D’abord, Inès : \(\dfrac{31 + 29 + 30 + 32 + 28 + 30 + 30}{7} = \dfrac{210}{7} = 30\).
De même, Hugo : \(\dfrac{26 + 34 + 29 + 35 + 27 + 28 + 31}{7} = \dfrac{210}{7} = 30\).
Les deux coureurs ont un temps moyen de 30 secondes. - D’abord, Inès, temps rangés : 28 ; 29 ; 30 ; 30 ; 30 ; 31 ; 32. La 4e valeur est 30.
De même, Hugo, temps rangés : 26 ; 27 ; 28 ; 29 ; 31 ; 34 ; 35. La 4e valeur est 29.
Temps médian : 30 s pour Inès et 29 s pour Hugo. - D’abord, Inès : \(32 – 28 = 4\) ; Hugo : \(35 – 26 = 9\). Étendues : 4 s pour Inès et 9 s pour Hugo.
- Les moyennes sont égales, et Hugo a même un temps médian un peu meilleur. Pourtant, l’étendue des temps d’Inès (4 s) est bien plus petite que celle de Hugo (9 s) : ses temps varient peu. L’entraîneur doit donc choisir Inès, la plus régulière.
Piège classique : en course, un temps plus petit est meilleur ; une médiane de 29 s est donc une meilleure performance qu’une médiane de 30 s.
Exercice 4 – Les loisirs préférés (4 points)
| Loisir | Sport | Lecture | Musique | Jeux vidéo | Autre | Total |
| Effectif | 14 | 6 | 10 | 8 | 2 | 40 |
| Fréquence (en %) | 35 | 15 | 25 | 20 | 5 | 100 |
| Angle (en degrés) | 126 | 54 | 90 | 72 | 18 | 360 |
- Pour le sport : \(\dfrac{14}{40} = 0{,}35\), soit \(35\,\%\). De même : \(\dfrac{6}{40} = 15\,\%\), \(\dfrac{10}{40} = 25\,\%\), \(\dfrac{8}{40} = 20\,\%\), \(\dfrac{2}{40} = 5\,\%\). Les fréquences sont 35 %, 15 %, 25 %, 20 % et 5 %.
- Les 40 élèves correspondent à 360°, donc un élève correspond à \(360 \div 40 = 9^\circ\).
Ainsi, sport : \(14 \times 9 = 126^\circ\) ; lecture : \(6 \times 9 = 54^\circ\) ; musique : \(10 \times 9 = 90^\circ\) ; jeux vidéo : \(8 \times 9 = 72^\circ\) ; autre : \(2 \times 9 = 18^\circ\).
Enfin, on contrôle : \(126 + 54 + 90 + 72 + 18 = 360\). Les angles sont 126°, 54°, 90°, 72° et 18°. - D’abord, on trace un cercle de rayon 4 cm et un rayon de départ. Ensuite, on reporte les angles successivement au rapporteur.
Exercice 5 – Le trajet jusqu’au collège (4 points)
- D’abord, \(5 + 12 + 9 + 4 = 30\). 30 élèves ont répondu.
- D’abord, moins de 20 minutes : \(5 + 12 = 17\) élèves. Ensuite, \(\dfrac{17}{30} \approx 0{,}5667\). Environ 56,7 % des élèves mettent moins de 20 minutes.
- Ensuite, \(\dfrac{5 \times 5 + 15 \times 12 + 25 \times 9 + 35 \times 4}{30} = \dfrac{25 + 180 + 225 + 140}{30} = \dfrac{570}{30} = 19\)
La durée moyenne du trajet est estimée à 19 minutes. - L’effectif est 30 : la médiane est la moyenne des 15e et 16e durées rangées. Or 5 élèves mettent moins de 10 minutes et \(5 + 12 = 17\) élèves moins de 20 minutes. Ainsi, les 15e et 16e durées sont toutes les deux dans la classe de 10 à 20 minutes. La médiane est comprise entre 10 et 20 minutes : Lou a tort.
Piège classique : la classe la plus haute de l’histogramme n’est pas forcément celle de la médiane ; il faut raisonner avec les effectifs cumulés.
À retenir de ce contrôle
- La moyenne d’une série donnée par un tableau d’effectifs se calcule en divisant la somme des produits valeur fois effectif par l’effectif total.
- La médiane partage la série rangée en deux groupes de même effectif ; avec un effectif pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales.
- Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : l’étendue mesure la dispersion et permet de juger la régularité.
- Dans un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif : on multiplie la fréquence par 360°.
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