Statistiques et probabilités : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « statistiques et probabilités », question par question.
Cette correction est rédigée comme une copie de brevet. Pour chaque série, elle écrit le calcul de la moyenne pondérée en entier, puis elle justifie la médiane par le rang de la valeur centrale. Les probabilités sont données en fraction, puis en écriture décimale quand c’est utile.
Dans l’exercice des lancers de dé, tu verras comment commenter l’écart entre une fréquence et une probabilité sans conclure trop vite qu’un dé est truqué. Le problème de la tombola est ensuite résolu étape par étape, avec les recettes et les dépenses. Compare ta copie au barème détaillé, puis lis les pièges classiques et les points à retenir pour le brevet.
L’énoncé complet se trouve ici : Statistiques et probabilités : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : statistiques et probabilités
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. L’enquête sur les fratries | 4 points |
| 2. Le sac de jetons colorés | 4 points |
| 3. Les joueurs du club de basket | 4 points |
| 4. Six cents lancers de dé | 4 points |
| 5. La tombola du foyer | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : statistiques et probabilités
Exercice 1 – L’enquête sur les fratries (4 points)
- On additionne les effectifs des barres 2, 3 et 4 : \(7 + 3 + 2 = 12\). 12 élèves ont au moins deux frères et sœurs.
- On calcule la moyenne pondérée par les effectifs :
\(\dfrac{0 \times 4 + 1 \times 9 + 2 \times 7 + 3 \times 3 + 4 \times 2}{25} = \dfrac{0 + 9 + 14 + 9 + 8}{25}\)
\(\dfrac{40}{25} = 1{,}6\)
En moyenne, un élève de la 3e B a 1,6 frère ou sœur. - L’effectif total est 25, un nombre impair, donc la médiane est la 13e valeur de la série rangée. Or les valeurs 0 occupent les rangs 1 à 4, puis les valeurs 1 occupent les rangs 5 à 13. La médiane vaut 1 : au moins la moitié des élèves ont au plus un frère ou une sœur.
- La plus grande valeur est 4 et la plus petite est 0, donc \(4 – 0 = 4\). L’étendue est égale à 4.
- Les 25 élèves ont la même chance d’être choisis, et 4 d’entre eux n’ont ni frère ni sœur. La probabilité cherchée est \(\dfrac{4}{25} = 0{,}16\).
Piège classique : diviser la somme 40 par 5, le nombre de barres, au lieu de 25, l’effectif total.
Exercice 2 – Le sac de jetons colorés (4 points)
- Le sac contient \(10 + 8 + 7 = 25\) jetons, et chacun a la même chance d’être tiré. Parmi eux, 10 sont bleus. La probabilité de tirer un jeton bleu est \(\dfrac{10}{25} = 0{,}4\).
- Les jetons qui ne sont pas verts sont les \(10 + 8 = 18\) jetons bleus ou orange. On peut aussi utiliser l’événement contraire : \(1 – \dfrac{7}{25} = \dfrac{18}{25}\). La probabilité de ne pas tirer un jeton vert est \(\dfrac{18}{25} = 0{,}72\).
- La fréquence du bleu vaut \(\dfrac{74}{200} = 0{,}37\). Elle est donc proche de la probabilité 0,4, sans lui être égale, ce qui est normal pour une expérience aléatoire. La fréquence observée 0,37 est proche de la probabilité 0,4.
- Pour avoir une chance sur deux, il faut autant de jetons verts que de jetons non verts. Or il y a 18 jetons non verts, donc il faut 18 verts, soit \(18 – 7 = 11\) jetons à ajouter. Vérification : \(\dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}\). Il faut ajouter 11 jetons verts.
Piège classique : oublier qu’en ajoutant des jetons verts, le nombre total de jetons augmente lui aussi.
Exercice 3 – Les joueurs du club de basket (4 points)
- La somme des tailles vaut \(1\,969\) cm, donc la moyenne est \(\dfrac{1\,969}{11} = 179\). La taille moyenne des joueurs est 179 cm.
- On range d’abord les tailles dans l’ordre croissant : 168 ; 170 ; 172 ; 175 ; 178 ; 179 ; 181 ; 183 ; 185 ; 188 ; 190. Comme il y a 11 valeurs, la médiane est la 6e. La taille médiane est 179 cm.
- On calcule \(190 – 168 = 22\). L’étendue de la série est 22 cm.
- Avec 12 joueurs et une moyenne de 180 cm, la somme des tailles vaut \(12 \times 180 = 2\,160\) cm. Ainsi, le nouveau joueur mesure \(2\,160 – 1\,969 = 191\). Le nouveau joueur mesure 191 cm, soit 1,91 m.
- Cinq joueurs mesurent plus de 180 cm : 181, 183, 185, 188 et 190. La probabilité est \(\dfrac{5}{11} \approx 0{,}45\).
Exercice 4 – Six cents lancers de dé (4 points)
- On retire les effectifs connus du total : \(600 – (95 + 104 + 98 + 110 + 91) = 600 – 498 = 102\). La face 6 est sortie 102 fois.
- La fréquence de la face 4 vaut \(\dfrac{110}{600} \approx 0{,}183\). La fréquence d’apparition du 4 est environ 0,183.
- Un dé équilibré a 6 faces qui ont la même chance de sortir, dont une seule face 4. La probabilité d’obtenir 4 est \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\).
- L’écart entre 0,183 et 0,167 est faible, et les autres fréquences sont elles aussi proches de 0,167. En effet, sur 600 lancers, les fréquences fluctuent autour de la probabilité. Ces résultats ne permettent donc pas d’affirmer que le dé est truqué.
- Les résultats pairs sont 2, 4 et 6 : \(104 + 110 + 102 = 316\), puis \(\dfrac{316}{600} \approx 0{,}527\). Or trois faces sur six sont paires, alors la probabilité vaut \(\dfrac{3}{6} = 0{,}5\). La fréquence 0,527 est proche de la probabilité 0,5.
Piège classique : conclure qu’un dé est truqué dès qu’une fréquence diffère de la probabilité. Il faudrait un écart important, observé sur un très grand nombre de lancers.
Exercice 5 – La tombola du foyer (4 points)
- Les 400 tickets ont la même chance d’être achetés, et un seul fait gagner le gros lot. La probabilité est \(\dfrac{1}{400} = 0{,}0025\).
- Le nombre de tickets gagnants vaut \(1 + 9 + 30 = 40\), donc la probabilité de gagner un lot est \(\dfrac{40}{400} = \dfrac{1}{10}\). On retrouve bien \(\dfrac{1}{10}\).
- Ne rien gagner est l’événement contraire de gagner un lot : \(1 – \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}\). La probabilité de ne rien gagner est \(\dfrac{9}{10} = 0{,}9\).
- Les recettes s’élèvent à \(400 \times 2 = 800\) €. Ensuite, les lots coûtent \(250 + 9 \times 30 + 30 \times 5 = 250 + 270 + 150 = 670\) €. Enfin, \(800 – 670 = 130\). Le foyer réalise un bénéfice de 130 €.
- Pour une probabilité de \(15\,\%\), il faut \(0{,}15 \times 400 = 60\) tickets gagnants, soit \(60 – 40 = 20\) petits lots de plus. Ceux-ci coûtent \(20 \times 5 = 100\) €, par conséquent le bénéfice devient \(130 – 100 = 30\) €. Le foyer doit ajouter 20 petits lots, et son bénéfice sera alors de 30 €.
À retenir de ce contrôle
- La moyenne d’une série donnée par effectifs se calcule en additionnant les produits valeur fois effectif, puis en divisant par l’effectif total.
- Pour trouver la médiane, on range les valeurs dans l’ordre croissant et on prend la valeur centrale, ou la moyenne des deux valeurs centrales.
- Quand on tire au hasard dans une population, la probabilité d’un caractère est l’effectif de ce caractère divisé par l’effectif total.
- Sur un grand nombre d’essais, la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité, mais elle ne lui est presque jamais égale.
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Consolider statistiques et probabilités après ce corrigé
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