Expériences à deux épreuves et fréquences : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « expériences à deux épreuves et fréquences », question par question.
Cette correction suit l’ordre du sujet et rédige chaque réponse comme au brevet : on nomme l’événement, on compte les issues favorables, puis on donne la probabilité sous forme de fraction simplifiée. Le tableau des deux roues est complété en entier, afin que tu puisses vérifier ton comptage.
Pour les tirages avec remise, l’arbre pondéré est dessiné avec toutes ses probabilités. La partie sur la simulation explique aussi pourquoi une fréquence s’approche de la probabilité sans jamais l’égaler forcément. Compare ta copie, puis compte tes points avec le barème. Les pièges signalés montrent enfin les erreurs fréquentes, comme oublier qu’un double ne compte qu’une fois.
L’énoncé complet se trouve ici : Expériences à deux épreuves et fréquences : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : expériences à deux épreuves et fréquences
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La somme de deux dés | 4 points |
| 2. Les deux roues de Léo et Awa | 4 points |
| 3. Deux tirages avec remise | 4 points |
| 4. La simulation au tableur | 4 points |
| 5. Le stand de la kermesse | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : expériences à deux épreuves et fréquences
Exercice 1 – La somme de deux dés (4 points)
- D’abord, le tableau a 6 lignes et 6 colonnes : \(6 \times 6 = 36\). L’expérience compte 36 issues équiprobables.
- Ensuite, la somme 7 apparaît 6 fois dans le tableau, sur la diagonale qui va de (1 ; 6) à (6 ; 1).
\(P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
La probabilité d’obtenir 7 est \(\frac{1}{6}\). - De plus, on compte les cases 10, 11 et 12 : 3 cases de 10, puis 2 cases de 11 et 1 case de 12, soit 6 cases.
\(P(\text{somme} \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
La probabilité est \(\frac{1}{6}\). - Une somme est paire quand les deux dés ont la même parité. Il y a \(3 \times 3 = 9\) issues avec deux nombres pairs, puis 9 autres avec deux nombres impairs, donc 18 issues.
\(P(\text{somme paire}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)
La probabilité d’obtenir une somme paire vaut bien \(\frac{1}{2}\). - La somme 7 apparaît 6 fois, alors que toute autre somme apparaît au plus 5 fois. La somme 7 a le plus de chances de sortir.
Piège classique : dire qu’il y a 11 sommes possibles (de 2 à 12), donc une probabilité de \(\frac{1}{11}\) pour chacune. Or ces sommes ne sont pas équiprobables : seules les 36 issues du tableau le sont.
Exercice 2 – Les deux roues de Léo et Awa (4 points)
- Tout d’abord, on croise les 3 secteurs de la roue 1 avec les 4 secteurs de la roue 2 : \(3 \times 4 = 12\). Il y a 12 issues équiprobables. Voici les produits, puis les sommes.
| Produit | Roue 2 : 1 | 2 | 3 | 4 |
| Roue 1 : 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 |
| Somme | Roue 2 : 1 | 2 | 3 | 4 |
| Roue 1 : 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
- Ensuite, les produits pairs sont 2, 4, 2, 4, 6, 8, 6 et 12, soit 8 issues.
\(P(\text{Léo}) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)
Léo marque un point avec la probabilité \(\frac{2}{3}\). - De même, les sommes paires sont 2, 4, 4, 6, 4 et 6, soit 6 issues.
\(P(\text{Awa}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
Awa marque un point avec la probabilité \(\frac{1}{2}\). - Enfin, on compare : \(\frac{2}{3} \approx 0{,}67\) et \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Léo a donc le plus de chances de marquer.
Piège classique : croire qu’un produit et une somme ont les mêmes chances d’être pairs. En effet, un produit est pair dès qu’un seul des facteurs est pair, ce qui arrive bien plus souvent.
Exercice 3 – Deux tirages avec remise (4 points)
- Le sac contient 5 boules, dont 3 rouges : \(P(R) = \frac{3}{5}\) et \(P(V) = \frac{2}{5}\). Comme la boule est remise, ces probabilités restent les mêmes au second tirage. On obtient l’arbre ci-dessous.
- D’abord, on multiplie les probabilités le long du chemin R puis R.
\(P(RR) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\)
La probabilité de tirer deux boules rouges est \(\frac{9}{25}\), soit \(0{,}36\). - Ensuite, deux boules de même couleur correspondent aux chemins RR et VV.
\(P(VV) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\)
\(P(\text{même couleur}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}\)
La probabilité est \(\frac{13}{25}\), soit \(0{,}52\). - Le contraire de « au moins une boule verte » est « aucune boule verte », c’est-à-dire RR.
\(1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)
La probabilité de tirer au moins une boule verte est \(\frac{16}{25}\), soit \(0{,}64\).
Piège classique : additionner \(\frac{3}{5} + \frac{3}{5}\) pour deux rouges. Sur un chemin, on multiplie ; on n’additionne que les probabilités de chemins différents.
Exercice 4 – La simulation au tableur (4 points)
- D’abord, pour 10 lancers, on lit une fréquence de 0,3.
\(0{,}3 \times 10 = 3\)
La somme 7 est sortie 3 fois. - Ainsi, le nombre de sommes 7 est égal à la fréquence multipliée par l’effectif total.
\(0{,}22 \times 50 = 11\)
Bastien a obtenu 11 fois la somme 7. - À partir de 500 lancers, les points restent proches de 0,17. Or \(\frac{1}{6} \approx 0{,}167\). La fréquence se stabilise autour de 0,167, c’est-à-dire autour de la probabilité \(\frac{1}{6}\). Pour peu de lancers, en revanche, elle peut en être très éloignée, comme 0,3 pour 10 lancers.
- Enfin, on applique la même méthode qu’à la question 2.
\(0{,}1668 \times 5\,000 = 834\)
Bastien a obtenu 834 sommes égales à 7.
Piège classique : penser que 3 sommes 7 sur 10 lancers prouvent que les dés sont truqués. Quand on fait peu d’essais, la fréquence varie beaucoup ; c’est pourquoi on ne conclut qu’avec un grand nombre de lancers.
Exercice 5 – Le stand de la kermesse (4 points)
- Il y a 36 issues équiprobables. D’abord, l’écart vaut 0 pour les 6 doubles : (1 ; 1), (2 ; 2)… (6 ; 6). Ensuite, l’écart vaut 1 pour (1 ; 2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 4), (5 ; 6) et (6 ; 5), soit 10 issues. Il y a donc \(6 + 10 = 16\) issues gagnantes.
\(P(\text{gagner}) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\)
La probabilité de gagner est bien \(\frac{4}{9}\). - On a \(\frac{4}{9} \approx 0{,}44\), alors qu’un jeu équitable demanderait \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Le jeu n’est pas équitable : il est défavorable au joueur.
- L’écart vaut 2 pour (1 ; 3), (3 ; 1), (2 ; 4), (4 ; 2), (3 ; 5), (5 ; 3), (4 ; 6) et (6 ; 4), soit 8 issues de plus.
\(P(\text{gagner}) = \frac{16 + 8}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\)
Or \(\frac{2}{3} \approx 0{,}67 > 0{,}5\). Le jeu devient donc favorable au joueur.
Piège classique : compter (1 ; 2) et (2 ; 1) comme une seule issue. Pourtant, les deux dés sont distincts : ce sont deux issues différentes du tableau.
À retenir de ce contrôle
- Avec deux dés, on obtient 36 issues équiprobables : un tableau à double entrée permet de toutes les voir sans en oublier.
- Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités écrites sur ses branches.
- La probabilité d’un événement contraire se calcule par 1 moins la probabilité de l’événement.
- Quand le nombre d’essais augmente, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité, mais elle varie d’une simulation à l’autre.
- Un jeu est équitable lorsque chaque joueur a la même probabilité de gagner, par exemple une chance sur deux pour deux joueurs.
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