Sections de solides et volumes : exercices de maths en 3ème corrigés à télécharger en PDF

Une pyramide SABCD à base rectangulaire par un plan parallèle à sa base à 5 cm du sommet. AB = 4,8 cm ; BC = 4,2 cm et SH = 8 cm.

a. Calculer le coefficient K de réduction entre les pyramides SABCD et SA'B'C'D'.

b. Calculer le volume de la pyramide SABCD.

c. En déduire le volume de la pyramide SA'B'C'D'.

On a représenter ci-contre un réservoir parallélépipédique permettant de mesurer la hauteur d'eau tombée dans un jardin pendant une averse (voir ci-dessous)

1. On assimile les gouttes d'eau à des boules de diamètre 4 mm. Calculer le volume d'une goutte d'eau. Donner leur valeur exacte.

2. La hauteur d'eau tombée pendant cette averse est égale à 8 cm. Calculer le nombre de gouttes d'eau contenues dans le réservoir. On donnera la valeur approché par défaut.

On donne : AB = 6 m, AE = 5 m, AD = 1,80 m, BC = 0,80 m.

Sur le schéma ci dessus, les dimensions ne sont pas respectées.

1. Montrer que le volume ce cette piscine est 39 m3 .

2. A la fin de l'été, M. Dujardin vide sa piscine à l'aide d'une pompe dont le débit est 5 m3 par heure.

Calculer le nombre de m3 restant dans la piscine au bout de 5 heures.

Calculer le volume du pavé droit (parallélépipède rectangle ) suivant :

Calculer le volume de ce cône de révolution sachant que SO = 8 cm et OA = 6 cm (arrondir le résultat au mm² près).

Calculer le volume du cylindre ci-dessous, sachant que : \(R = 3\ \text{cm}\) et \(h = 5\ \text{cm}\) (donner le résultat au \(\text{mm}^2\) près).

Calculer le volume de cette pyramide sachant que : ABCD est un carré de \(8\ \text{cm}\) et \(h = 11\ \text{cm}\).

Arrondir le résultat au \(\text{mm}^2\) près.

Calculer le volume du prisme droit sachant que : ABC est rectangle en C et \(CB = 5\ \text{cm}\), \(CA = 4\ \text{cm}\) et \(AD = 7\ \text{cm}\).

Calculer le volume de ce prisme droit sachant que : ABC est rectangle et isocèle en B et \(BA = BC = BF = 5\ \text{cm}\).

Dans un verre conique de hauteur \(8\ \text{cm}\) et de rayon \(6\ \text{cm}\), je mets 3 boules de glace de rayon \(3\ \text{cm}\) chacune.

Je n'ai pas le temps de les manger !! trop de copies à corriger.

Les 3 boules fondent !!

La glace va-t-elle déborder ?? Si oui, combien de cL de glace ai-je perdu ?

Une boîte cylindrique contient 3 balles de tennis de rayon \(3{,}4\ \text{cm}\).

1. Fais une figure, dans le cas où la boîte a des dimensions minimales.
2. Quelles sont les dimensions minimales de cette boîte (hauteur et rayon) ?
3. Calcule le volume de la boîte et le volume des trois balles.
4. Calcule le pourcentage de « vide » dans cette boîte contenant les 3 balles.

Un tajine est un plat composé d'une assiette circulaire et d'un couvercle en forme de cône qui s'emboîte parfaitement sur l'assiette.

L'assiette de ce tajine a un rayon [OA] qui mesure \(15\ \text{cm}\) et la génératrice du cône [SA] mesure \(25\ \text{cm}\).

1) Calculer la hauteur OS du cône.

2) Montrer que la valeur exacte du volume du cône est égale à \(1500\pi\ \text{cm}^3\).

Le cône de révolution ci-dessous de sommet S a une hauteur [SO] de \(9\ \text{cm}\) et un rayon de base [OA] de \(5\ \text{cm}\).

a. Calculer le volume \(V_1\) de ce cône au \(\text{cm}^3\) près.

b. Soit M le point du segment [SO] tel que \(SM = 3\ \text{cm}\).

On coupe le cône par un plan parallèle à la base passant par M.

Calculer le rayon de cette section.

c. Calculer le volume \(V_2\) du petit cône de sommet S ainsi obtenu au \(\text{cm}^3\) près.

Un cornet de glace est formé par un cône de révolution de hauteur \(10\ \text{cm}\) et une demi-boule de rayon \(3\ \text{cm}\).

Le cône est rempli complètement de glace.

Calculer la quantité nécessaire de glace, en cL, nécessaire pour confectionner ce cornet.

D'un bloc de pierre ayant la forme d'un pavé droit ADEFIJKL, un sculpteur veut extraire le prisme droit ABCDFGHE ayant pour base le trapèze isocèle ABCD.

On donne : \(AD = 40\ \text{cm}\) ; \(AI = 15\ \text{cm}\) ; \(AF = 20\ \text{cm}\) ; \(IB = 5\ \text{cm}\).

1) a) Calculer l'aire du trapèze ABCD.

b) Calculer le volume du prisme ABCDFGHE.

2) Calculer AB (donner la valeur exacte).

3) Calculer \(\tan(\widehat{BAI})\).

En déduire la valeur arrondie de \(\widehat{BAI}\) à un degré près.

Un réservoir d'eau est formé d'une partie cylindrique et d'une partie conique.

1. Donner, en \(\text{dm}^3\), le volume exact de la partie cylindrique en utilisant le nombre \(\pi\).

2. Donner, en \(\text{dm}^3\), le volume exact de la partie conique en utilisant le nombre \(\pi\).

3. Donner le volume exact du réservoir, puis sa valeur arrondie à \(1\ \text{dm}^3\) près.

4. Ce réservoir peut-il contenir 1000 litres ? Justifier la réponse.

Un lingot d'or ayant la forme d'un parallélépipède rectangle a les dimensions suivantes :

- Longueur \(L = 7{,}5\ \text{cm}\) ;

- largeur \(l = 3\ \text{cm}\) ;

- hauteur \(h = 2{,}3\ \text{cm}\)

On sait que la masse volumique de l'or est \(19{,}3\ \text{g/cm}^3\).

1. Calculer le volume de ce lingot d'or.

2. Calculer la masse de ce lingot d'or.

3. On décide de reproduire ce lingot en l'agrandissant à l'échelle 3.

Quel sera alors le volume de la maquette obtenue ? Justifier la réponse.

Sur la figure ci-contre, on a un cône de révolution tel que \(SA = 12\ \text{cm}\). Un plan parallèle à la base coupe le cône tel que \(SA^{\prime} = 3\ \text{cm}\).

a) Le rayon du disque de base du grand cône est de \(7\ \text{cm}\). Calcule la valeur exacte du volume du grand cône.

b) Quelle est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône ?

c) Calcule la valeur exacte du volume du petit cône puis une valeur arrondie au \(\text{cm}^3\).

Un moule à muffins (un muffin est une pâtisserie) est constitué de neuf cavités.

Toutes les cavités sont identiques.

Chaque cavité a la forme d'un tronc de cône (cône coupé par un plan parallèle à sa base) représenté ci-contre.

1. Montrer que le volume d'une cavité est d'environ \(125\ \text{cm}^3\).

2. Léa a préparé 1 litre de pâte. Elle veut remplir chaque cavité du moule aux \(\dfrac{3}{4}\) de son volume.

A-t-elle suffisamment de pâte pour les neuf cavités du moule ? Justifier la réponse.

en organisant sa démarche.

Calculer le volume au \(\text{cm}^3\) près de chacun des cônes représentés ci-dessous.

a.

b.

Un restaurant propose des coupes de glace composées de trois boules, supposées parfaitement sphériques, de diamètre \(4{,}2\ \text{cm}\).

La restauratrice doit faire 100 coupes de glace avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

Les pots de glace au chocolat ont la forme d'un pavé droit. Les pots de glace à la vanille ont la forme d'un cylindre.

▶ Combien la restauratrice doit-elle acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ?

La pyramide du Louvre est une pyramide à base carrée d’aire \(1\,225\ \text{m}^2\) et de hauteur \(22\ \text{m}\). Pour protéger les visiteurs du soleil et de la chaleur, on décide de tendre un voile carré IJKL, d^{\prime}aire \(784\ \text{m}^2\).

▶ À quelle hauteur du sommet faut-il placer le voile ?

Un marchand indique sur sa nouvelle boite de conserve qu'il a rajouté \(27\ \%\) de produit en plus par rapport à l'ancien modèle.

● Quelle est la hauteur de la nouvelle boite de conserve sachant que le diamètre n'a pas changé ? Justifier la réponse.

La dernière bouteille de parfum de chez Chenal a la forme d’une pyramide SABC à base triangulaire de hauteur [AS] telle que :

• ABC est un triangle rectangle et isocèle en A ;
• \(AB = 7{,}5\ \text{cm}\) et \(AS = 15\ \text{cm}\).

1. Calculer le volume de la pyramide SABC. (On arrondira au \(\text{cm}^3\) près.)

2. Pour fabriquer son bouchon SS^{\prime}MN, les concepteurs ont coupé cette pyramide par un plan P parallèle à sa base et passant par le point S^{\prime} tel que \(SS^{\prime} = 6\ \text{cm}\).

a. Quelle est la nature de la section plane S’MN obtenue ?

b. Calculer la longueur S’N.

3. Calculer le volume maximal de parfum que peut contenir cette bouteille en \(\text{cm}^3\).

Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre \(4{,}2\ \text{cm}\).

Le pot de glace au chocolat ayant la forme d'un parallélépipède rectangle est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

a. Montrer que le volume d'un pot de glace au chocolat est \(3\,600\ \text{cm}^3\). ……………

b. Calculer la valeur arrondie au \(\text{cm}^3\) du volume d'un pot de glace à la vanille.

Ce moule à gâteau a la forme d’un pavé droit à base carrée dans lequel on a évidé une demi-boule.

a. Calcule le volume de plastique nécessaire pour fabriquer ce moule, arrondi au centième de \(\text{cm}^3\). ……………

b. Ce moule a servi à Catherine pour faire un gâteau qu^{\prime}elle veut à présent napper de chocolat. Détermine la surface de gâteau à recouvrir, arrondie au centième de \(\text{cm}^2\).

Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de \(35\ \text{m}^2\).

Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.

On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.

On rappelle les formules suivantes :

Aire du disque \(= \pi \times \text{rayon}^2\)

Volume du cylindre \(= \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}\)

Volume du cône \(= \dfrac{1}{3} \times \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}\)

1) Montrer que l^{\prime}appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.

2) Calculer le volume de la yourte en \(\text{m}^3\).

3) Samia réalise une maquette de cette yourte à l’échelle \(\dfrac{1}{25}\). Quelle est la hauteur de la maquette ?

La pyramide de Khéops a été construite il y a plus de 4 500 ans en Égypte.

C'est la plus grande des fameuses pyramides de Gizeh, près du Caire. Sa base est carrée et mesure 230 mètres. Sa hauteur est de 137 mètres.

On a calculé qu'il avait fallu 2 300 000 blocs de pierre d'une masse moyenne de 2,3 t pour l'édifier. Napoléon a même calculé qu'avec ces blocs, on aurait pu édifier un mur de 3 mètres de haut et de 30 cm d'épaisseur le long des frontières de la France.

Il aura fallu 20 années et une main d'œuvre de 10 000 hommes renouvelés tous les trois mois selon Hérodote pour construire cet édifice.

1. Combien d'hommes auraient participé à la construction de la pyramide ?

2. Quelle est l'aire de la base de la pyramide ?

3. Quel est le volume de la pyramide ?

4. Quel est le volume moyen d'un bloc de pierre ?

5. Quelle est la masse de la pyramide ?

6. La taille des blocs utilisés à la base de la pyramide mesurent en moyenne 2,50 m de long, 1 m de large et 1,20 m de haut.

- Combien de blocs a-t-il fallu utiliser pour construire la base de la pyramide ?

- Quel volume ces pierres représentent-elles ?

Le bac à fleurs ABCDEFGH est un tronc de pyramide qui a été formé en coupant la pyramide régulière SABCD par un plan parallèle à sa base. Les quadrilatères ABCD et EFGH sont deux carrés de centre respectifs O et M. On donne : \(AB = 70\ \text{cm}\), \(EF = 30\ \text{cm}\) et \(OM = 60\ \text{cm}\).

On note h la longueur SO en cm.

1a) Expliquer pourquoi : \(SM = \dfrac{3}{7}SO\)

1b) Expliquer pourquoi : \(h - 60 = \dfrac{3}{7}h\)

1c) En déduire la valeur de h.

2) Calculer le volume V en litres de ce bac.

Un pavé droit de dimensions \(4\ \text{cm}\), \(4\ \text{cm}\) et \(8\ \text{cm}\) contient deux boules de rayon \(2\ \text{cm}\).

Calculer le volume, en \(\text{cm}^3\), de l'espace laissé libre par les deux boules. Donner une valeur approchée au centième près.

Une piscine pleine d'eau a la forme d'un cylindre de rayon \(3{,}50\ \text{m}\) et de hauteur \(1{,}50\ \text{m}\). En y plongeant une caisse cubique de \(1{,}20\ \text{m}\) de côté, l'eau déborde.

Calculer une valeur approchée au centième près de la quantité d'eau, en L, restant dans la piscine.

On souhaite construire un bloc en béton percé de trois cylindres. Chaque cylindre a un diamètre de \(30\ \text{cm}\) et une hauteur de \(40\ \text{cm}\). Un espace de \(10\ \text{cm}\) sépare les cylindres entre eux. Un espace de \(10\ \text{cm}\) sépare les cylindres des parois du bloc. Un espace de \(10\ \text{cm}\) sépare le fond des cylindres du fond du bloc.

1. Déterminer les dimensions extérieures du bloc.

2. Déterminer combien de litres de béton seront nécessaires, au cL près, pour la fabrication du bloc.

Sachant que l'eau coûte environ \(3\ \text{€}\) le mètre cube, combien coûtera, à la dizaine d'euros près, le remplissage de la piscine représentée ci-dessous, aux \(\dfrac{5}{6}\) de sa hauteur ?

Le cône de révolution proposé ci-contre, de hauteur 36 décimètres, a été coupé par un plan parallèle à sa base.

Calculer le volume du grand cône.

Déterminer le rapport de réduction et en déduire le volume du petit cône vert.

SABCD est une pyramide régulière à base carrée de côté 6 centimètres et de hauteur [SO] avec \(SO = 7{,}5\) centimètres. Un plan parallèle à sa base coupe [SO] en I de telle sorte que \(SI = 2{,}5\) centimètres. Calculer le volume de la pyramide SABCD. Déterminer le rapport de réduction et en déduire le volume de la petite pyramide SMNPQ.

Un cône de révolution de sommet S et de base un disque de centre O est coupé par un plan parallèle à sa base. La section est le cercle de centre I qui passe par B point d'intersection du segment [SA] avec le plan. On donne \(SO = 10\) cm, \(OA = 7{,}5\) cm et \(SI = 6\) cm. Calculer le volume du grand cône de base le disque de rayon [OA]. Déterminer le rapport de réduction et en déduire le volume du petit cône de base le disque de rayon [IB].

Une boîte de crème glacée a la forme d'un tronc de pyramide ABCDEFGH comme l'indique la figure ci-contre.

ABCD est un carré de centre O et EFGH est un carré de centre O'. [SO] est la hauteur de la pyramide SABCD.

Les plans ABCD et EFGH sont parallèles. On donne les longueurs suivantes :

• \(AB = 16\) cm,
• \(EF = 12\) cm,
• \(SO = 32\) cm.

1. Dans le triangle SAB, calculer \(\dfrac{SE}{SA}\).

2. En déduire la longueur \(SO^{\prime}\).

3. Calculer le volume de la pyramide SABCD.

4. Calculer le volume de la pyramide SEFGH et en déduire le volume de la boîte.

5. Le volume de la boîte sera-t-il suffisant pour contenir 1,5 litre de crème glacée ?

Naranja presse vingt-quatre oranges identiques. Elle verse le jus obtenu dans un pichet en forme de cylindre.

Le jus d'orange va-t-il déborder du pichet ?

Vous présenterez votre démarche en faisant figurer toutes les pistes de recherche, même si elles n'ont pas abouti.

Doc. 1 • Les oranges

1 orange donne 35 % de son volume en jus.

Doc. 2 • Le pichet

On considère une gélule constituée de deux demi-sphères identiques de diamètre \(9{,}5\) mm et d'une partie cylindrique d'une hauteur de \(16{,}6\) mm comme l'indique le croquis ci-contre.

Robert tombe malade et son médecin lui prescrit comme traitement une boîte d'antibiotique conditionné en gélules correspondant au croquis ci-dessus. Chaque gélule de cet antibiotique a une masse volumique de \(6{,}15 \times 10^{-4}\) g/mm3. La boîte d'antibiotique contient 3 plaquettes de 6 gélules. Quelle masse d'antibiotique Robert a-t-il absorbée durant son traitement ? Donner le résultat en grammes arrondi à l'unité.

Un menuisier fabrique une poupée culbuto à partir de deux sphères. La petite sphère \((S)\) de centre \(O\) a un rayon de \(1{,}5\) cm. La grande sphère \((S^{\prime})\) de centre \(O^{\prime}\) a un rayon de \(4{,}1\) cm.

L'artisan coupe la petite sphère par un plan \((P)\). La distance du point \(O\) au plan \((P)\) est la longueur \(OH = 1{,}2\) cm.

Il doit ensuite couper la grande sphère par un plan \((P^{\prime})\). La distance du point \(O^{\prime}\) au plan \((P^{\prime})\) est la longueur \(O^{\prime}H^{\prime}\).

Afin de les assembler, il veut que les deux sections aient le même rayon.

Calculer la longueur \(O^{\prime}H^{\prime}\).

Pour décorer sa table, Daphnée achète des bougies en forme de boule, de diamètre 10 cm, qu'elle coupe en suivant un plan de telle sorte que la base de chaque bougie ait un diamètre de 6 cm.

Elle souhaite connaître la hauteur SH de la bougie découpée.

O est le centre de la boule et H est le centre de la section.

[SH] passe par O et est perpendiculaire à la table.

Quelle est la hauteur SH de la bougie ainsi découpée ? Justifier votre réponse.