Théorème de Thalès : exercices de maths en 3ème corrigés à télécharger en PDF

On sait que (BM) // (AC) et que (AB) // (NC).

Montrer que \(OA^{2} = OM \times ON\).

ABC est un triangle tel que : AB = 8 cm ; AC = 6,4 cm et BC = 4,9 cm.

Le point E appartient à la demi-droite [AB) : AE = 12 cm.

Le point F appartient à la demi-droite [AC) : AF = 9,6 cm.

a) Calculer l'angle \(\widehat{A}\).

b) Quelle est la nature du triangle AEF ? Justifier votre réponse.

Peut-on utiliser le théorème de Thalès dans les figures ci-dessous ? Justifier votre réponse.

e. [WX] est un diamètre du cercle \(\varphi\) et [XZ] est un diamètre du cercle \(\varphi^{\prime}\).

Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB sont opposés par le sommet.

Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles.

On a KA = 4,5 cm ; KS = 6 cm et SI = 4 cm.

Calculer la longueur BI.

Un skieur dévale, tout schuss, une piste rectiligne représentée ci-dessous par le segment [BC] de longueur 1 200 m.

À son point de départ C, le dénivelé par rapport au bas de la piste, donné par la longueur AC, est de 200 m.

Après une chute, il est arrêté au point D sur la piste.

Le dénivelé, donné par la longueur DH, est alors de 150 m.

Calculer la longueur DB qu'il lui reste à parcourir.

La figure n'est pas à l'échelle.

Par un beau dimanche ensoleillé, Julien se promène au pied de la montagne Sainte Victoire au bord de la rivière Arc.

Il se demande quelle est la largeur de cette rivière.

Il prend des repères, compte ses pas et dessine le schéma ci-dessous.

a. Quel est, en nombre de pas, la largeur de la rivière qu'obtient approximativement Julien ?

b. Julien estime la longueur de son pas à 65 cm.

Donner une valeur approximative de la largeur de cette rivière au centimètre près.

Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois.

Sur le schéma ci-dessous, les mesures sont en mètre.

a. En considérant que le montant \([BS]\) est perpendiculaire au sol, calculer la longueur \(AS\).

b. Calculer les longueurs \(SM\) et \(SN\).

c. Démontrer que la traverse \([MN]\) est bien parallèle au sol.

Julien souhaite préparer un spectacle de marionnettes en ombres chinoises.

Son écran mesure 2 m et sa marionnette mesure 24 cm.

Perché sur une estrade, il tient sa marionnette à 30 cm de la lumière, placée sous l'estrade.

À quelle distance de la source de lumière doit-il placer l'écran pour agrandir sa marionnette au maximum ?

Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un confiseur.

Pour cela, il considère une pyramide régulière \(SABCD\) à base carrée où \(O\) est le centre du carré \(ABCD\).

On a \(OA = 12\ \text{cm}\) et \(SA = 20\ \text{cm}\).

a. Préciser la nature du triangle \(AOS\) et montrer que \(SO = 16\ \text{cm}\).

b. L'artisan coupe cette pyramide \(SABCD\) par un plan parallèle à la base tel que \(SM = 2\ \text{cm}\) où \(M\) est le centre de la section \(IJKL\) ainsi obtenue. Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide \(SABCD\) en la pyramide \(SIJKL\).

c. En déduire la longueur \(SI\) puis la longueur \(IA\).

Un funiculaire part de \(D\) pour se rendre à \(A\) suivant la droite \((DA)\).

\(DM = 420\ \text{m}\) ; \(DH = 1000\ \text{m}\) ; \(MP = 252\ \text{m}\).

Les triangles \(DPM\) et \(DAH\) sont respectivement rectangles en \(P\) et \(H\).

1) Calculer la distance \(DP\) en mètre.

2) a) Démontrer que les droites \((MP)\) et \((HA)\) sont parallèles.

b) Calculer la distance \(DA\) en mètre puis en kilomètre.

Le mur ci-dessous est constitué de briques de 10 cm sur 20 cm (et 10 cm de profondeur).

Il constitue le point d'appui d'une structure métallique.

Pour cela il est nécessaire d'avoir \((AB)\) parallèle à \((CD)\).

A-t-on \((AB)\) parallèle à \((CD)\) ?

Le démontrer.

Remarque :

Pour sceller (« coller ») les briques, il est nécessaire d'avoir du mortier. On ne tiendra pas compte de cette épaisseur car elle est déjà incluse dans les \(10 \times 10 \times 20\ \text{cm}\).

Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois. Sur le dessin ci-dessous, on donne :

\(BS = 6\ \text{m}\) ; \(BN = 1{,}8\ \text{m}\) ; \(AM = 1{,}95\ \text{m}\) ; \(AB = 2{,}5\ \text{m}\).

1 En considérant que le montant \([BS]\) est perpendiculaire au sol, calculer la longueur \(AS\).

2 Calculer les longueurs \(SN\) et \(SM\).

3 Démontrer que la traverse \([MN]\) est bien parallèle au sol.

On donne la figure suivante.

Dans chaque cas, indiquer si les droites sont parallèles en justifiant.

a. \((MN)\) et \((IJ)\). b. \((AB)\) et \((MN)\). c. \((AB)\) et \((IJ)\).

Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) les droites \((AB)\) et \((A^{\prime}B^{\prime})\) sont-elles parallèles ?

\(OA^{\prime} = 2x\)

\(OB^{\prime} = x + 1\)

\(OA = 3\)

\(OB = 2\)

La table à repasser est-elle bien horizontale ? Justifier.

Pour illustrer l'exercice, la figure ci-dessous a été faite à main levée.

Les points \(D\), \(F\), \(A\) et \(B\) sont alignés, ainsi que les points \(E\), \(G\), \(A\) et \(C\). De plus, les droites \((DE)\) et \((FG)\) sont parallèles.

1. Montrer que le triangle \(AFG\) est un triangle rectangle.

2. Calculer la longueur du segment \([AD]\). En déduire la longueur du segment \([FD]\).

3. Les droites \((FG)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ? Justifier.

On sait que \((EF)/\!/(HG)\).

Calculer la valeur de \(x\) en centimètre.

Dans chaque cas, les droites en pointillés sont parallèles.

Calculer \(AN\) et \(AB\).

Calculer \(CT\) et \(AB\).

Calculer \(AC\) et \(BC\).

Calculer \(IK\) et \(ML\).

Une légende raconte que Thalès se serait servi du théorème précédent pour mesurer la hauteur d'une pyramide. Voici comment il aurait procédé :

À un moment ensoleillé de la journée, Thalès place un de ses disciples de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la pyramide comme sur le schéma. Il prend alors les mesures suivantes :

\(CD = 115\ \text{m}\) ; \(DM = 163{,}4\ \text{m}\) ; \(AM = 3{,}5\ \text{m}\) ; \(MN = 1{,}8\ \text{m}\) (taille du disciple)

Sur la figure ci-dessous :

• \(SE = 5\ \text{cm}\), \(SL = 12\ \text{cm}\) et \(GL = 9\ \text{cm}\) ;
• les points \(S\), \(E\) et \(L\) sont alignés ;
• les points \(S\), \(A\) et \(G\) sont alignés.

Déterminer, en justifiant la réponse, la longueur \(AE\).

Sur la figure ci-dessous :

• \(D \in [SE]\), \(D \in [OH]\) ;
• \(DH = 9\ \text{cm}\), \(OE = 2\ \text{cm}\) et \(DO = 3{,}6\ \text{cm}\).

Déterminer, en justifiant la réponse, la longueur \(SH\).

1) Reproduire la figure ci-dessous avec :

• \(R \in [AC]\), \(T \in [AB]\) ;
• \(AC = 12\ \text{cm}\), \(AB = 13\ \text{cm}\), \(BC = 5\ \text{cm}\) et \(AR = 9\ \text{cm}\).

2) Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle.

3) En déduire les longueurs \(AT\) et \(TR\). Justifier chaque réponse.

Sur la figure ci-contre : les droites \((AD)\) et \((BE)\) sont parallèles, \(OA = 2\ \text{cm}\), \(OB = 3\ \text{cm}\), \(AD = 2{,}6\ \text{cm}\), \(OE = 5\ \text{cm}\).

Calcule les valeurs exactes de \(OD\) et \(BE\).

Dans les figures ci-dessous, les droites rouges sont parallèles. Pour chacune d'elles, écrire l'égalité de Thalès.

a.

b.

c.

d.

Dans la figure ci-dessous, les droites \((EF)\) et \((HS)\) se coupent en \(C\), et \((EH)\) et \((FS)\) sont parallèles.

Quelle est la longueur du segment \([CS]\) ?

Dans la figure ci-dessous, les droites \((EF)\) et \((HS)\) se coupent en \(C\), et \((EH)\) et \((FS)\) sont parallèles.

Calculer \(CE\) et \(FS\).

Dans la figure ci-contre, les droites \((AF)\) et \((EC)\) sont parallèles, et \((AE)\) et \((FC)\) se coupent en \(G\).

1. Peut-on déterminer la longueur \(GC\) ?

2. Calculer la longueur \(EC\).

Dans la figure ci-contre, les droites \((DC)\) et \((EN)\) sont parallèles, et \((DN)\) et \((CE)\) se coupent en \(T\). On donne les mesures suivantes :

\(DT = 4{,}7\ \text{cm}\), \(TN = 5{,}2\ \text{cm}\), \(EN = 4{,}3\ \text{cm}\) et \(ET = 2{,}4\ \text{cm}\).

Calculer une valeur approchée, au millimètre près, des longueurs \(DC\) et \(CT\).

Dans chaque cas, les droites bleues sont-elles parallèles ? Justifier.

a.

b.

Dans la figure ci-dessous, les droites \((TS)\) et \((OR)\) se coupent en \(U\).

Démontrer que les droites \((TO)\) et \((SR)\) sont parallèles.

Dans la figure ci-dessous, les droites \((EH)\) et \((TS)\) se coupent en \(V\).

Les droites \((TH)\) et \((ES)\) sont-elles parallèles ?

Dans la figure ci-dessous, les droite (AK) et (HC) se coupent en B.

Les droites (AH) et (CK) sont-elles parallèles ?