Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
0.Introduction :
La trigonométrie est un domaine des mathématiques qui traite des relations entre les longueurs et les angles dans un triangle.
Le mot trigonométrie provient du grec trigonos qui signifie « triangulaire » et métron qui signifie « mesure ».
Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus vers – 4 000.
I.Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :
1.Vocabulaire
2. Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle :
Activité de découverte des formules de trigonométrie :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Dans un triangle rectangle, nous avons les formules de trigonométrie suivantes
Moyen mnémotechnique :
Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Calculer la valeur de AB arrondie au millimètre.
Dans le triangle ABC rectangle en A :
Je connais :
- AC=8 cm : côté opposé à l’angle
;
Je cherche :
AB : côté adjacent à l’angle .
Formule : tangente
donc
Preuve :
Le cosinus et le sinus sont des quotients de longueurs donc et
.
De plus .
De même, .
II. Calcul de la mesure d’un angle avec les formules de trigonométrie :
Activité de découverte :
Afin de calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle ( connaissant son cosinus ou sinus ou tangente), nous utilisons la calculatrice en mode DEGRE (DEG).Les touches qui nous permettent de calculer la mesure de l’angle aigu sont : .
Exemples :
a. Si alors
.
b. Si alors
.
c. Soit PQR un triangle rectangle en R.
Calculer la mesure de l’angle arrondie au degré.
Dans le triangle PQR rectangle en R :
Je connais :
- PR=5,5 cm : côté adjacent à
;
- QR=3,3 cm : côté opposé à
.
Je cherche :
Formule : TANGENTE
Autre version de cette leçon
I. Cosinus, sinus et tangente :
1.Définitions :
On considère un triangle rectangle et ses angles aigus.
- Le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent à l’angle et de l’hypoténuse du triangle rectangle.
- Le sinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté opposé à l’angle et de l’hypoténuse du triangle rectangle.
- Le tangente d’un angle aigu est égal au quotient du côté opposé à l’angle et du côté adjacent à l’angle.
Exemple :
Remarque :
- Pour retenir facilement ces formules, on peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant :SOH-CAH-TOA qui correspond aux initiales en gras dans les formules précédentes.
- Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.
- La tangente d’un angle aigu est un nombre strictement positif.
2.Applications :
Exemple :
Dans le triangle rectangle LOE, Calculer OE.
On connait :
- l’angle
;
- la longueur OL (hypoténuse)
On cherche :
la longueur OE (opposé)
Formule :
La seule formule qui fait apparaître les mots « hypoténuse » et « opposé » est le sinus.
En utilisant la propriété du produit en croix :
II. Calcul de la mesure d’un angle :
Pour calculer la mesure d’un angle, on prend le soin de vérifier que sa calculatrice est en mode DEGRE.
On utilise les touches arccos, arcsin, arctan.
Exemple :
Dans le triangle rectangle FUN, déterminer la mesure de l’angle arrondie au degré.
Dans ce triangle rectangle,
on connaît :
- la longueur UN (adjacent);
- la longueur FU (opposé).
La seule formule qui fait apparaître les mots « adjacent » et « opposé » est la tangente.
On utilise la calculatrice en mode DEGRE et la touche « arctan ».
.
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