Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

Sommaire

0.Introduction :

La trigonométrie est un domaine des mathématiques qui traite des relations entre les longueurs et les angles dans un triangle.

Le mot trigonométrie provient du grec trigonos qui signifie « triangulaire » et métron qui signifie « mesure ».

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus vers – 4 000.

I.Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :

1.Vocabulaire

2. Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle :

Activité de découverte des formules de trigonométrie :

Propriété :

Soit ABC un triangle rectangle en A.Dans un triangle rectangle, nous avons les formules de trigonométrie suivantes

Moyen mnémotechnique : $SOH-CAH-TOA$

Exemple :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Calculer la valeur de AB arrondie au millimètre.

Dans le triangle ABC rectangle en A :

Je connais :

AC=8 cm : côté opposé à l’angle $\widehat{B}$ ;
$\widehat{B}=65^{\circ}$

Je cherche :

AB : côté adjacent à l’angle $\widehat{B}$ .

Formule : tangente

$Tan(\widehat{B})=\frac{AC}{AB}$

$\frac{Tan(65^{\circ})}{1}=\frac{8}{AB}$

donc

$AB=\frac{8\times 1}{tan(65^{\circ})}\\AB\approx 3,7\,cm$

Propriété :

Soit ABC un triangle rectangle en C.

Pour tout angle aigu $\alpha$ , nous avons :

$0\leq cos(\alpha )\leq 1\\0\leq sin(\alpha )\leq 1$

Preuve :

Le cosinus et le sinus sont des quotients de longueurs donc $cos(\alpha )\geq 0$ et $sin(\alpha )\geq 0$ .

De plus $cos(\alpha )=\frac{adjacent}{hypotenuse}\leq \frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq 1$

De même, $sin(\alpha )=\frac{oppose}{hypotenuse}\leq \frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq 1$

II.Calcul de la mesure d’un angle avec les formules de trigonométrie :

Activité de découverte :

Règle :

Afin de calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle ( connaissant son cosinus ou sinus ou tangente), nous utilisons la calculatrice en mode DEGRE (DEG).Les touches qui nous permettent de calculer la mesure de l’angle aigu sont : $arccos\,ou\,cos^{-1};arcsin\,ou\,sin^{-1};arctan\,ou\,tan^{-1}$ .

Exemples :

a. Si $cos\alpha =0,5$ alors $\alpha =arccos(0,5)=60^{\circ}$ .

b.Si $sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$ alors $x=arcsin\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )= 45^{\circ}$ .

c.Soit PQR un triangle rectangle en R.

Calculer la mesure de l’angle $\widehat{P}$ arrondie au degré.

Dans le triangle PQR rectangle en R :

Je connais :

PR=5,5 cm : côté adjacent à $\widehat{P}$ ;
QR=3,3 cm : côté opposé à $\widehat{P}$ .

Je cherche :

$\widehat{P}$

Formule : TANGENTE

$Tan(\widehat{P})=\frac{QR}{PR}$

$Tan(\widehat{P})=\frac{3,3}{5,5}$

$\widehat{P}=arctan(\frac{3,3}{5,5})$

$\widehat{P}\approx 31^{\circ}$

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