cours troisième

Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF

0.Introduction :

La trigonométrie est un domaine des mathématiques qui traite des relations entre les longueurs et les angles dans un triangle.

Le mot trigonométrie provient du grec   trigonos qui signifie « triangulaire » et métron qui signifie « mesure ».

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus vers – 4 000.

I.Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :

1.Vocabulaire

définition côtés triangle rectangle

2. Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle :

Activité de découverte des formules de trigonométrie :

activité formules trigonométriques

Propriété :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Dans un triangle rectangle, nous avons les formules de trigonométrie suivantes

formules trigonométrie triangle rectangle

Moyen mnémotechnique  :  SOH-CAH-TOA

Exemple :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Calculer la valeur de AB arrondie au millimètre.

calcul longueur trigonométrie

Dans le triangle ABC rectangle en A :

Je connais :

  • AC=8 cm : côté opposé à l’angle \widehat{B};
  • \widehat{B}=65^{\circ}

Je cherche :

AB : côté adjacent  à l’angle \widehat{B}.

Formule : tangente

Tan(\widehat{B})=\frac{AC}{AB}

\frac{Tan(65^{\circ})}{1}=\frac{8}{AB}

donc

AB=\frac{8\times   1}{tan(65^{\circ})}\\AB\approx 3,7\,cm

Propriété :

triangle rectangle Soit ABC un triangle rectangle en C.

Pour tout angle aigu \alpha , nous avons :

0\leq\, cos(\alpha )\leq\, 1\\0\leq\, sin(\alpha )\leq\, 1

Preuve :

Le cosinus et le sinus sont des quotients de longueurs donc cos(\alpha )\geq\, 0 et sin(\alpha )\geq\, 0.

De plus cos(\alpha )=\frac{adjacent}{hypotenuse}\leq\, \frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq\, 1.

De même, sin(\alpha )=\frac{oppose}{hypotenuse}\leq\, \frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq\, 1.

II. Calcul de la mesure d’un angle avec les formules de trigonométrie  :

Activité de découverte :

activité calculatrice trigonométrie

Règle :

Afin de calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle ( connaissant son cosinus ou sinus ou tangente), nous utilisons la calculatrice en mode DEGRE (DEG).Les touches qui nous permettent de calculer la mesure de l’angle aigu sont : arccos\,ou\,cos^{-1};arcsin\,ou\,sin^{-1};arctan\,ou\,tan^{-1}.

Exemples :

a. Si cos\alpha =0,5 alors \alpha =arccos(0,5)=60^{\circ}.

b. Si sinx=\frac{\sqrt{2}}{2} alors x=arcsin ( \frac{\sqrt{2}}{2}  )= 45^{\circ}.

c. Soit PQR un triangle rectangle en R.

Calculer la mesure de l’angle \widehat{P} arrondie au degré.

calcul mesure angle

Dans le triangle PQR rectangle en R :

Je connais :

  • PR=5,5 cm : côté adjacent à \widehat{P};
  • QR=3,3 cm : côté opposé à \widehat{P}.

Je cherche :

  • \widehat{P}

Formule : TANGENTE

Tan(\widehat{P})=\frac{QR}{PR}

Tan(\widehat{P})=\frac{3,3}{5,5}

\widehat{P}=arctan(\frac{3,3}{5,5})

\widehat{P}\approx 31^{\circ}


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