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Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème à imprimer en PDF.

La trigonométrie dans le triangle rectangle avec un cours de maths en 3ème qui vous permettra d’assimiler les différentes formulés avec un moyen mnémotechnique. L’élève de vra connaître la formule du cosinus cos), du sinus (sin) et de la tangente d’un angle aigu. Cette leçon nous fournira deux nouveaux outils afin de calculer une longueur ou la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle en quatrième.

0.Introduction :

La trigonométrie est un domaine des mathématiques qui traite des relations entre les longueurs et les angles dans un triangle.

Le mot trigonométrie provient du grec trigonos qui signifie « triangulaire » et métron qui signifie « mesure ».

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus vers – 4 000.

I.Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :

1.Vocabulaire

définition côtés triangle rectangle

2. Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle :

Activité de découverte des formules de trigonométrie :

activité formules trigonométriques

Propriété :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Dans un triangle rectangle, nous avons les formules de trigonométrie suivantes

formules trigonométrie triangle rectangle

Moyen mnémotechnique  : 
SOH-CAH-TOA

Exemple :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Calculer la valeur de AB arrondie au millimètre.

calcul longueur trigonométrie

Dans le triangle ABC rectangle en A :

Je connais :

  • AC=8 cm : côté opposé à l’angle \widehat{B};
  • \widehat{B}=65^{\circ}

Je cherche :

AB : côté adjacent  à l’angle \widehat{B}.

Formule : tangente

Tan(\widehat{B})=\frac{AC}{AB}

\frac{Tan(65^{\circ})}{1}=\frac{8}{AB}

donc

AB=\frac{8\times  \,1}{tan(65^{\circ})}\\AB\approx\,3,7\,cm

Propriété :

triangle rectangleSoit ABC un triangle rectangle en C.

Pour tout angle aigu \alpha , nous avons :

0\leq\,\,cos(\alpha\,)\leq\,\,1\\0\leq\,\,sin(\alpha\,)\leq\,\,1

Preuve :

Le cosinus et le sinus sont des quotients de longueurs donc cos(\alpha\,)\geq\,\,0 et sin(\alpha\,)\geq\,\,0.

De plus cos(\alpha\,)=\frac{adjacent}{hypotenuse}\leq\,\,\frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq\,\,1.

De même, sin(\alpha\,)=\frac{oppose}{hypotenuse}\leq\,\,\frac{hypotenuse}{hypotenuse}\leq\,\,1.

II. Calcul de la mesure d’un angle avec les formules de trigonométrie  :

Activité de découverte :

activité calculatrice trigonométrie

Règle :

Afin de calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle ( connaissant son cosinus ou sinus ou tangente), nous utilisons la calculatrice en mode DEGRE (DEG).Les touches qui nous permettent de calculer la mesure de l’angle aigu sont : arccos\,ou\,cos^{-1};arcsin\,ou\,sin^{-1};arctan\,ou\,tan^{-1}.

Exemples :

a. Si cos\alpha\,=0,5 alors \alpha\,=arccos(0,5)=60^{\circ}.

b. Si sinx=\frac{\sqrt{2}}{2} alors x=arcsin\,(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\,)=\,45^{\circ}.

c. Soit PQR un triangle rectangle en R.

Calculer la mesure de l’angle \widehat{P} arrondie au degré.

calcul mesure angle

Dans le triangle PQR rectangle en R :

Je connais :

  • PR=5,5 cm : côté adjacent à \widehat{P};
  • QR=3,3 cm : côté opposé à \widehat{P}.

Je cherche :

  • \widehat{P}

Formule : TANGENTE

Tan(\widehat{P})=\frac{QR}{PR}

Tan(\widehat{P})=\frac{3,3}{5,5}

\widehat{P}=arctan(\frac{3,3}{5,5})

\widehat{P}\approx\,31^{\circ}

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