Statistiques avec médiane et moyenne : cours de maths en 3ème

Avant d’aborder cette leçon, il faut avoir acquis le contenu du cours sur les statistiques de l’année précédente.

Sommaire

I.L’étude Statistique :

Une enquête a été réalisée auprès des 450 élèves d’un collège.

Voici les questions posées :

Comment viens-tu au collège ? A pied, en bus, en voiture ou à vélo ?
Combien as-tu de frères et sœurs ?
Quelle est la durée de ton trajet maison-collège ?

On a recueilli les données correspondant aux réponses des élèves : on obtient des séries statistiques

Les 450 élèves interrogés forment la population étudiée.

Définition :

On considère une enquête statistiques.

L’ensemble auprès duquel l’enquête est menée est appelée la population.

Chaque élément de cette population a un effectif notés $n_1,n_2,....,n_p$ .

L’effectif total est la somme de tous ces effectifs ( $N=n_1+n_2+....+n_p$ ).

Le thème de l’enquête est appelé le caractère.

Le caractère peut être de deux sortes :

quantitatif : si il est mesurable;
qualitatif s’il n’est pas mesurable.

Exemple :

Demandons aux 27 élèves d’une classe de quatrième le nombre d’écrans qu’ils possèdent à la maison puis, la marque du véhicule de leurs parents.

La population : 27 élèves d’une classe de quatrième.

Caractère quantitatif : nombre d’écrans ( il est mesurable 0,1,2,etc…).

Caractère qualitatif : marque de véhicule (il est non mesurable Peugeot, Renault, Bmw, etc…).

Effectif total : N=27

II. La moyenne et la médiane d’une série statistiques :

On va étudier les différents caractères de cette population.

1.La fréquence d’une série statistiques :

Définition :

La fréquence, notée f, d’une valeur est le quotient (ou rapport ) de l’effectif de cette valeur sur l’effectif total de la population.

La fréquence est en général donné en %, on la note f%.

$f=\frac{n}{N}$ avec n : l’effectif et N : l’effectif total.

f % $=\frac{n}{N}\times 100$ .

Exemple :

Considérons l’enquête menée sur le nombre de frères et soeurs.

C’est un caractère quantitatif.

0, 1, 2,…, 6 sont les valeurs de ce caractère.

La fréquence des élèves ayant 3 frères ou sœurs.

L’effectif est de 110 et l’effectif total est N = 450.

f % $=\frac{n}{N}\times 100=\frac{110}{450}\times 100\approx 24,4$ %.

Globalement, nous obtenons :

2. La Moyenne pondérée et l’étendue d’une série statistiques :

Définition :

Soit une série statistique telle que le caractère soit quantitatif.Soient $x_1,x_2,x_3,.....,x_p$ : les valeurs du caractère, $n_1,n_2,n_3,.....,n_p$ : les valeurs des effectifs

et N l’effectif total.

La moyenne de cette série statistiques, notée $\overline{x}$ , est donnée par la formule :

$\overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3+....+n_px_p}{N}$

Méthode :

Pour calculer la moyenne pondérée d’une série de valeurs, il faut :

calculer les produits de chaque valeur par leur coefficient (ou effectif),
calculer la somme des produits.
puis diviser le résultat par l’effectif total.

Exemple :

Reprenons l’exemple des frères et soeurs.

Calculons la moyenne de cette série statistiques.

$\overline{x}=\frac{0\times 72+1\times 108+2\times 95+...+6\times 7}{450}$

$\overline{x}=\frac{0\times 72+1\times 108+2\times 95+...+6\times 7}{450}\approx 2,05$

Signification concrète de la moyenne :

Une moyenne de 2,05 signifie que si chacun avait le même nombre de frères et soeurs

alors chacun aurait à peu près deux frères et soeurs.

Définition :

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la pluspetite valeur prise par le caractère de la série.

Exemple :

On a une suite de notes: 5; 12; 19; 12; 8; 10; 11; 14; 3; 8; 7; 12; 10; 9; 8; 16; 14; 8; 5; 11.

L’étendue des notes est de 19-3=16.

3. La médiane d’une série statistiques :

Définition:

On appelle médiane d’une série statistique ordonnée une valeur du caractère qui partage lasérie en deux groupes de même effectif tels que :

un groupe contient les valeurs inférieures ou égales à la médiane ;
l’autre groupe contient les valeurs supérieures ou égales à la médiane.

Exemple 1 : cas d’un nombre impair de valeurs.

Voici les notes d’un groupe de 9 élèves lors d’un devoir de mathématiques.

5-6-11-13-6-14-12-8-13

Il faut d’abord ranger les nombres dans l’ordre croissant : 5-6-6-8-11-12-13-13-14

La médiane de cette série statistique est 11.

Exemple 2: cas d’un nombre pair de valeurs.

Voici les notes d’un groupe de 6 élèves lors d’un devoir de sciences physiques.

6-13-18-16-14-5

Il faut d’abord ranger les nombres dans l’ordre croissant : 5-6-13-14-16-18

La médiane de cette série statistique est la moyenne de la 3ème et 4ème valeur

donc $\frac{13+14}{2}=13,5$

Signification concrète de la médiane :

Si la médiane du contrôle de sciences physiques est de 13,5 cela signifie qu’il y autant autant d’élèves qui ont eu une note inférieure à 13,5 que d’élèves qui ont eu une note supérieure à 13,5.

III.Carte mentale sur les statistiques :

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