Agrandissement et réduction
En bref : Agrandissement et réduction suivent une même règle : avec un coefficient \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\), alors que les angles gardent leur mesure.
3èmeGéométrie plane
Définition : Agrandissement et réduction
L’agrandissement et réduction d’une figure consistent à multiplier toutes ses longueurs par un même nombre positif \(k\), le coefficient. Si \(k > 1\), il s’agit d’un agrandissement ; si \(0 < k < 1\), d'une réduction. La forme est conservée : la nouvelle figure est semblable à l'ancienne.
Les angles gardent leur mesure. Les aires, elles, sont multipliées par \(k^2\), car deux dimensions changent, et les volumes par \(k^3\), car il y en a trois. Doubler les longueurs d’un carré multiplie donc son aire par quatre, pas par deux.
Comment le reconnaître
- L’énoncé parle de photo agrandie, de maquette ou de plan et donne un coefficient ou deux longueurs correspondantes.
- Les longueurs d’une nouvelle figure sont toutes dans le même rapport avec celles de l’ancienne.
- Il faut passer d’une aire ou d’un volume connu à celui de la figure transformée.
- On cherche le coefficient à partir de deux longueurs, puis on l’emploie pour d’autres calculs.
La méthode
- Pour tout agrandissement et réduction, calculer le coefficient \(k\) en divisant une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de l’ancienne.
- Multiplier toutes les longueurs par \(k\).
- Multiplier l’aire par \(k^2\) et le volume par \(k^3\).
- Garder les angles inchangés et vérifier qu’un agrandissement donne bien \(k > 1\).
Agrandissement et réduction : exemple corrigé
Énoncé
Une photo de \(12\) cm sur \(8\) cm est agrandie avec un coefficient \(2{,}5\) pour une exposition à Metz. Quelles sont les dimensions et l’aire de l’agrandissement ?
Corrigé
Les longueurs sont multipliées par \(2{,}5\) : \(12 \times 2{,}5 = 30\) cm et \(8 \times 2{,}5 = 20\) cm.
L’aire initiale vaut \(12 \times 8 = 96\) cm². Elle est multipliée par \(2{,}5^2 = 6{,}25\) : \(96 \times 6{,}25 = 600\) cm². Contrôle : \(30 \times 20 = 600\). La photo mesure 30 cm sur 20 cm, soit 600 cm².
À toi de jouer
Question 1
Un volume de \(80\) cm³ est réduit avec le coefficient \(0{,}5\). Quel est le nouveau volume ?
Voir la réponse
\(80 \times 0{,}5^3 = 80 \times 0{,}125 = 10\) cm³.
Question 2
L’aire d’une figure est multipliée par \(9\). Par quel nombre les longueurs sont-elles multipliées ?
Voir la réponse
\(k^2 = 9\) donc \(k = 3\).
Ne pas confondre Agrandissement et réduction et Homothétie
Ici, on parle de l’effet d’un coefficient sur les mesures d’une figure : longueurs, aires, volumes. L’homothétie est la transformation géométrique qui réalise l’agrandissement ou la réduction à partir d’un centre fixe, et qui peut aussi placer l’image à un endroit précis du plan.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Géométrie plane
