Développer et factoriser des expressions : contrôle de maths en 3ème
Voici un contrôle de maths en 3ème sur le thème « développer et factoriser des expressions », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet vérifie que tu sais transformer une expression littérale dans les deux sens. Dans un premier temps, tu dois réduire et développer avec la simple distributivité, puis passer à la double distributivité, illustrée par l’aire d’un rectangle découpé en quatre morceaux.
Tu feras ensuite le chemin inverse : factoriser par un facteur commun, parfois caché dans une parenthèse, et reconnaître une différence de deux carrés. Le dernier exercice, un carreau de faïence évidé, relie tout cela à un calcul d’aire concret. Ce contrôle se place en début de 3ème, juste après le chapitre de calcul littéral.
Ce qu’évalue le contrôle : développer et factoriser des expressions
L’essentiel du sujet
- Niveau3ème
- Durée55 minutes
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Calcul littéral (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Réduire une expression et développer avec la simple distributivité, y compris devant une parenthèse précédée d’un signe moins
- Développer un produit de deux sommes par la double distributivité et réduire le résultat
- Factoriser une expression par un facteur commun, que ce facteur soit un nombre, un monôme ou une parenthèse
- Factoriser une différence de deux carrés avec l’identité a² − b² = (a − b)(a + b)
- Calculer la valeur d’une expression littérale pour un entier relatif ou une fraction
Avant de commencer le devoir
Avant de développer, repère le signe devant chaque parenthèse : un moins change tous les signes à l’intérieur. En double distributivité, compte quatre produits et coche-les un par un. Pour factoriser, souligne le facteur commun dans chaque terme avant de l’écrire devant les crochets. Termine chaque question en vérifiant par un calcul : remplace x par 1 dans l’expression de départ et dans ta réponse, tu dois trouver le même nombre.
Le sujet du contrôle : développer et factoriser des expressions
Exercice 1 – Réduire, développer, calculer (4 points)
Développe d’abord chaque expression, puis réduis-la. Écris toutes les étapes, car elles comptent dans la notation.
- \(A = 3(2x – 5)\) et \(B = -4x(x + 3)\)
- \(C = 5x – 2(3x – 7)\)
- \(D = 4x^2 – 3x + 5 – (x^2 – 6x + 2)\)
- On considère \(K = 2x^2 – 3x + 1\). Calcule d’abord \(K\) pour \(x = -2\), puis pour \(x = \frac{1}{2}\).
Exercice 2 – Le rectangle en quatre morceaux (4 points)
Un grand rectangle a pour largeur \(x + 4\) et pour hauteur \(2x + 3\), où \(x\) est un nombre positif (les longueurs sont en centimètres). Il est ensuite découpé en quatre rectangles R1, R2, R3 et R4.
Mais la figure n’est pas à l’échelle.
- D’abord, exprime en fonction de \(x\) l’aire de chacun des rectangles R1, R2, R3 et R4.
- Déduis-en alors l’aire du grand rectangle sous forme réduite.
- Ensuite, développe \((x + 4)(2x + 3)\) par la double distributivité, puis vérifie que tu retrouves le résultat de la question 2.
- Enfin, calcule l’aire du grand rectangle lorsque \(x = 2{,}5\) cm.
Exercice 3 – Double distributivité (4 points)
Développe d’abord chaque expression, puis réduis-la.
- \(E = (x + 5)(x – 2)\)
- \(F = (3x – 1)(2x – 4)\)
- \(G = (2x + 3)^2\)
- \(H = (x – 6)(x + 1) – (x – 3)^2\)
Exercice 4 – Chasse au facteur commun (4 points)
Factorise chaque expression le plus possible, afin de ne plus pouvoir simplifier.
- \(L = 7x + 21\) et \(M = 12x^2 – 8x\)
- \(N = (x + 2)(3x – 1) + (x + 2)(x + 5)\)
- \(P = (2x – 1)(x + 4) – (2x – 1)(3x – 2)\)
- \(R = x^2 – 49\) et \(S = 9x^2 – 25\)
Exercice 5 – Le carreau de faïence (4 points)
Pour décorer sa salle de bains, Maëlys utilise des carreaux de faïence carrés de côté \(x\) cm, avec \(x\) supérieur à 3. Ainsi, dans un coin de certains carreaux, elle découpe un petit carré de 3 cm de côté pour laisser passer un tuyau. La partie colorée en bleu est ce qui reste du carreau.
La figure n’est pas à l’échelle.
- Tout d’abord, montre que l’aire de la partie restante, en cm², est égale à \(x^2 – 9\).
- Puis factorise \(x^2 – 9\).
- Ensuite, vérifie l’égalité obtenue à la question 2 en calculant les deux expressions pour \(x = 13\).
- Pour un carreau de 8 cm de côté, Théo affirme : « L’aire restante vaut \((8 – 3)^2 = 25\) cm². » A-t-il raison ? Justifie ta réponse, car un calcul est attendu.
- Enfin, Maëlys veut que la partie restante mesure 91 cm². Quel doit être le côté du carreau ?
Réviser développer et factoriser des expressions avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon calcul littéral ; entraîne-toi sur la fiche calcul littéral et scratch avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en 3ème regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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