Développer et factoriser des expressions : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « développer et factoriser des expressions », question par question.
Cette correction reprend chaque expression ligne par ligne : les quatre produits de la double distributivité sont écrits avant d’être réduits, et chaque factorisation commence par l’identification du facteur commun. Ainsi, tu peux repérer à quelle étape ta copie s’écarte de la bonne démarche.
Le carreau de faïence est redessiné, découpé en deux rectangles qui se recollent, pour que l’égalité a² − b² = (a − b)(a + b) devienne visible. Le barème sépare la méthode et le résultat, et les encadrés signalent les erreurs de signe qui coûtent le plus de points en 3ème. Refais ensuite seul les questions manquées sans regarder.
L’énoncé complet se trouve ici : Développer et factoriser des expressions : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : développer et factoriser des expressions
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Réduire, développer, calculer | 4 points |
| 2. Le rectangle en quatre morceaux | 4 points |
| 3. Double distributivité | 4 points |
| 4. Chasse au facteur commun | 4 points |
| 5. Le carreau de faïence | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : développer et factoriser des expressions
Exercice 1 – Réduire, développer, calculer (4 points)
- D’abord, on multiplie le facteur placé devant la parenthèse par chaque terme :
\(A = 3 \times 2x – 3 \times 5\)
\(A = 6x – 15\)
\(B = -4x \times x + (-4x) \times 3\)
\(B = -4x^2 – 12x\) - Ici, le signe moins devant le 2 s’applique aux deux termes de la parenthèse :
\(C = 5x – 2 \times 3x – 2 \times (-7)\)
\(C = 5x – 6x + 14\)
\(C = -x + 14\) - Une parenthèse précédée d’un signe moins disparaît, car chacun de ses termes change de signe :
\(D = 4x^2 – 3x + 5 – x^2 + 6x – 2\)
\(D = (4 – 1)x^2 + (-3 + 6)x + (5 – 2)\)
\(D = 3x^2 + 3x + 3\) - D’abord, pour \(x = -2\) :
\(K = 2 \times (-2)^2 – 3 \times (-2) + 1\)
\(K = 2 \times 4 + 6 + 1\)
\(K = 15\)
Ensuite, pour \(x = \frac{1}{2}\) :
\(K = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 – 3 \times \frac{1}{2} + 1\)
\(K = 2 \times \frac{1}{4} – \frac{3}{2} + 1\)
\(K = \frac{1}{2} – \frac{3}{2} + \frac{2}{2}\)
\(K = 0\)
Piège classique : \((-2)^2 = 4\) et non \(-4\), car le carré d’un nombre négatif est positif. Écris donc toujours les parenthèses autour d’un nombre négatif que tu remplaces.
Exercice 2 – Le rectangle en quatre morceaux (4 points)
- L’aire d’un rectangle est le produit de sa largeur par sa hauteur. Calculons donc chaque aire.
R1 : \(x \times 2x = 2x^2\) ; R2 : \(4 \times 2x = 8x\) ; R3 : \(x \times 3 = 3x\) ; R4 : \(4 \times 3 = 12\).
Les aires sont \(2x^2\), \(8x\), \(3x\) et \(12\) (en cm²). - Ensuite, l’aire du grand rectangle est la somme des quatre aires :
\(2x^2 + 8x + 3x + 12\)
\(2x^2 + 11x + 12\) - \((x + 4)(2x + 3) = x \times 2x + x \times 3 + 4 \times 2x + 4 \times 3\)
\((x + 4)(2x + 3) = 2x^2 + 3x + 8x + 12\)
\((x + 4)(2x + 3) = 2x^2 + 11x + 12\)
On retrouve bien le résultat de la question 2, car les quatre produits de la double distributivité sont les aires des quatre rectangles. - D’abord, avec la forme factorisée : \(x + 4 = 6{,}5\) et \(2x + 3 = 2 \times 2{,}5 + 3 = 8\).
\(6{,}5 \times 8 = 52\)
Ensuite, vérification avec la forme développée : \(2 \times 2{,}5^2 + 11 \times 2{,}5 + 12 = 2 \times 6{,}25 + 27{,}5 + 12 = 12{,}5 + 27{,}5 + 12 = 52\).
L’aire du grand rectangle vaut 52 cm².
Exercice 3 – Double distributivité (4 points)
- \(E = x \times x + x \times (-2) + 5 \times x + 5 \times (-2)\)
\(E = x^2 – 2x + 5x – 10\)
\(E = x^2 + 3x – 10\) - \(F = 3x \times 2x + 3x \times (-4) + (-1) \times 2x + (-1) \times (-4)\)
\(F = 6x^2 – 12x – 2x + 4\)
\(F = 6x^2 – 14x + 4\) - Élever au carré, c’est donc multiplier l’expression par elle-même :
\(G = (2x + 3)(2x + 3)\)
\(G = 4x^2 + 6x + 6x + 9\)
\(G = 4x^2 + 12x + 9\) - D’abord, on développe chaque produit séparément :
\((x – 6)(x + 1) = x^2 + x – 6x – 6 = x^2 – 5x – 6\)
\((x – 3)^2 = (x – 3)(x – 3) = x^2 – 3x – 3x + 9 = x^2 – 6x + 9\)
Ensuite, \(H = (x^2 – 5x – 6) – (x^2 – 6x + 9)\)
\(H = x^2 – 5x – 6 – x^2 + 6x – 9\)
\(H = x – 15\)
Piège classique : écrire \((2x + 3)^2 = 4x^2 + 9\) en oubliant les deux produits \(2x \times 3\). Dans \(H\), garde donc les parenthèses autour de \((x – 3)^2\) développé, car cela évite d’oublier les signes.
Exercice 4 – Chasse au facteur commun (4 points)
- \(L = 7 \times x + 7 \times 3\), donc \(L = 7(x + 3)\).
\(M = 4x \times 3x – 4x \times 2\), donc \(M = 4x(3x – 2)\). - Ici, le facteur commun est la parenthèse \((x + 2)\) :
\(N = (x + 2)\left[(3x – 1) + (x + 5)\right]\)
\(N = (x + 2)(3x – 1 + x + 5)\)
\(N = (x + 2)(4x + 4)\). On peut aussi écrire \(N = 4(x + 2)(x + 1)\). - Le facteur commun est \((2x – 1)\), mais la seconde parenthèse est soustraite en entier :
\(P = (2x – 1)\left[(x + 4) – (3x – 2)\right]\)
\(P = (2x – 1)(x + 4 – 3x + 2)\)
\(P = (2x – 1)(-2x + 6)\). On a aussi \(P = 2(2x – 1)(3 – x)\). - Ici, on reconnaît des différences de deux carrés \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
\(R = x^2 – 7^2\), donc \(R = (x – 7)(x + 7)\).
\(S = (3x)^2 – 5^2\), donc \(S = (3x – 5)(3x + 5)\).
Piège classique : dans \(P\), écrire \((x + 4 – 3x – 2)\) est faux, car le signe moins devant \((3x – 2)\) transforme \(-2\) en \(+2\).
Exercice 5 – Le carreau de faïence (4 points)
- D’abord, l’aire du carreau entier est \(x \times x = x^2\). Ensuite, celle du petit carré retiré est \(3 \times 3 = 9\).
L’aire de la partie restante est \(x^2 – 9\) cm². - \(x^2 – 9 = x^2 – 3^2\) est une différence de deux carrés, donc \(x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\).
La figure ci-dessous le montre. On découpe d’abord la partie restante en deux rectangles A et B. Puis on fait pivoter B pour le coller contre A, et on obtient un rectangle de côtés \(x + 3\) et \(x – 3\).
- Ensuite, pour \(x = 13\) :
\(x^2 – 9 = 13^2 – 9 = 169 – 9 = 160\)
\((x – 3)(x + 3) = (13 – 3)(13 + 3) = 10 \times 16 = 160\)
Les deux expressions valent 160 : l’égalité est vérifiée pour \(x = 13\). - Pour \(x = 8\), l’aire restante vaut \(8^2 – 9 = 64 – 9 = 55\) cm², et l’on vérifie avec \((8 – 3)(8 + 3) = 5 \times 11 = 55\).
Théo a tort : l’aire restante est 55 cm² et non 25 cm². En effet, il a confondu \(8^2 – 3^2\) avec \((8 – 3)^2\). Or \((8 – 3)^2 = 25\) est seulement l’aire d’un carré de côté 5 cm. - Enfin, on cherche \(x\) tel que \(x^2 – 9 = 91\), soit \(x^2 = 100\).
Cette équation a deux solutions, \(10\) et \(-10\), mais on garde seulement 10, car une longueur est positive.
Le carreau doit mesurer 10 cm de côté.
Piège classique : \(a^2 – b^2\) n’est jamais égal à \((a – b)^2\) quand \(b\) n’est pas nul. C’est exactement l’erreur de Théo.
À retenir de ce contrôle
- Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient : −(3x − 7) = −3x + 7.
- Pour développer (a + b)(c + d), on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : quatre produits.
- Le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés : (2x + 3)² se développe en 4x² + 12x + 9 et non en 4x² + 9.
- Pour factoriser, on repère le facteur commun à tous les termes, on l’écrit devant et on place entre crochets ce qui reste.
- Une différence de deux carrés se factorise toujours : a² − b² = (a − b)(a + b), par exemple x² − 49 = (x − 7)(x + 7).
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