Décomposition en facteurs premiers : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « décomposition en facteurs premiers », question par question.
Cette correction reprend les six exercices dans l’ordre, avec la rédaction qu’un correcteur attend d’un élève de 3ème. Chaque divisibilité est justifiée par le critère adapté, et chaque décomposition est suivie d’une vérification par le produit. Tu trouveras l’arbre de 1 260 complété et le crible terminé, avec les nombres premiers en vert. Pour les fractions, les facteurs communs sont écrits avant d’être simplifiés, ce qui évite les oublis. Sous chaque exercice, le barème détaillé indique les points de méthode et de résultat, et un encadré signale l’erreur la plus fréquente. Refais d’abord chaque exercice sans regarder, puis compare ta démarche ligne par ligne.
L’énoncé complet se trouve ici : Décomposition en facteurs premiers : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : décomposition en facteurs premiers
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les critères de divisibilité | 3 points |
| 2. Diviseurs et crible des nombres premiers | 4 points |
| 3. Décompositions en facteurs premiers | 5 points |
| 4. Des fractions irréductibles | 3 points |
| 5. Puissances de 10 | 2 points |
| 6. Le massif de tulipes | 3 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : décomposition en facteurs premiers
Exercice 1 – Les critères de divisibilité (3 points)
- On utilise le dernier chiffre pour 2, 5 et 10, et la somme des chiffres pour 3 et 9 : \(3 + 7 + 8 = 18\) ; \(1 + 1 + 2 + 5 = 9\) ; \(2 + 3 + 4 + 0 = 9\) ; \(4 + 0 + 9 + 7 = 20\).
Nombre divisible par 2 divisible par 3 divisible par 5 divisible par 9 divisible par 10 378 oui oui non oui non 1 125 non oui oui oui non 2 340 oui oui oui oui oui 4 097 non non non non non - Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Ici la somme vaut \(5 + 4 + c = 9 + c\), où \(c\) est le chiffre effacé. Comme \(c\) est compris entre 0 et 9, \(9 + c\) vaut 9 ou 18 ; on en déduit donc que \(c = 0\) ou \(c = 9\). Le chiffre effacé est 0 ou 9 : le nombre est 504 ou 594. Ensuite, on vérifie : \(504 = 9 \times 56\) et \(594 = 9 \times 66\).
Piège classique : oublier la valeur 0 à la question 2, car un chiffre des dizaines égal à 0 est tout à fait possible dans 504.
Exercice 2 – Diviseurs et crible des nombres premiers (4 points)
- On cherche les diviseurs par paires : \(84 = 1 \times 84 = 2 \times 42 = 3 \times 28 = 4 \times 21 = 6 \times 14 = 7 \times 12\). Ainsi, 5, 8, 9, 10 et 11 ne divisent pas 84, et après 7 on retrouverait 12. Les diviseurs de 84 sont 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84.
- Il reste à barrer les multiples de 5 et de 7 qui ne le sont pas encore. Ce sont \(25 = 5 \times 5\), \(35 = 5 \times 7\) et \(49 = 7 \times 7\). En effet, les multiples de 11 inférieurs à 50 (22, 33, 44) sont déjà barrés. De plus, \(11 \times 11 = 121\) dépasse 50, donc on peut s’arrêter.
Yanis doit barrer 25, 35 et 49. Les nombres premiers inférieurs à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.
- \(91 = 7 \times 13\) , donc 91 a un autre diviseur que 1 et lui-même. 91 n’est pas premier.
- 97 n’est pas divisible par 2 (il est impair). Il ne l’est pas non plus par 3 (\(9 + 7 = 16\)), ni par 5 (il ne finit ni par 0 ni par 5), ni par 7 (\(7 \times 13 = 91\) et \(7 \times 14 = 98\)). Si 97 s’écrivait \(a \times b\) avec \(1 < a \leq b\), on aurait \(a \times a \leq 97\), donc \(a \leq 9\). Or \(a\) serait divisible par 2, 3, 5 ou 7, ce qui est impossible. 97 n’a pas d’autre diviseur que 1 et 97 : c’est un nombre premier.
Piège classique : croire que 91 est premier parce qu’il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. Il faut donc aussi tester 7.
Exercice 3 – Décompositions en facteurs premiers (5 points)
- \(630 \div 2 = 315\), puis \(315 \div 3 = 105\), puis \(105 \div 35 = 3\), et enfin \(35 = 5 \times 7\).
On multiplie les nombres entourés : \(1260 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7\), donc \(1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\). Enfin, on vérifie :\(4 \times 9 \times 35 = 36 \times 35 = 1260\).
- \(264 = 2 \times 132 = 2 \times 2 \times 66 = 2 \times 2 \times 2 \times 33 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 11\), donc \(264 = 2^3 \times 3 \times 11\).
\(756 = 2 \times 378 = 2 \times 2 \times 189 = 2 \times 2 \times 3 \times 63 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7\), donc \(756 = 2^2 \times 3^3 \times 7\).
Pour finir, on vérifie : \(8 \times 33 = 264\) et \(4 \times 27 \times 7 = 108 \times 7 = 756\). - \(6 = 2 \times 3\) et la décomposition de \(N\) contient un facteur 2 et un facteur 3 : \(N = 6 \times 2^2 \times 5^2\). \(N\) est divisible par 6.
Ensuite, \(9 = 3^2\), mais la décomposition de \(N\) ne contient qu’un seul facteur 3. \(N\) n’est pas divisible par 9.
Enfin, \(20 = 2^2 \times 5\), et \(N\) contient \(2^3\) et \(5^2\) : \(N = 20 \times 2 \times 3 \times 5\). \(N\) est divisible par 20.
Piège classique : laisser un facteur non premier dans la décomposition, par exemple \(264 = 2^3 \times 33\). En effet, tous les facteurs doivent être premiers.
Exercice 4 – Des fractions irréductibles (3 points)
- \(\dfrac{264}{756} = \dfrac{2^3 \times 3 \times 11}{2^2 \times 3^3 \times 7}\). On simplifie par les facteurs communs \(2^2 \times 3 = 12\) :
\(\dfrac{264}{756} = \dfrac{2 \times 11}{3^2 \times 7} = \dfrac{22}{63}\).
Ainsi, 22 et 63 n’ont plus de facteur premier commun, donc la fraction irréductible est \(\dfrac{22}{63}\). - \(1540 = 2 \times 770 = 2 \times 2 \times 385 = 2 \times 2 \times 5 \times 77 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 11\), donc \(1540 = 2^2 \times 5 \times 7 \times 11\).
\(\dfrac{1260}{1540} = \dfrac{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7}{2^2 \times 5 \times 7 \times 11}\). On simplifie par \(2^2 \times 5 \times 7 = 140\) :
\(\dfrac{1260}{1540} = \dfrac{3^2}{11} = \dfrac{9}{11}\). - \(35 = 5 \times 7\) et \(66 = 2 \times 3 \times 11\), donc ils n’ont aucun facteur premier commun. La fraction \(\dfrac{35}{66}\) est irréductible.
Exercice 5 – Puissances de 10 (2 points)
- \(45\,000\,000 = 4{,}5 \times 10^7\) (la virgule se déplace de 7 rangs vers la gauche) et \(0{,}000\,32 = 3{,}2 \times 10^{-4}\) (la virgule se déplace de 4 rangs vers la droite).
- D’abord, on regroupe les nombres et les puissances de 10 :
\(A = 6 \times 4 \times 10^5 \times 10^{-2}\)
\(A = 24 \times 10^{5 + (-2)} = 24 \times 10^3\)
\(A = 2{,}4 \times 10 \times 10^3\)
\(A = 2{,}4 \times 10^4\).
Piège classique : s’arrêter à \(24 \times 10^3\). En effet, en notation scientifique, le nombre devant la puissance de 10 doit être compris entre 1 et 10 (10 exclu).
Exercice 6 – Le massif de tulipes (3 points)
- \(540 = 2 \times 270 = 2 \times 2 \times 135 = 2 \times 2 \times 3 \times 45 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5\), donc \(540 = 2^2 \times 3^3 \times 5\).
- Pour former le carré, il faudrait que 540 soit égal à \(n \times n\), où \(n\) est le nombre de rangées. Or \(23 \times 23 = 529\) et \(24 \times 24 = 576\), donc aucun nombre entier ne convient. On le voit aussi sur la décomposition. En effet, dans le carré d’un entier, chaque facteur premier apparaît un nombre pair de fois. Ici, 3 apparaît 3 fois et 5 une seule fois. 540 n’est pas un carré parfait, donc une caisse ne suffit pas.
- Avec \(k\) caisses, le jardinier a \(540 \times k = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times k\) bulbes. Pour que chaque exposant devienne pair, \(k\) doit apporter un facteur 3 et un facteur 5. Donc \(k\) est un multiple de \(3 \times 5 = 15\). Ainsi, le plus petit choix est \(k = 15\) :
\(540 \times 15 = 8\,100 = 2^2 \times 3^4 \times 5^2 = (2 \times 3^2 \times 5)^2 = 90^2\).
Il doit acheter au minimum 15 caisses, soit 8 100 bulbes, et le carré aura 90 rangées de 90 tulipes.
Piège classique : répondre 2 caisses. Pourtant, \(1\,080 = 2^3 \times 3^3 \times 5\) n’est pas non plus un carré. Il faut compléter les exposants impairs de 3 et de 5, pas celui de 2.
À retenir de ce contrôle
- Un nombre est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ou de 9.
- Pour prouver qu’un nombre inférieur à 100 est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7.
- Une décomposition en facteurs premiers ne contient que des nombres premiers ; on la vérifie en recalculant le produit.
- Pour rendre une fraction irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie par tous les facteurs premiers communs.
- Un entier est le carré d’un entier lorsque tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs.
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