Programmes de calcul et preuves littérales : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « programmes de calcul et preuves littérales », question par question.
Cette correction reprend chaque question dans l’ordre du sujet. Les essais numériques sont écrits étape par étape, ainsi tu repères où un signe a pu t’échapper. Chaque démonstration suit le même plan. D’abord, on nomme le nombre de départ. Ensuite, on traduit le programme en expression, puis on développe et on réduit. Enfin, on conclut par une phrase qui répond à la question.
Le barème sous chaque exercice t’indique ce qui rapporte des points, même quand le résultat final est faux. Compare donc ta rédaction à celle proposée et note les pièges classiques. Puis refais seul les preuves quelques jours plus tard, afin de vérifier qu’elles sont acquises.
L’énoncé complet se trouve ici : Programmes de calcul et preuves littérales : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : programmes de calcul et preuves littérales
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le programme Scratch de Lina | 5 points |
| 2. Deux programmes jumeaux | 4 points |
| 3. Trois entiers qui se suivent | 4 points |
| 4. Carrés de deux entiers consécutifs | 3 points |
| 5. La terrasse de la famille Diallo | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : programmes de calcul et preuves littérales
Exercice 1 – Le programme Scratch de Lina (5 points)
- D’abord, on choisit \(5\) :
\(5 + 3 = 8\)
\(8 \times 5 = 40\)
\(40 – 5 \times 5 = 40 – 25 = 15\)
Le programme affiche bien 15. - Ensuite, on choisit \(-4\) :
\(-4 + 3 = -1\)
\(-1 \times (-4) = 4\)
\(4 – (-4) \times (-4) = 4 – 16 = -12\)
Le programme affiche \(-12\). - Par exemple, avec \(10\) : \(10 + 3 = 13\), puis \(13 \times 10 = 130\), puis \(130 – 100 = 30\).
Ainsi, on remarque que \(15 = 3 \times 5\), \(-12 = 3 \times (-4)\) et \(30 = 3 \times 10\).
Conjecture : le programme affiche toujours le triple du nombre choisi. - Avec le nombre \(x\), le résultat est donc \((x + 3) \times x – x \times x\).
\((x + 3) \times x – x^2 = x^2 + 3x – x^2\)
\((x + 3) \times x – x^2 = 3x\)
Pour tout nombre \(x\), le résultat vaut \(3x\). Le programme affiche toujours le triple du nombre choisi : la conjecture est démontrée. - Il faut \(3x = 39\), donc \(x = 39 \div 3 = 13\).
Enfin, vérification : \(13 + 3 = 16\), \(16 \times 13 = 208\), \(208 – 169 = 39\).
Il faut choisir 13.
Piège classique : avec \(-4\), le produit « nombre × nombre » vaut \((-4) \times (-4) = 16\) et non \(-16\). En effet, le carré d’un nombre négatif est positif.
Exercice 2 – Deux programmes jumeaux (4 points)
- D’abord, programme A avec \(7\) : \(7 \times 4 = 28\) ; \(28 + 6 = 34\) ; \(34 \div 2 = 17\) ; \(17 – 7 = 10\).
Ensuite, programme B avec \(7\) : \(7 + 5 = 12\) ; \(12 \times 2 = 24\) ; \(24 – 7 = 17\) ; \(17 – 7 = 10\).
Les deux programmes donnent 10. - On note \(x\) le nombre choisi.
D’abord, programme A : \(\dfrac{4x + 6}{2} – x = 2x + 3 – x = x + 3\).
Ensuite, programme B : \(2(x + 5) – 7 – x = 2x + 10 – 7 – x = x + 3\).
Les deux expressions réduites sont égales à \(x + 3\) pour tout nombre \(x\), donc les programmes A et B donnent toujours le même résultat : Théo a raison. - Le programme A donne \(x + 3\). Il faut alors \(x + 3 = 0\), donc \(x = -3\).
Enfin, vérification : \(-3 \times 4 = -12\) ; \(-12 + 6 = -6\) ; \(-6 \div 2 = -3\) ; \(-3 – (-3) = 0\).
Il faut choisir \(-3\).
Piège classique : en divisant \(4x + 6\) par \(2\), il faut diviser les deux termes : on obtient \(2x + 3\) et non \(2x + 6\).
Exercice 3 – Trois entiers qui se suivent (4 points)
- On calcule \(12 + 13 + 14 = 39\), et \(39 = 3 \times 13\), donc la somme vaut 39, c’est un multiple de 3.
- D’abord, les trois entiers consécutifs sont \(n\), \(n + 1\) et \(n + 2\).
\(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3\)
\(3n + 3 = 3(n + 1)\)
Comme \(n + 1\) est un entier, la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3 ; c’est même le triple de l’entier du milieu. - Pour finir, on cherche \(n\) tel que \(3(n + 1) = 2\,025\).
\(n + 1 = 2\,025 \div 3 = 675\), donc \(n = 674\).
Enfin, vérification : \(674 + 675 + 676 = 2\,025\).
Les trois entiers sont 674, 675 et 676. - Par exemple, \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\), et \(10\) n’est pas un multiple de \(4\) car \(10 = 4 \times 2 + 2\).
L’affirmation est fausse.
Piège classique : vérifier la propriété sur plusieurs exemples ne suffit pas à la démontrer. En revanche, un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une affirmation est fausse.
Exercice 4 – Carrés de deux entiers consécutifs (3 points)
- D’abord, \(7^2 – 6^2 = 49 – 36 = 13\) et \(6 + 7 = 13\).
Ensuite, \(21^2 – 20^2 = 441 – 400 = 41\) et \(20 + 21 = 41\).
Ainsi, dans les deux cas, le résultat est égal à la somme des deux entiers. - Les deux entiers sont \(n\) et \(n + 1\). Le résultat de Maël est \((n + 1)^2 – n^2\).
\((n + 1)^2 = (n + 1)(n + 1) = n^2 + n + n + 1 = n^2 + 2n + 1\)
\((n + 1)^2 – n^2 = n^2 + 2n + 1 – n^2 = 2n + 1\)
Or la somme des deux entiers vaut \(n + (n + 1) = 2n + 1\).
Le résultat de Maël est toujours égal à la somme des deux entiers. - Ces deux nombres, \(1\,000\) et \(1\,001\), sont consécutifs, donc \(1\,001^2 – 1\,000^2 = 1\,000 + 1\,001\).
\(1\,001^2 – 1\,000^2 = 2\,001\).
Exercice 5 – La terrasse de la famille Diallo (4 points)
- D’abord, on fait le tour de la terrasse. Le bas mesure \(x + 6\) et le côté droit \(3\). En haut du dallage, la partie non recouverte mesure \((x + 6) – x = 6\). Ensuite, l’estrade apporte deux côtés de longueur \(x\). Enfin, le côté gauche mesure \(x + 3\).
\(P = (x + 6) + 3 + 6 + x + x + (x + 3)\)
\(P = 4x + 18\)
La bordure mesure bien \(4x + 18\) mètres. - D’abord, aire du dallage : \(3(x + 6) = 3x + 18\). Ensuite, aire de l’estrade : \(x^2\).
\(A = x^2 + 3x + 18\) (en \(\text{m}^2\)). - Pour \(x = 4\), on obtient :
\(P = 4 \times 4 + 18 = 16 + 18 = 34\)
\(A = 4^2 + 3 \times 4 + 18 = 16 + 12 + 18 = 46\)
Enfin, vérification directe : dallage \(10 \times 3 = 30\) et estrade \(16\), soit \(46\).
La bordure mesure 34 m et l’aire vaut \(46\text{ m}^2\). - Il faut donc \(4x + 18 = 50\).
\(4x = 50 – 18 = 32\)
\(x = 32 \div 4 = 8\)
Enfin, vérification : \(4 \times 8 + 18 = 32 + 18 = 50\).
L’estrade doit mesurer 8 m de côté.
Piège classique : le côté commun au dallage et à l’estrade est intérieur à la terrasse. Il ne fait donc pas partie de la bordure, et on ne le compte pas dans le périmètre.
À retenir de ce contrôle
- Plusieurs exemples qui fonctionnent ne constituent pas une preuve : il faut un calcul avec une lettre valable pour tous les nombres.
- Pour prouver qu’une affirmation est fausse, un seul contre-exemple bien choisi et bien calculé suffit.
- Trois entiers consécutifs s’écrivent n, n + 1 et n + 2 ; leur somme 3n + 3 = 3(n + 1) est un multiple de 3.
- Pour montrer que deux programmes sont équivalents, on réduit chaque expression séparément puis on constate qu’elles sont identiques.
- Le carré d’un nombre négatif est positif : (−4)² = 16, alors que −4² désigne l’opposé de 16.
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