Thalès et trigonométrie : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « thalès et trigonométrie », question par question.
Cette correction est rédigée comme une copie de brevet bien notée. À chaque question, elle nomme d’abord la propriété utilisée et vérifie ses hypothèses : triangle rectangle, points alignés dans le même ordre, droites parallèles. Ensuite, elle écrit l’égalité de quotients ou la formule de trigonométrie, puis le calcul et l’arrondi demandé.
Compare donc ta rédaction à la sienne, et pas seulement tes résultats, car le brevet note aussi la justification. Le barème détaillé t’aide ensuite à estimer ta note. Enfin, les encadrés « Piège classique » pointent les erreurs fréquentes : calculatrice en radians, côté adjacent confondu avec l’hypoténuse, ou réciproque de Thalès appliquée sans vérifier l’ordre des points.
L’énoncé complet se trouve ici : Thalès et trigonométrie : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : thalès et trigonométrie
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le triangle DEF | 3 points |
| 2. Des droites parallèles ? | 3,5 points |
| 3. Une figure, trois théorèmes | 5 points |
| 4. Le toboggan du jardin | 3,5 points |
| 5. La tyrolienne du centre de loisirs | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : thalès et trigonométrie
Exercice 1 – Le triangle DEF (3 points)
- Le triangle DEF est rectangle en E, et [DF] est son hypoténuse. Par rapport à l’angle \(\widehat{EDF}\), le côté [DE] est adjacent, donc :
\(\cos \widehat{EDF} = \frac{DE}{DF}\)
\(DE = 15 \times \cos 32^\circ \approx 12{,}72\)
DE mesure environ 12,7 cm. - Le côté [EF] est opposé à l’angle \(\widehat{EDF}\). On utilise alors le sinus :
\(\sin \widehat{EDF} = \frac{EF}{DF}\)
\(EF = 15 \times \sin 32^\circ \approx 7{,}95\)
EF mesure environ 7,9 cm. - La somme des angles d’un triangle vaut 180°. Ainsi, \(\widehat{DFE} = 180^\circ – 90^\circ – 32^\circ = 58^\circ\). L’angle \(\widehat{DFE}\) mesure 58°.
Piège classique : une calculatrice réglée en radians donne \(\cos 32 \approx 0{,}83\) au lieu de 0,848. Vérifie donc le mode degrés avant de commencer.
Exercice 2 – Des droites parallèles ? (3,5 points)
- On calcule séparément les deux quotients :
\(\frac{RE}{RS} = \frac{4{,}2}{7} = 0{,}6\)
\(\frac{RF}{RT} = \frac{5{,}4}{9} = 0{,}6\)
Les quotients sont égaux. De plus, les points R, E, S et R, F, T sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (ST) sont parallèles. - Comme (EF) et (ST) sont parallèles, le théorème de Thalès donne \(\frac{EF}{ST} = \frac{RE}{RS} = 0{,}6\). Donc \(EF = 0{,}6 \times 8{,}5 = 5{,}1\). EF mesure 5,1 cm.
- Avec \(RF = 5{,}5\), on obtiendrait \(\frac{RF}{RT} = \frac{5{,}5}{9} \approx 0{,}611\). Or \(\frac{RE}{RS} = 0{,}6\), et les quotients ne seraient donc plus égaux. Par conséquent, d’après la conséquence du théorème de Thalès, les droites ne seraient pas parallèles. Yanis a tort.
Piège classique : écrire directement « \(\frac{RE}{RS} = \frac{RF}{RT}\) » avant de calculer. En effet, on ne sait pas encore que ces quotients sont égaux : il faut d’abord les calculer à part.
Exercice 3 – Une figure, trois théorèmes (5 points)
- D’après le codage, les droites (MN) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AB). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc (MN) et (BC) sont parallèles.
- Les points A, M, B et A, N, C sont alignés, et (MN) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès :
\(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)
\(\frac{6}{10} = \frac{MN}{7{,}5}\)
\(MN = \frac{6 \times 7{,}5}{10} = 4{,}5\)
MN mesure 4,5 cm. - Le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 10^2 + 7{,}5^2 = 100 + 56{,}25 = 156{,}25\)
\(AC = \sqrt{156{,}25} = 12{,}5\)
AC mesure bien 12,5 cm. - Dans le triangle ABC rectangle en B, [BC] est opposé à l’angle \(\widehat{BAC}\) et [AB] lui est adjacent. On utilise donc la tangente :
\(\tan \widehat{BAC} = \frac{BC}{AB} = \frac{7{,}5}{10} = 0{,}75\)
\(\widehat{BAC} \approx 36{,}87^\circ\)
L’angle \(\widehat{BAC}\) mesure environ 37°. On peut aussi vérifier avec le cosinus : \(\frac{10}{12{,}5} = 0{,}8\) donne le même angle.
Piège classique : écrire \(\frac{AM}{MB}\) au lieu de \(\frac{AM}{AB}\). Les quotients de Thalès comparent toujours les côtés du petit triangle à ceux du grand triangle.
Exercice 4 – Le toboggan du jardin (3,5 points)
- Le triangle HKP est rectangle en K, car H est à la verticale de K. Le côté [HK] est opposé à l’angle \(\widehat{HPK}\), et [HP] est l’hypoténuse :
\(\sin \widehat{HPK} = \frac{HK}{HP} = \frac{2{,}1}{4{,}2} = 0{,}5\)
\(\widehat{HPK} = 30^\circ\)
Or \(30^\circ < 40^\circ\). L’angle mesure 30°, donc le toboggan respecte la règle. - D’après le théorème de Pythagore dans le triangle HKP rectangle en K :
\(KP^2 = HP^2 – HK^2 = 4{,}2^2 – 2{,}1^2 = 17{,}64 – 4{,}41 = 13{,}23\)
\(KP = \sqrt{13{,}23} \approx 3{,}637\)
KP mesure environ 3,64 m. - La longueur totale nécessaire est \(0{,}8 + 3{,}64 + 1{,}5 = 5{,}94\) m. Comme \(5{,}94 < 6\), le toboggan tient dans le coin de jardin, avec 6 cm de marge.
Piège classique : additionner les carrés, \(4{,}2^2 + 2{,}1^2\), alors que la glissière [HP] est l’hypoténuse. Ici, on cherche un côté de l’angle droit, donc on soustrait.
Exercice 5 – La tyrolienne du centre de loisirs (5 points)
- Le point L est à 3 m du sol sur un poteau de 10,5 m, donc \(SL = 10{,}5 – 3 = 7{,}5\). SL mesure bien 7,5 m.
- Comme les poteaux sont verticaux et (LK) horizontale, le triangle SLK est rectangle en L, avec \(LK = 18\) m. D’après le théorème de Pythagore :
\(SK^2 = SL^2 + LK^2 = 7{,}5^2 + 18^2 = 56{,}25 + 324 = 380{,}25\)
\(SK = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5\)
Le câble mesure 19,5 m. - Dans le triangle SLK rectangle en L, [LK] est adjacent à l’angle \(\widehat{SKL}\) :
\(\cos \widehat{SKL} = \frac{LK}{SK} = \frac{18}{19{,}5} \approx 0{,}923\)
\(\widehat{SKL} \approx 22{,}6^\circ\)
Ainsi, \(22{,}6^\circ < 25^\circ\). L’angle mesure environ 22,6°, donc la règle de sécurité est respectée. - Le pylône [MN] et le poteau [LS] sont verticaux, donc parallèles. De plus, M est sur [KL] et N sur [KS]. D’après le théorème de Thalès dans le triangle KLS :
\(\frac{KM}{KL} = \frac{KN}{KS} = \frac{MN}{LS}\)
\(\frac{12}{18} = \frac{MN}{7{,}5}\)
\(MN = \frac{12 \times 7{,}5}{18} = 5\)
Enfin, M est à 3 m du sol, donc la hauteur totale vaut \(5 + 3 = 8\). Le pylône doit mesurer 8 m.
Piège classique : répondre 5 m pour le pylône. Pourtant, MN part de la hauteur de K, à 3 m du sol : il faut donc ajouter ces 3 m.
À retenir de ce contrôle
- Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse, et le sinus celui du côté opposé par l’hypoténuse.
- Pour appliquer la réciproque de Thalès, on compare deux quotients calculés séparément et on vérifie que les points sont alignés dans le même ordre.
- Deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles, ce qui permet ensuite d’utiliser le théorème de Thalès.
- Pour trouver un angle, on calcule d’abord son cosinus, son sinus ou sa tangente, puis on utilise la touche inverse de la calculatrice.
- Dans un problème, on garde les valeurs exactes et on arrondit seulement le résultat final pour ne pas cumuler les erreurs.
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