Corrigé des 20 exercices sur les coordonnées géographiques en 3ème à télécharger en PDF

Notamment, pour répondre, on se repère avec la rose des vents : une ville est à l’ouest de Paris si elle est à sa gauche sur une carte (longitude plus petite), à l’est si elle est à sa droite (longitude plus grande), au nord si elle est au-dessus (latitude plus grande) et au sud si elle est en dessous (latitude plus petite).

Donc, plusieurs réponses sont possibles. Par exemple :

1. Notamment, rennes (ou Brest, Le Mans) est à l’ouest de Paris.
2. Également, Lyon (ou Grenoble, Dijon) est au nord de Marseille.
3. Enfin, Strasbourg (ou Nancy, Metz) est à l’est de Paris.
4. Puis, bourges (ou Clermont-Ferrand, Orléans) est au sud de Paris.

En effet, les coordonnées sont écrites sous la forme (latitude ; longitude). Puis une latitude positive correspond à l’hémisphère Nord, une latitude négative à l’hémisphère Sud. Alors, de plus, une longitude négative correspond à l’ouest du méridien de Greenwich, une longitude positive à l’est.

Par ailleurs, 1. Les villes de l’hémisphère Nord sont celles dont la latitude (premier nombre) est positive :

• Cependant, Abu Dhabi : \(25^\circ \gt 0\) ;
• Atlanta : \(33^\circ \gt 0\) ;
• Pékin : \(39^\circ \gt 0\).

Notamment, Pretoria, Ushuaia et Canberra ont une latitude négative : elles sont dans l’hémisphère Sud.

Par ailleurs, 2. Les villes de l’hémisphère Ouest sont celles dont la longitude (second nombre) est négative : Atlanta \((-84^\circ)\) et Ushuaia \((-19^\circ)\).

3.

Remarque : l’extrême est de la Russie (le Tchoukotka) dépasse le méridien 180°, mais la quasi-totalité du pays a une longitude positive.

Notamment, 1. a. Le parallèle de latitude −30° est la ligne horizontale située 3 graduations sous l’équateur (les parallèles sont tracés tous les 10°) : on la repasse en vert.

Notamment, 1. b. Le méridien de longitude 150° est le méridien situé à l’est de Greenwich, juste avant celui de 180° (les méridiens sont tracés tous les 30°) : on le repasse en rouge.

2. On lit d’abord la latitude (parallèle le plus proche), puis la longitude (méridien le plus proche). Ensuite, les lectures sur ce planisphère sont approchées :

Enfin, une lecture à quelques degrés près est acceptée : l’important est le bon hémisphère (signe) et l’ordre de grandeur.

3. Pour placer une ville, on repère le parallèle de sa latitude, puis le méridien de sa longitude : la ville est à leur intersection. Par exemple Bamako (10° ; −10°) est un peu au nord de l’équateur et un peu à l’ouest de Greenwich ; Pékin (40° ; 120°) est sur le parallèle 40° N, loin à l’est.

Ensuite, 1. L’équateur est le parallèle de latitude 0° (en rouge) ; le méridien de Greenwich est le méridien de longitude 0° qui passe par les pôles et par Londres (en vert). Puis, sur ce globe, méridiens et parallèles sont tracés tous les 10°.

Alors, 2. On compte les graduations depuis l’équateur (latitude) et depuis Greenwich (longitude) :

• Car K (40° N ; 40° O) : sur le parallèle 40° N, 4 méridiens à l’ouest de Greenwich ;
• Toutefois, L (40° N ; 20° E) : sur le parallèle 40° N, 2 méridiens à l’est ;
• En effet, M (10° S ; 10° E) : un parallèle sous l’équateur, un méridien à l’est ;
• Toutefois, N (30° S ; 40° O) : trois parallèles sous l’équateur, sur le même méridien que K.

En outre, 3. Les points A, B, C et D sont placés en bleu à l’intersection de leur parallèle et de leur méridien.

Cependant, 4. A (20° S ; 10° O) et C (20° S ; 10° E) ont la même latitude : ils sont sur le même parallèle (20° S), de part et d’autre du méridien de Greenwich, à égale distance de celui-ci.

Puis, B (40° N ; 30° O) et D (10° S ; 30° O) ont la même longitude : ils sont sur le même méridien (30° O).

Notamment, Pourquoi plus tôt à Saint-Claude ? La Terre tourne sur elle-même d’ouest en est. Par ailleurs, le Soleil semble donc se déplacer d’est en ouest : il se lève et se couche d’abord dans les lieux situés le plus à l’est. Puis les deux villes ont la même latitude (46,2° N), mais Saint-Claude (longitude 5,5° E) est plus à l’est que La Rochelle (longitude 1,2° O) : le soleil s’y couche donc plus tôt.

Combien de temps ? La Terre fait un tour complet (360°) en 24 heures, donc elle tourne de :

\[ \frac{360^\circ}{24 \text{ h}} = 15^\circ \text{ par heure, soit } \frac{60 \text{ min}}{15} = 4 \text{ min par degré.} \]

Cependant, L’écart de longitude entre les deux villes est :

\[ 5{,}5 – (-1{,}2) = 5{,}5 + 1{,}2 = 6{,}7^\circ \]

Le temps écoulé est donc :

\[ \begin{aligned} 6{,}7 \times 4 &= 26{,}8 \text{ min} \\ &= 26 \text{ min} + 0{,}8 \times 60 \text{ s} \\ &= 26 \text{ min } 48 \text{ s} \end{aligned} \]

Le soleil s’est couché à Saint-Claude environ 27 minutes avant La Rochelle, c’est-à-dire vers 17 h 16 min.

En effet, sur la carte, les parallèles sont tracés tous les 10° et les méridiens tous les 15° (graduations 0°, 30°, 60°… avec un méridien intermédiaire).

• Ainsi, latitude : Pyeongchang est au nord de l’équateur, entre les parallèles 30° N et 40° N, plus près de 40° N : environ 37° N.
• Également, longitude : la ville est à l’est de Greenwich, entre les méridiens 120° E et 135° E, près de ce dernier : environ 128° E.

Une lecture comme (40° N ; 130° E) est acceptable, car on demande des valeurs approchées.

Toutefois, sur cette carte, parallèles et méridiens sont tracés tous les 20°. Ensuite, pour chaque symbole, on lit le parallèle (N ou S) puis le méridien (E ou O) qui passent par lui :

En outre, sur ce globe, les parallèles (en rouge) sont tracés tous les 20° et les méridiens (en vert) tous les 30°.

1. Latitudes (position par rapport à l’équateur) :

• Donc, Istanbul est sur le parallèle 40° N ;
• Puis, Puerto Montt est sur le parallèle 40° S ;
• En effet, Belem est sur l’équateur : latitude 0°.

2. Toutefois, longitudes (position par rapport au méridien de Greenwich) :

• Car Dacca est sur le méridien 90° E ;
• Cependant, londres est sur le méridien origine : longitude 0° ;
• Cependant, Istanbul est sur le méridien 30° E.

3. Saint-Pétersbourg (30° E ; 60° N) est sur le même méridien qu’Istanbul (30° E), mais plus au nord, sur le parallèle 60° N : on la place à l’intersection de ce méridien et du parallèle 60° N, au nord de la mer Baltique.

Notamment, 1. Le tropique est un cercle de centre H et de rayon HA. Puis le triangle OHA est rectangle en H et OA = 6 378 km (rayon de la Terre). D’après le théorème de Pythagore :

\[ \begin{aligned} OA^2 &= OH^2 + HA^2 \\ HA^2 &= 6\,378^2 – 2\,543^2 \\ HA^2 &= 40\,678\,884 – 6\,466\,849 = 34\,212\,035 \\ HA &= \sqrt{34\,212\,035} \approx 5\,849{,}1 \text{ km} \end{aligned} \]

En outre, la longueur du tropique est le périmètre de ce cercle :

\[ L = 2 \times \pi \times HA \approx 2 \times \pi \times 5\,849{,}1 \approx 36\,751 \text{ km} \]

Ainsi, un tropique mesure environ 36 751 km.

2. a) Les droites (OE) (plan de l’équateur) et (HA) (plan du tropique) sont parallèles, car les deux plans sont perpendiculaires à l’axe des pôles. Coupées par la sécante (OA), elles forment des angles alternes-internes \(\widehat{EOA}\) et \(\widehat{OAH}\), qui ont donc la même mesure : \(\widehat{OAH} = 23{,}5^\circ\).

Enfin, 2. b) Dans le triangle OHA rectangle en H, l’angle \(\widehat{OAH}\) a pour côté adjacent [HA] et pour hypoténuse [OA] :

\[ \begin{aligned} \cos \widehat{OAH} &= \frac{HA}{OA} \\ HA &= 6\,378 \times \cos 23{,}5^\circ \approx 5\,849{,}0 \text{ km} \\ L_{\text{Capricorne}} &= 2 \times \pi \times HA \approx 36\,750 \text{ km} \end{aligned} \]

En outre, on retrouve bien la même longueur, à quelques unités près (les 2 543 km de l’énoncé sont arrondis) : environ 36 750 km.

Enfin, 3. a) Pour le cercle polaire de centre K et de rayon KP, de la même façon \(\widehat{OPK} = \widehat{EOP} = 66{,}5^\circ\) (angles alternes-internes) et le triangle OKP est rectangle en K :

\[ \begin{aligned} KP &= 6\,378 \times \cos 66{,}5^\circ \approx 2\,543{,}2 \text{ km} \\ L_{\text{polaire}} &= 2 \times \pi \times KP \approx 15\,980 \text{ km} \end{aligned} \]

En effet, un cercle polaire mesure environ 15 980 km.

Par ailleurs, 3. b) La longueur de l’équateur est \(2 \times \pi \times 6\,378 \approx 40\,074 \text{ km}\). De même, vérifions avec les valeurs non arrondies :

\[ \begin{aligned} L_{\text{équateur}}^2 &\approx 1\,605\,938\,000 \\ L_{\text{polaire}}^2 + L_{\text{tropique}}^2 &\approx 255\,345\,000 + 1\,350\,593\,000 \approx 1\,605\,938\,000 \end{aligned} \]

L’égalité est vérifiée. Explication : le rayon du cercle polaire vaut KP ≈ 2 543 km = OH (car \(\cos 66{,}5^\circ = \sin 23{,}5^\circ\)), donc d’après Pythagore dans OHA : \(KP^2 + HA^2 = OH^2 + HA^2 = OA^2\). Par exemple, de plus, en multipliant par \((2\pi)^2\), on obtient exactement la relation demandée.

Car 1. L’équateur est un grand cercle de centre O et de rayon 6 370 km :

\[ L = 2 \times \pi \times 6\,370 = 12\,740\,\pi \approx 40\,024 \text{ km} \]

2. D’après le schéma, B est entre G et A, donc :

\[ \widehat{AOB} = \widehat{GOA} – \widehat{GOB} = 42^\circ – 9^\circ = 33^\circ \]

Donc, la longueur d’un arc est proportionnelle à l’angle au centre : 360° correspondent à tout l’équateur.

\[ \begin{aligned} \text{arc } AB &= \frac{33}{360} \times 2 \times \pi \times 6\,370 \\ &\approx 3\,669 \text{ km} \end{aligned} \]

Également, la portion d’équateur située en Afrique mesure environ 3 669 km.

Par ailleurs, on note O le centre de la Terre ; le rayon est \(R = 6\,370\) km.

Également, 1. Un méridien est un demi-cercle qui va d’un pôle à l’autre. Ainsi, Sa longueur est la moitié de celle d’un grand cercle :

\[ \ell = \frac{2 \pi \times 6\,370}{2} = 6\,370\pi \approx 20\,012 \text{ km} \]

2. L’angle entre [ON] et l’équateur est droit, donc \( \widehat{NOR} = 90^\circ – 42^\circ = 48^\circ \). Ensuite, la longueur d’un arc est proportionnelle à l’angle au centre (360° pour le cercle entier) :

\[ \overset{\frown}{NR} = \frac{48}{360} \times 2\pi \times 6\,370 \approx 5\,337 \text{ km} \]

Ensuite, 3. Le parallèle de Rome est le cercle de centre H et de rayon HR. Par ailleurs, dans le triangle OHR rectangle en H, l’angle \( \widehat{HRO} \) vaut 42° (angles alternes-internes, car (HR) est parallèle à l’équateur). Donc :

\[ HR = OR \times \cos 42^\circ = 6\,370 \times \cos 42^\circ \approx 4\,733{,}8 \text{ km} \]
\[ \text{longueur du parallèle} = 2\pi \times HR \approx 29\,744 \text{ km} \]

Par exemple, 4. Rome (12° E) et Boston (71° O) sont de part et d’autre du méridien de Greenwich : l’écart de longitude est \(12^\circ + 71^\circ = 83^\circ\). Puis les deux villes ont la même latitude (42° N) : elles sont sur le même parallèle, et l’arc qui les sépare correspond à 83° sur 360° :

\[ d = \frac{83}{360} \times 29\,743{,}5 \approx 6\,858 \text{ km} \]

On repère d’abord les lignes :

• En outre, les parallèles 50° et 20° sont au-dessus de l’équateur : latitude Nord ; le parallèle 60° est en dessous : latitude Sud ;
• Enfin, les méridiens 70° et 30° sont à gauche (à l’ouest) du méridien de Greenwich : longitude Ouest ; le méridien 20° est à droite : longitude Est.

On écrit ensuite chaque point sous la forme (latitude ; longitude) :

Toutefois, a. Pour placer un point, on cherche l’intersection de son parallèle (la latitude) et de son méridien (la longitude). Ensuite, les longitudes Ouest sont à gauche du méridien de Greenwich, les latitudes Nord au-dessus de l’équateur.

• Puis, M (45° N ; 65° O) : parallèle 45° au nord, méridien 65° à l’ouest.
• Ensuite, R (25° S ; 45° O) : parallèle 25° au sud, méridien 45° à l’ouest.
• De même, V (45° N ; 0°) : parallèle 45° au nord, sur le méridien de Greenwich.

b. On lit le parallèle puis le méridien de chaque point :

• Enfin, O (Oslo) est sur le parallèle 60° Nord, sur le premier méridien à l’est du méridien de Greenwich, celui marqué 20° : O (60° N ; 20° E).
• Par exemple, I (Miami) est au nord de l’équateur, sur le parallèle 25°, et sur le méridien 80° à l’ouest : I (25° N ; 80° O).
• Également, D (Saint-Denis de La Réunion) est au sud de l’équateur, sur le parallèle 25°, et à l’est, au niveau du méridien 65° : D (25° S ; 65° E).

Le dessin est simplifié : en réalité, Oslo est vers (60° N ; 11° E) et Saint-Denis vers (21° S ; 55° E). Donc, seule la lecture du dessin est demandée.

Par ailleurs, a. Le tropique du Cancer est un cercle de centre U, et U est sur l’axe des pôles : le triangle OUL est rectangle en U, avec \(OL = 6\,370\) km (rayon de la Terre) et \(OU \approx 2\,509\) km. D’après le théorème de Pythagore :

\[ \begin{aligned} LU^2 &= OL^2 – OU^2 = 6\,370^2 – 2\,509^2 \\ &= 40\,576\,900 – 6\,295\,081 = 34\,281\,819 \\ LU &= \sqrt{34\,281\,819} \approx 5\,855 \text{ km} \end{aligned} \]

En effet, b. Le tropique est un cercle de rayon LU :

\[ 2 \pi \times LU \approx 2 \pi \times 5\,855{,}07 \approx 36\,788 \text{ km} \]

Enfin, Vérification avec la latitude : \(6\,370 \times \cos 23{,}44^\circ \approx 5\,844\) km, très proche (OU est arrondi dans l’énoncé).

De même, a. L’équateur est un grand cercle de rayon 6 370 km :

\[ 2 \pi \times 6\,370 \approx 40\,024 \text{ km} \]

Donc, b. Dans le triangle OJF rectangle en J, \(OF = 6\,370\) km. Puis les droites (JF) et (OE) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à l’axe NS), donc \( \widehat{JFO} = \widehat{FOE} = 49^\circ \) (angles alternes-internes). Ensuite, de plus, le côté [JF] est adjacent à cet angle :

\[ JF = OF \times \cos 49^\circ = 6\,370 \times \cos 49^\circ \approx 4\,179 \text{ km} \]

En outre, c. Le 49e parallèle est le cercle de centre J et de rayon JF :

\[ 2 \pi \times JF \approx 2\pi \times 4\,179{,}1 \approx 26\,258 \text{ km} \]

En outre, les deux autres images de l’exercice rappellent seulement comment se lisent la latitude et la longitude sur le globe.

En effet, sur une carte en ligne, une longitude positive est à l’Est et une longitude négative à l’Ouest. Ensuite, le point en France est à environ 1,89° E, celui des États-Unis à environ 100,45° O.

Les deux points sont de part et d’autre du méridien de Greenwich, donc l’écart de longitude est :

\[ 1{,}888\,334 + 100{,}445\,882 = 102{,}334\,216^\circ \]

La Terre fait un tour (360°) en 24 heures, donc elle tourne de \(360 \div 24 = 15^\circ\) par heure. Par ailleurs, le décalage horaire correspond à :

\[ 102{,}33 \div 15 \approx 6{,}82 \text{ h} \approx 6 \text{ h } 49 \text{ min} \]

Le soleil se lève d’abord à l’Est : quand il est midi en France, il est environ 5 h du matin au centre des États-Unis. Puis en pratique, les fuseaux horaires arrondissent à l’heure entière : le décalage officiel est de 7 heures.

\(NS = 10\) cm est un diamètre, donc le rayon de la sphère est OA = OD = 5 cm.

Ensuite, 1a) Un grand cercle a le même rayon que la sphère :

\[ 2\pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}4 \text{ cm} \]

Alors, 1b) La longueur d’un arc est proportionnelle à son angle au centre :

\[ \begin{aligned} \overset{\frown}{AB} &= \frac{60}{360} \times 10\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5{,}24 \text{ cm} \\ \overset{\frown}{CD} \text{ (grand cercle)} &= \frac{38{,}69}{360} \times 10\pi \approx 3{,}38 \text{ cm} \end{aligned} \]

2a) Le plan du parallèle est perpendiculaire à l’axe (NS) en I, donc le triangle OID est rectangle en I. (ID) et (OB) sont parallèles, donc \( \widehat{IDO} = \widehat{DOB} = 40^\circ \) (angles alternes-internes). Alors :

\[ DI = OD \times \cos 40^\circ = 5 \times \cos 40^\circ \approx 3{,}83 \text{ cm} \]

Ainsi, 2b) Le parallèle est le cercle de centre I et de rayon DI :

\[ 2\pi \times DI \approx 2\pi \times 3{,}830 \approx 24{,}07 \text{ cm} \]

2c) [IC] et [ID] sont parallèles à [OA] et [OB] (les plans du parallèle et de l’équateur sont parallèles, et C, A sont sur le même méridien, de même que D, B). Donc \( \widehat{DIC} = \widehat{BOA} = 60^\circ \) et :

\[ \overset{\frown}{CD} \text{ (parallèle)} = \frac{60}{360} \times 2\pi \times DI \approx 4{,}01 \text{ cm} \]

3) Pour aller de C à D, l’arc du grand cercle mesure environ 3,38 cm alors que l’arc du parallèle mesure environ 4,01 cm. Ensuite, L’avion a intérêt à suivre le grand cercle passant par C et D : c’est le chemin le plus court sur la sphère.

Montréal est à l’ouest de Greenwich et Paris à l’est : on additionne les deux longitudes.

1. \[ 73^{\circ} + 2^{\circ} = 75^{\circ} \] L’écart de longitude est de \(75^{\circ}\).
2. \[ \dfrac{75}{15} = 5 \] Le décalage horaire est de 5 heures.
3. Montréal est à l’ouest de Paris : il y fait plus tôt. \[ 20\text{h} – 5\text{h} = 15\text{h} \] Il est \(15\text{h}\) à Montréal.

Le rayon HA du parallèle se lit dans le triangle OHA, rectangle en H.

1. Les droites (OE) (équateur) et (HA) sont parallèles : les angles alternes-internes \(\widehat{\text{EOA}}\) et \(\widehat{\text{OAH}}\) sont égaux, donc \(\widehat{\text{OAH}} = 60^{\circ}\). Dans le triangle OHA rectangle en H : \[ \cos\left(\widehat{\text{HAO}}\right) = \dfrac{\text{HA}}{\text{OA}} \] Donc \(\text{HA} = \text{OA} \times \cos\left(60^{\circ}\right)\) : \[ \text{HA} = 6\,370 \times 0{,}5 = 3\,185\ \text{km} \]
2. \[ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times 3\,185 = 6\,370\pi \approx 20\,012\ \text{km} \] Le parallèle mesure environ 20 012 km.
3. \(90^{\circ}\) représente le quart d’un tour : \[ \dfrac{20\,011{,}945}{4} \approx 5\,003\ \text{km} \] La distance est d’environ 5 003 km.

1. On lit d’abord la latitude (ligne horizontale), puis la longitude (ligne verticale) :
   • A : \((20^{\circ}\text{ N} ; 40^{\circ}\text{ O})\) ;
   • B : \((40^{\circ}\text{ N} ; 20^{\circ}\text{ E})\) ;
   • C : \((20^{\circ}\text{ S} ; 40^{\circ}\text{ E})\).
2. Hémisphère Sud : latitude sud, donc seul C (\(20^{\circ}\text{ S}\)). Hémisphère Est : longitude est, donc B et C (A est à l’ouest du méridien de Greenwich).
3. D est sur l’équateur (latitude \(0^{\circ}\)) et sur le méridien \(20^{\circ}\text{ O}\) : c’est le point rouge de la figure. Tout point de l’équateur a pour latitude \(0^{\circ}\).