Trigonométrie en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
Voici le corrigé exercices trigonométrie 3ème des dix premiers énoncés de la fiche. Ils couvrent tout ce qu’il faut savoir faire avec le cosinus, le sinus et la tangente dans un triangle rectangle : écrire le bon rapport en repérant l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé, calculer un angle avec les touches arccos, arcsin, arctan de la calculatrice, puis calculer une longueur. Plusieurs problèmes concrets (hauteur d’une tour, distance entre deux bateaux, bateau vu depuis la côte, géomètre face à un canyon) obligent à choisir soi-même le triangle rectangle utile.
Chaque résolution est accompagnée d’une figure qui met en couleur le triangle travaillé et les valeurs trouvées. Pour progresser, cherche d’abord seul, écris la formule avant de remplacer les longueurs par leurs valeurs, puis confronte ta solution à celle-ci. Vérifie surtout que ta calculatrice est réglée en degrés et que tu arrondis seulement à la fin : c’est là que se perdent la plupart des points au brevet.
Les énoncés se trouvent sur la fiche Trigonométrie : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF. (35 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.
Corrigé des exercices 1 à 10 sur la trigonométrie en 3ème
Exercice 1 : Calculs de la mesure d'un angle et trigonométrie
Revoir l’énoncé de l’exercice 1
Dans chaque triangle rectangle, on repère par rapport à l’angle marqué les côtés connus, puis on choisit le rapport qui les relie (moyen mnémotechnique SOH CAH TOA).
Triangle AIB rectangle en A (angle en B) : on connaît le côté opposé \(AI = 2{,}1\) cm et le côté adjacent \(AB = 2{,}8\) cm, on utilise la tangente.
\[ \tan \widehat{ABI} = \frac{AI}{AB} = \frac{2{,}1}{2{,}8} = 0{,}75 \quad \text{donc} \quad \widehat{ABI} \approx 37^\circ \]
Triangle CDL rectangle en D (angle en L) : on connaît l’hypoténuse \(CL = 9\) cm et le côté opposé \(CD = 8\) cm, on utilise le sinus.
\[ \sin \widehat{CLD} = \frac{CD}{CL} = \frac{8}{9} \quad \text{donc} \quad \widehat{CLD} \approx 63^\circ \]
Triangle EFJ rectangle en F (angle en E) : on connaît l’hypoténuse \(EJ = 4{,}2\) cm et le côté opposé \(FJ = 2{,}7\) cm, on utilise le sinus.
\[ \sin \widehat{FEJ} = \frac{FJ}{EJ} = \frac{2{,}7}{4{,}2} \quad \text{donc} \quad \widehat{FEJ} \approx 40^\circ \]
Triangle GHK rectangle en H (angle en K) : on connaît le côté opposé \(GH = 4\) cm et le côté adjacent \(HK = 3\) cm, on utilise la tangente.
\[ \tan \widehat{GKH} = \frac{GH}{HK} = \frac{4}{3} \quad \text{donc} \quad \widehat{GKH} \approx 53^\circ \]
Exercice 2 : Hauteur d'une tour
Revoir l’énoncé de l’exercice 2
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Première tour. Le triangle ABS est rectangle en B, avec \(AB = CD = 45\) m et \(\widehat{SAB} = 25^\circ\). On connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé : on utilise la tangente.
\[ \begin{aligned} \tan 25^\circ &= \frac{SB}{AB} \\ SB &= 45 \times \tan 25^\circ \approx 20{,}98 \text{ m} \end{aligned} \]
L’observateur a les yeux à 1,50 m du sol, donc \(BD = AC = 1{,}5\) m et
\[ h = SB + BD \approx 20{,}98 + 1{,}5 \approx 22{,}5 \text{ m} \]
Deuxième tour. Cette fois on ne connaît pas la distance horizontale AB. On la calcule d’abord dans le triangle ABD rectangle en B, où \(BD = AC = 3\) m et \(\widehat{BAD} = 18^\circ\) :
\[ \begin{aligned} \tan 18^\circ &= \frac{BD}{AB} \\ AB &= \frac{3}{\tan 18^\circ} \approx 9{,}233 \text{ m} \end{aligned} \]
Puis, dans le triangle ABS rectangle en B, avec \(\widehat{SAB} = 40^\circ\) :
\[ \begin{aligned} SB &= AB \times \tan 40^\circ \approx 9{,}233 \times \tan 40^\circ \approx 7{,}75 \text{ m} \\ h &= SB + BD \approx 7{,}75 + 3 \approx 10{,}7 \text{ m} \end{aligned} \]
Exercice 3 : Distance entre deux bateaux
Revoir l’énoncé de l’exercice 3
Notons P le sommet du phare, O son pied au niveau de la mer, B₁ le bateau le plus proche (vu sous un angle de 22°) et B₂ le plus éloigné (16°). Les triangles \(POB_1\) et \(POB_2\) sont rectangles en O, avec \(PO = 40\) m. Dans chacun, on connaît le côté opposé à l’angle et on cherche le côté adjacent : tangente.
\[ \begin{aligned} \tan 22^\circ &= \frac{PO}{OB_1} & \text{donc } OB_1 &= \frac{40}{\tan 22^\circ} \approx 99{,}0 \text{ m} \\ \tan 16^\circ &= \frac{PO}{OB_2} & \text{donc } OB_2 &= \frac{40}{\tan 16^\circ} \approx 139{,}5 \text{ m} \end{aligned} \]
Les deux bateaux et le pied du phare sont alignés, donc :
\[ B_1B_2 = OB_2 – OB_1 \approx 139{,}50 – 99{,}00 \approx 40{,}5 \text{ m} \]
Exercice 4 : Bateau et île
Revoir l’énoncé de l’exercice 4
Le triangle CPV est rectangle en P. L’angle \(\widehat{PCV}\) mesure 70° et le côté \(CP = 150\) m est adjacent à cet angle. On cherche l’hypoténuse CV : on utilise le cosinus.
\[ \begin{aligned} \cos 70^\circ &= \frac{CP}{CV} \\ CV &= \frac{150}{\cos 70^\circ} \approx 438{,}6 \text{ m} \end{aligned} \]
La longueur \(HC = 100\) m n’est pas utile pour ce calcul ; elle permettrait ensuite d’obtenir la distance du bateau à la côte : \(HV = CV – HC \approx 338{,}6\) m.
Exercice 5 : Problème du géomètre
Revoir l’énoncé de l’exercice 5
Calcul de GH. H est le pied de la hauteur issue de G, donc le triangle AHG est rectangle en H. L’hypoténuse est \(AG = 20\) m et GH est le côté opposé à l’angle \(\widehat{HAG} = 78^\circ\) : on utilise le sinus.
\[ \begin{aligned} \sin 78^\circ &= \frac{GH}{AG} \\ GH &= 20 \times \sin 78^\circ \approx 19{,}56 \text{ m} \end{aligned} \]
Calcul de GM. Dans le triangle AGM, la somme des angles vaut 180°, donc
\[ \widehat{AMG} = 180^\circ – 78^\circ – 70^\circ = 32^\circ \]
Le triangle GHM est rectangle en H, GM est son hypoténuse et GH le côté opposé à l’angle \(\widehat{HMG} = 32^\circ\) :
\[ \begin{aligned} \sin 32^\circ &= \frac{GH}{GM} \\ GM &= \frac{GH}{\sin 32^\circ} = \frac{20 \times \sin 78^\circ}{\sin 32^\circ} \approx 36{,}9 \text{ m} \end{aligned} \]
On garde la valeur exacte \(20 \times \sin 78^\circ\) dans le calcul pour ne pas cumuler les arrondis.
Exercice 6 : Compléter les pointillés
Revoir l’énoncé de l’exercice 6
Pour chaque angle, on identifie l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit), le côté adjacent et le côté opposé.
a. Dans le triangle ABC rectangle en C, l’hypoténuse est [AB] :
\[ \cos \widehat{BAC} = \frac{AC}{AB} \qquad \cos \widehat{ABC} = \frac{BC}{AB} \]
b. Dans le triangle BCD rectangle en D, l’hypoténuse est [BC] :
\[ \sin \widehat{BCD} = \frac{BD}{BC} \qquad \tan \widehat{DBC} = \frac{CD}{BD} \]
c. Dans le triangle ADC rectangle en D, l’hypoténuse est [AC] :
\[ \sin \widehat{ACD} = \frac{AD}{AC} \]
Exercice 7 : Associer les bonnes formules
Revoir l’énoncé de l’exercice 7
On regarde, pour chaque formule, quel côté joue le rôle d’hypoténuse : l’angle droit est en face de lui.
- a. \(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}\) : l’hypoténuse est [BC], donc le triangle est rectangle en A : triangle n° 2.
- b. \(\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}\) : AC est opposé à l’angle en B et BC adjacent, l’hypoténuse est [AB], donc rectangle en C : triangle n° 1.
- c. \(\sin \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AC}\) : l’hypoténuse est [AC], donc rectangle en B : triangle n° 3.
- d. \(\tan \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AC}\) : BC est opposé à l’angle en A et AC adjacent, l’hypoténuse est [AB], donc rectangle en C : triangle n° 1.
| Formule | n° |
|---|---|
| a. cos ABC = AB/BC | 2 |
| b. tan ABC = AC/BC | 1 |
| c. sin BAC = BC/AC | 3 |
| d. tan BAC = BC/AC | 1 |
Exercice 8 : Utilisation de la calculatrice
Revoir l’énoncé de l’exercice 8
Calculatrice en mode degrés, touches sin et tan, puis arrondi au centième.
| Angle | 30° | 45° | 20° | 83° | 60° |
|---|---|---|---|---|---|
| Sinus | 0,5 | 0,71 | 0,34 | 0,99 | 0,87 |
| Tangente | 0,58 | 1 | 0,36 | 8,14 | 1,73 |
Remarques : \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) et \(\tan 45^\circ = 1\) sont des valeurs exactes. La tangente d’un angle proche de 90° devient très grande (\(\tan 83^\circ \approx 8{,}14\)), alors qu’un sinus reste toujours inférieur à 1.
Exercice 9 : Produit en croix
Revoir l’énoncé de l’exercice 9
a. On multiplie les deux membres par 3,5 :
\[ 5{,}6 = \frac{x}{3{,}5} \quad \text{donc} \quad x = 5{,}6 \times 3{,}5 = 19{,}6 \]
b. Deux quotients égaux ont leurs produits en croix égaux :
\[ \begin{aligned} \frac{8{,}5}{y} &= \frac{3{,}4}{5{,}2} \\ 3{,}4 \times y &= 8{,}5 \times 5{,}2 = 44{,}2 \\ y &= \frac{44{,}2}{3{,}4} = 13 \end{aligned} \]
Vérification : \(8{,}5 \div 13 \approx 0{,}654\) et \(3{,}4 \div 5{,}2 \approx 0{,}654\).
Exercice 10 : Calcul de longueurs
Revoir l’énoncé de l’exercice 10
a. Dans le triangle IJK rectangle en K, l’hypoténuse est [IJ], le côté adjacent à l’angle \(\widehat{IJK}\) est [JK] et le côté opposé est [IK] :
\[ \cos \widehat{IJK} = \frac{JK}{IJ} \qquad \sin \widehat{IJK} = \frac{IK}{IJ} \qquad \tan \widehat{IJK} = \frac{IK}{JK} \]
b. On connaît l’hypoténuse \(IJ = 6\) cm et l’angle de 53°.
Pour JK (côté adjacent), on utilise le cosinus :
\[ JK = IJ \times \cos 53^\circ = 6 \times \cos 53^\circ \approx 3{,}61 \text{ cm} \]
Pour IK (côté opposé), on utilise le sinus :
\[ IK = IJ \times \sin 53^\circ = 6 \times \sin 53^\circ \approx 4{,}79 \text{ cm} \]
Contrôle avec le théorème de Pythagore : \(3{,}61^2 + 4{,}79^2 \approx 36\), soit \(6^2\).
La méthode à retenir sur la trigonométrie
- Vérifier que le triangle est rectangle et repérer l’hypoténuse, en face de l’angle droit.
- Par rapport à l’angle étudié, nommer le côté adjacent et le côté opposé, puis choisir le rapport qui contient les deux longueurs utiles (SOH CAH TOA).
- Écrire la formule avec les lettres, puis remplacer par les valeurs, puis isoler l’inconnue (produit en croix).
- Pour un angle, utiliser arccos, arcsin ou arctan (touches \(\cos^{-1}\), \(\sin^{-1}\), \(\tan^{-1}\)) en mode degrés.
- Dans un problème, tracer le triangle rectangle utile et, si besoin, calculer d’abord une longueur intermédiaire dans un autre triangle.
- N’arrondir qu’au dernier calcul, en gardant les valeurs exactes comme \(20 \times \sin 78^\circ\).
Les erreurs fréquentes
- Prendre la tangente alors qu’on connaît l’hypoténuse : dans le triangle CDL, c’est le sinus \(8/9\) qu’il faut utiliser.
- Oublier d’ajouter la hauteur des yeux de l’observateur (1,50 m ou 3 m) à la hauteur calculée.
- Utiliser une calculatrice réglée en radians ou en grades : les résultats sont alors faux.
- Arrondir une longueur intermédiaire puis la réutiliser, ce qui décale le résultat final.
- Confondre l’angle en A et l’angle en B dans un tableau de formules : le côté adjacent change avec l’angle.
Les exercices 11 à 35 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.
Questions fréquentes
Comment savoir s’il faut utiliser cosinus, sinus ou tangente ?
On regarde les deux longueurs qui interviennent : celle qu’on connaît et celle qu’on cherche. Si l’hypoténuse n’intervient pas, c’est la tangente ; si elle intervient avec le côté adjacent, le cosinus ; avec le côté opposé, le sinus.
Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle un résultat bizarre ?
Le plus souvent, elle est en mode radian. Vérifie qu’un petit D ou DEG est affiché à l’écran ; un bon test est \(\cos 60^\circ\), qui doit donner exactement 0,5.
La trigonométrie fonctionne-t-elle dans n’importe quel triangle ?
Non, en 3ème les formules cosinus, sinus et tangente ne s’appliquent que dans un triangle rectangle. Si la figure n’en contient pas, il faut en fabriquer un en traçant une hauteur, comme dans le problème du géomètre.
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