Corrigé des 44 exercices sur les généralités sur les fonctions en 3ème à télécharger en PDF

La fonction est définie par \(V(x) = 18\pi\left[\left(1 + \dfrac{x}{6}\right)^3 – 1\right]\).

Également, 1) On part de 6 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée : environ 400. Donc \(V(6) \approx 400\).

Par conséquent, 2) Calcul exact :

\[ \begin{aligned} V(6) &= 18\pi\left[\left(1 + \frac{6}{6}\right)^3 – 1\right] \\ &= 18\pi \times (2^3 – 1) \\ &= 18\pi \times 7 \\ &= 126\pi \end{aligned} \]

3) \(126\pi \approx 395{,}84\), donc l’arrondi à l’unité de l’image de 6 est 396 (cohérent avec la lecture graphique).

En effet, 4) On part de 250 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la courbe puis on descend sur l’axe des abscisses : on arrive entre 4 et 5. Vérification : \(V(4) \approx 205\) et \(V(5) \approx 292\). Par ailleurs, L’antécédent de 250 est compris entre 4 et 5.

La courbe est formée de quatre parties : un segment de (0 ; 0) à (10 ; 2), une partie moins pentue de (10 ; 2) à (20 ; 3), un palier de (20 ; 3) à (25 ; 3), puis une partie très pentue jusqu’à (35 ; 6).

Ensuite, 1) Non : si la vitesse était constante, la distance serait proportionnelle au temps et la courbe serait une seule droite passant par l’origine. Ici la pente change plusieurs fois.

De plus, 2) Oui : entre 20 min et 25 min la distance reste égale à 3 km. Puis le coureur s’est arrêté pendant 5 minutes.

Par ailleurs, 3) Par lecture, \(d(5) = 1\) : au bout de 5 minutes de course, le coureur a parcouru 1 km.

Ainsi, 4) L’antécédent de 6 est 35 : le coureur a mis 35 minutes pour parcourir les 6 km.

Donc, 5) Sur le plat, il court à 12 km/h, c’est-à-dire 2 km en 10 minutes : c’est bien le cas de 0 à 10 min. À partir de 10 minutes, la courbe devient moins pentue : il ralentit, c’est le début de la côte. Ensuite, la côte dure jusqu’à 20 min, de 2 km à 3 km : elle mesure 1 km.

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

Également, 6) De 25 à 35 min, il parcourt \(6 – 3 = 3\) km en 10 minutes, soit plus que les 2 km en 10 minutes de son allure sur le plat : il va plus vite qu’à 12 km/h sans effort supplémentaire, ce qui laisse penser qu’il est en descente.

Par conséquent, 7) Sur les 10 dernières minutes : 3 km en 10 min, soit \(\dfrac{1}{6}\) h.

\[ v = \frac{d}{t} = \frac{3 \text{ km}}{\frac{1}{6} \text{ h}} = 18 \text{ km/h} \]

En effet, sur toute la course : 6 km en 35 min, soit \(\dfrac{35}{60}\) h.

\[ v = \frac{6}{\frac{35}{60}} = \frac{6 \times 60}{35} = \frac{72}{7} \approx 10{,}3 \text{ km/h} \]

Pour une image, on part de l’abscisse et on lit l’ordonnée du point de la courbe. Puis pour les antécédents d’un nombre \(k\), on trace la droite horizontale \(y = k\) et on lit les abscisses de tous les points d’intersection.

• a) Le point d’abscisse 8 a pour ordonnée 2 : \(h(8) = 2\).
• b) \(h(-1) = 1\).
• c) La courbe coupe l’axe des abscisses en 3 et 7 : les antécédents de 0 sont 3 et 7.
• d) \(h(-3) = 4\).
• e) La droite \(y = -2\) coupe la courbe en deux points : les antécédents de \(-2\) sont 4 et 6.
• f) La droite \(y = 2\) coupe la courbe en quatre points : les antécédents de 2 sont −2, 0, 2 et 8.

1. a. On trace [FG] de 9 cm, puis deux arcs de cercle : de centre F et de rayon 5,4 cm, de centre G et de rayon 7,2 cm ; E est leur point d’intersection.

Ensuite, b. \(EM = \dfrac{2}{3} \times 5{,}4 = 3{,}6\) cm. De plus, on place M sur [EF] à 3,6 cm de E.

De plus, c. Les droites (MN) et (FG) sont parallèles, M est sur [EF] et N sur [EG]. D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{EM}{EF} = \frac{EN}{EG} \quad \text{donc} \quad EN = \frac{2}{3} \times 7{,}2 = 4{,}8 \text{ cm} \]

Par ailleurs, d. Le plus grand côté est [FG]. \(FG^2 = 9^2 = 81\) et \(EF^2 + EG^2 = 5{,}4^2 + 7{,}2^2 = 29{,}16 + 51{,}84 = 81\). Comme \(FG^2 = EF^2 + EG^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.

Le triangle EMN est donc rectangle en E, et son aire vaut :

\[ \mathcal{A}_{EMN} = \frac{EM \times EN}{2} = \frac{3{,}6 \times 4{,}8}{2} = 8{,}64 \text{ cm}^2 \]

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2. a. M se déplace sur le segment [EF], donc \(0 \leqslant x \leqslant 5{,}4\).

Donc, b. Toujours avec Thalès (les droites restent parallèles) :

\[ \frac{EN}{EG} = \frac{EM}{EF} \quad \text{donc} \quad EN = \frac{7{,}2 \times x}{5{,}4} = \frac{4}{3}x \]

Également, c. Le triangle EMN est rectangle en E :

\[ A(x) = \frac{x \times \frac{4}{3}x}{2} = \frac{2}{3}x^2 \]

Par conséquent, Contrôle : \(A(3{,}6) = \dfrac{2}{3} \times 12{,}96 = 8{,}64\), comme à la question 1.

En effet, d. Par lecture graphique : \(A(3{,}5) \approx 8{,}2\) (le calcul donne \(\frac{2}{3} \times 12{,}25 \approx 8{,}17\)) et l’antécédent de 12 vaut environ 4,2 (le calcul donne \(x^2 = 18\), \(x = \sqrt{18} \approx 4{,}24\)).

Dans chaque coin de la plaque carrée de 20 cm de côté, on découpe un carré de côté \(x\) cm, puis on relève les bords.

Ensuite, 1. Sur chaque côté de la plaque, on enlève deux fois \(x\) cm. Ensuite, il faut donc \(2x \lt 20\), soit \(x \lt 10\) ; et \(x\) est une longueur positive. Donc \(x\) est compris entre 0 et 10 (pour \(x = 0\) ou \(x = 10\), il n’y a pas de boîte).

2. Les bords relevés ont la largeur des carrés découpés : la hauteur de la boîte est \(x\) cm.

De plus, 3. Le fond est un carré de côté \(20 – 2x\) :

\[ A(x) = (20 – 2x)^2 \text{ cm}^2 \]

Par ailleurs, 4. Volume d’un pavé droit = aire de la base × hauteur :

\[ V(x) = x(20 – 2x)^2 \text{ cm}^3 \]

Ainsi, 5. Tableau de valeurs pour \(x\) entier de 0 à 10 :

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Donc, 6. Le volume augmente jusqu’à \(x = 3\) puis diminue : le maximum se situe entre 3 et 4. Par ailleurs, en affinant : \(V(3{,}2) \approx 591{,}9\), \(V(3{,}3) \approx 592{,}5\), \(V(3{,}4) \approx 592{,}4\). Puis on conjecture que le volume est maximal pour \(x \approx 3{,}3\) cm, avec environ 593 cm³.

Dans un tableau de valeurs, la ligne du haut contient les nombres \(x\), celle du bas leurs images \(g(x)\).

• a. \(g(-0{,}1) = 2\).
• b. \(g(0) = 1\) : le nombre cherché est 0.
• d. \(g(0{,}9) = -4\) : le nombre cherché est 0,9.
• e. \(g(0{,}7) = -0{,}1\).

Également, les questions c et f ne sont pas visibles sur l’énoncé fourni ; les autres égalités qu’on peut écrire avec ce tableau sont : \(g(-0{,}5) = 5\), \(g(1{,}1) = 5\) (5 a deux antécédents, −0,5 et 1,1) et \(g(1{,}3) = 3{,}4\).

• a. Le point de la courbe d’abscisse 0 est le point le plus bas, d’ordonnée environ −1 : \(h(0) \approx -1\).
• b. La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points : les nombres qui ont pour image 0 sont −2 et 2.
• c. On part de 4 sur l’axe des abscisses : \(h(4) \approx 3{,}4\). On part de −3 : \(h(-3) \approx 1{,}2\).

On cherche le nombre dans la ligne \(f(x)\), puis on lit au-dessus la valeur de \(x\).

• a. 3,5 apparaît une fois, sous \(x = 5\) : l’antécédent de 3,5 est 5.
• b. −2 apparaît deux fois : \(f(-1{,}5) = -2\) et \(f(2) = -2\). Les antécédents de −2 sont −1,5 et 2.
• c. 2 n’apparaît pas dans la ligne \(f(x)\) : d’après le tableau, on ne peut pas donner d’antécédent de 2 (il peut en exister un pour une valeur de \(x\) absente du tableau).

Une graduation vaut 0,25 sur chaque axe.

• \(x = -1{,}25\) : la courbe coupe l’axe des abscisses à peu près en ce point, donc \(h(-1{,}25) \approx 0\).
• \(h(x) = 1{,}5\) : la courbe coupe l’axe des ordonnées en 1,5, donc \(x = 0\).
• \(x = -1\) : on lit \(h(-1) \approx 0{,}8\).
• \(h(x) = 1{,}25\) : la droite \(y = 1{,}25\) coupe la courbe en un seul point, d’abscisse environ \(-0{,}75\).

a. Dans un triangle équilatéral, la hauteur [AH] est aussi médiane : H est le milieu de [BC], donc \(BH = 2{,}5\) cm. Ensuite, le triangle ABH est rectangle en H ; d’après le théorème de Pythagore :

\[ \begin{aligned} AH^2 &= AB^2 – BH^2 = 5^2 – 2{,}5^2 = 25 – 6{,}25 = 18{,}75 \\ AH &= \sqrt{18{,}75} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33 \text{ cm} \end{aligned} \]
\[ \mathcal{A} = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{5 \times \frac{5\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10{,}83 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, b. Avec un côté \(x\), on a \(BH = \dfrac{x}{2}\) et :

\[ AH^2 = x^2 – \left(\frac{x}{2}\right)^2 = x^2 – \frac{x^2}{4} = \frac{3x^2}{4} \quad \text{donc} \quad AH = \frac{\sqrt{3}}{2}x \]

En effet, c. L’aire vaut \(\dfrac{x \times \frac{\sqrt{3}}{2}x}{2}\), d’où :

\[ f(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \]
\[ \begin{aligned} f(5) &= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10{,}83 \\ f(3) &= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \approx 3{,}90 \\ f(\sqrt{3}) &= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}30 \end{aligned} \]

Le mur remplace un côté de l’enclos : le grillage de 21 m ne sert que pour trois côtés, les deux largeurs [AC] et [BD] et la longueur [CD] parallèle au mur. Donc largeur + longueur + largeur = 21 m.

Par ailleurs, 1) a. Avec une largeur de 3 m : \( 21 – 2 \times 3 = 21 – 6 = 15 \), la longueur est 15 m.
Avec une largeur de 7 m : \( 21 – 2 \times 7 = 21 – 14 = 7 \), la longueur est 7 m (l’enclos est alors un carré).

De plus, b. Aire d’un rectangle = longueur × largeur :

• largeur 3 m : \( 15 \times 3 = 45 \), soit 45 m² ;
• largeur 7 m : \( 7 \times 7 = 49 \), soit 49 m².

Par ailleurs, Avec la même longueur de grillage, les aires sont différentes : c’est pour cela que Mr Martin cherche la meilleure largeur.

2) a. La largeur x est une longueur, donc \( x \gt 0 \). Puis la longueur \( 21 – 2x \) doit aussi être positive : \( 2x \lt 21 \), soit \( x \lt 10{,}5 \). Donc \( 0 \lt x \lt 10{,}5 \) (la largeur est strictement comprise entre 0 m et 10,5 m).

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

Ainsi, b. Les deux largeurs utilisent \( 2x \) mètres de grillage ; il reste \( 21 – 2x \) mètres pour la longueur : longueur \( = 21 – 2x \).

Donc, c. L’aire de l’enclos est :

\[ \begin{aligned} A(x) &= x \times (21 – 2x) \\ &= x \times 21 – x \times 2x \\ &= 21x – 2x^2 \end{aligned} \]

Également, on retrouve les résultats du 1) : \( A(3) = 63 – 18 = 45 \) et \( A(7) = 147 – 98 = 49 \).

Par conséquent, Pour aller plus loin : en essayant d’autres valeurs, on constate que l’aire la plus grande est obtenue pour \( x = 5{,}25 \) m : \( A(5{,}25) = 55{,}125 \) m² (longueur 10,5 m).

Critère : une courbe représente une fonction si chaque abscisse x a au plus une image, c’est-à-dire si toute droite verticale coupe la courbe en un point au plus.

• Graphique 1 : oui. Chaque verticale coupe la courbe une seule fois.
• Graphique 2 : non. Le cercle est coupé deux fois par une verticale (par exemple celle de l’axe des ordonnées) : un même x aurait deux images.
• Graphique 3 : oui. C’est une droite horizontale : tous les nombres ont la même image. C’est une fonction constante.
• Graphique 4 : oui. La ligne brisée (descente, palier horizontal, montée) n’est coupée qu’une fois par chaque verticale. Un palier horizontal est permis : plusieurs x peuvent avoir la même image.
• Graphique 5 : non. Le segment vertical montre qu’un même x (environ 0,5) a une infinité d’« images ».
• Pour progresser en corrigé généralités fonctions, Graphique 6 : non. Les deux points pleins situés sur l’axe des ordonnées ont la même abscisse 0 : le nombre 0 aurait deux images (1 et environ 3).

\( f(a) = b \) se lit « l’image de a par f est b ».

En effet, a. \( f(4) = 32 \) : l’image de 4 par la fonction f est 32.

Ensuite, b. \( h(12) = -4 \) : l’image de 12 par la fonction h est −4.

Si \( f(a) = b \), alors a est un antécédent de b (on dit « un » car b peut en avoir plusieurs).

De plus, a. \( g(0) = -2{,}9 \) : 0 est un antécédent de −2,9 par la fonction g.

Par ailleurs, b. \( k(-4) = 1 \) : −4 est un antécédent de 1 par la fonction k.

On repère toujours le nombre de départ (l’antécédent, entre les parenthèses) et le nombre d’arrivée (l’image, après le signe =). Attention aux phrases « a pour antécédent » : le nombre de départ est alors placé en second.

• a. 4 a pour image 5 : \( f(4) = 5 \).
• b. −3 a pour image 0 : \( g(-3) = 0 \).
• c. L’image de 17,2 est −17 : \( h(17{,}2) = -17 \).
• d. L’image de −31,8 est −3 : \( k(-31{,}8) = -3 \).
• e. 4 a pour antécédent 5 : c’est 5 qui est envoyé sur 4, donc \( f(5) = 4 \).
• f. −3 a pour antécédent 0 : \( g(0) = -3 \).
• g. Un antécédent de 7,2 est −1 : \( h(-1) = 7{,}2 \).
• h. Un antécédent de −5 est −8 : \( k(-8) = -5 \).

La fonction est \( f(x) = x^2 \).

• a. \( f(2) = 2^2 = \) 4
• b. \( f(-3) = (-3)^2 = (-3) \times (-3) = \) 9 (le carré d’un nombre négatif est positif)
• c. \( f(1{,}2) = 1{,}2 \times 1{,}2 = \) 1,44
• d. \( f(-3{,}6) = (-3{,}6) \times (-3{,}6) = \) 12,96

Ainsi, e. On cherche un nombre dont le carré vaut 4 : \( 2^2 = 4 \). Donc 2 est un antécédent de 4 (−2 en est un autre, car \( (-2)^2 = 4 \)).

Donc, f. On cherche un nombre dont le carré vaut 5 : c’est la racine carrée de 5, car \( \left(\sqrt{5}\right)^2 = 5 \). Donc \( \sqrt{5} \) est un antécédent de 5 (\( -\sqrt{5} \) en est un autre).

\( k(x) = 6x^2 – 7x – 3 \). De plus, on remplace x par le nombre, entre parenthèses, et on respecte les priorités (le carré d’abord).

Également, a.

\[ k(0) = 6 \times 0^2 – 7 \times 0 – 3 = 0 – 0 – 3 = -3 \]

Par conséquent, b.

\[ \begin{aligned} k(-1) &= 6 \times (-1)^2 – 7 \times (-1) – 3 \\ &= 6 \times 1 + 7 – 3 \\ &= 10 \end{aligned} \]

En effet, c.

\[ \begin{aligned} k\left(\frac{3}{2}\right) &= 6 \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 – 7 \times \frac{3}{2} – 3 \\ &= 6 \times \frac{9}{4} – \frac{21}{2} – 3 \\ &= \frac{27}{2} – \frac{21}{2} – \frac{6}{2} \\ &= 0 \end{aligned} \]

\( f(x) = \dfrac{x + 2}{x – 1} \).

Ensuite, a. On ne peut pas diviser par 0. Or le dénominateur \( x – 1 \) vaut 0 lorsque \( x = 1 \). Ensuite, la fonction n’est pas définie pour x = 1 : 1 n’a pas d’image.

De plus, b.

• \( f(-2) = \dfrac{-2 + 2}{-2 – 1} = \dfrac{0}{-3} = \) 0
• \( f(-1) = \dfrac{-1 + 2}{-1 – 1} = \dfrac{1}{-2} = \) −0,5
• \( f(-0{,}5) = \dfrac{-0{,}5 + 2}{-0{,}5 – 1} = \dfrac{1{,}5}{-1{,}5} = \) −1
• \( f(0) = \dfrac{0 + 2}{0 – 1} = \dfrac{2}{-1} = \) −2
• \( f(2) = \dfrac{2 + 2}{2 – 1} = \dfrac{4}{1} = \) 4
• \( f(4) = \dfrac{4 + 2}{4 – 1} = \dfrac{6}{3} = \) 2

Par ailleurs, c. On relit les calculs du b. à l’envers : si \( f(a) = b \), alors a est un antécédent de b.

• −2 : \( f(0) = -2 \), donc 0 est un antécédent de −2 ;
• −1 : \( f(-0{,}5) = -1 \), donc −0,5 ;
• −0,5 : \( f(-1) = -0{,}5 \), donc −1 ;
• 0 : \( f(-2) = 0 \), donc −2 ;
• 2 : \( f(4) = 2 \), donc 4 ;
• 4 : \( f(2) = 4 \), donc 2.

\( f(x) = -3x + 7 \).

Ainsi, a. \( f(8) = -3 \times 8 + 7 = -24 + 7 = \) −17.

Donc, b. \( f(0) = -3 \times 0 + 7 = \) 7 : l’image de 0 est 7.

c. On cherche x tel que \( f(x) = 2 \) : on résout une équation.

\[ \begin{aligned} -3x + 7 &= 2 \\ -3x &= 2 – 7 \\ -3x &= -5 \\ x &= \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \end{aligned} \]

Également, l’antécédent de 2 est \( \dfrac{5}{3} \). Vérification : \( -3 \times \dfrac{5}{3} + 7 = -5 + 7 = 2 \).

Par conséquent, d. Le nombre qui a pour image 10 est l’antécédent de 10 :

\[ \begin{aligned} -3x + 7 &= 10 \\ -3x &= 3 \\ x &= -1 \end{aligned} \]

En effet, Vérification : \( -3 \times (-1) + 7 = 3 + 7 = 10 \).

\( f(x) = -2x^2 + 8 \) : on calcule d’abord le carré, puis on multiplie par −2, puis on ajoute 8.

• a. \( f(3) = -2 \times 9 + 8 = -18 + 8 = \) −10
• b. \( f(-8) = -2 \times 64 + 8 = -128 + 8 = \) −120
• c. \( f(2{,}5) = -2 \times 6{,}25 + 8 = -12{,}5 + 8 = \) −4,5
• d. \( f(-0{,}1) = -2 \times 0{,}01 + 8 = -0{,}02 + 8 = \) 7,98
• e. \( f\left(\dfrac{4}{5}\right) = -2 \times \dfrac{16}{25} + 8 = -\dfrac{32}{25} + \dfrac{200}{25} = \) \( \dfrac{168}{25} \) (soit 6,72)
• f. \( f\left(\sqrt{5}\right) = -2 \times \left(\sqrt{5}\right)^2 + 8 = -2 \times 5 + 8 = \) −2

Ensuite, Attention : \( -2x^2 \) signifie \( -2 \times x^2 \). Par ailleurs, pour \( x = -8 \), on élève d’abord −8 au carré (64), le résultat est positif, puis on multiplie par −2.

\( g(x) = (x – 1)^2 – 4 \) : on calcule d’abord la parenthèse, puis son carré, puis on retire 4.

• a. \( g(0) = (0 – 1)^2 – 4 = 1 – 4 = \) −3
• b. \( g(1) = (1 – 1)^2 – 4 = 0 – 4 = \) −4
• c. \( g(-1) = (-1 – 1)^2 – 4 = (-2)^2 – 4 = 4 – 4 = \) 0
• d. \( g\left(\dfrac{2}{5}\right) = \left(\dfrac{2}{5} – \dfrac{5}{5}\right)^2 – 4 = \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 – 4 = \dfrac{9}{25} – \dfrac{100}{25} = \) \( -\dfrac{91}{25} \)
• e. \( g\left(\dfrac{-1}{4}\right) = \left(-\dfrac{1}{4} – \dfrac{4}{4}\right)^2 – 4 = \left(-\dfrac{5}{4}\right)^2 – 4 = \dfrac{25}{16} – \dfrac{64}{16} = \) \( -\dfrac{39}{16} \)

De plus, f. 2 a un antécédent s’il existe un nombre x tel que \( g(x) = 2 \) :

\[ \begin{aligned} (x – 1)^2 – 4 &= 2 \\ (x – 1)^2 &= 6 \end{aligned} \]

Par ailleurs, un nombre dont le carré vaut 6 existe : c’est \( \sqrt{6} \) (ou \( -\sqrt{6} \)). Puis il suffit donc que \( x – 1 = \sqrt{6} \), c’est-à-dire \( x = 1 + \sqrt{6} \).

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

Ainsi, Vérification : \( g\left(1 + \sqrt{6}\right) = \left(\sqrt{6}\right)^2 – 4 = 6 – 4 = 2 \). Donc 2 a bien un antécédent par g : \( 1 + \sqrt{6} \) (et même un second, \( 1 – \sqrt{6} \)).

Le programme donne : nombre x → \( x + (-5) = x – 5 \) → \( (x – 5)^2 \). Donc \( h(x) = (x – 5)^2 \).

Donc, a.

• \( h(-3) = (-3 – 5)^2 = (-8)^2 = 64 \)
• \( h(-2) = (-2 – 5)^2 = (-7)^2 = 49 \)
• \( h(0) = (0 – 5)^2 = (-5)^2 = 25 \)
• \( h(2) = (2 – 5)^2 = (-3)^2 = 9 \)
• \( h(5) = (5 – 5)^2 = 0^2 = 0 \)
• \( h(\pi) = (\pi – 5)^2 \approx 3{,}45 \) (valeur exacte \( (\pi – 5)^2 \))

b. D’après le tableau, l’image de 0 par h est 25.

Également, c. Dans le tableau, \( h(5) = 0 \) : 5 est un antécédent de 0. C’est d’ailleurs le seul, car un carré n’est nul que si le nombre est nul : \( x – 5 = 0 \).

a. Avec 2 : \( 2 + 5 = 7 \) ; \( 7 \times 3 = 21 \) ; \( 21 – 6 = 15 \). Ensuite, le programme donne 15.

b. Avec x : \( x + 5 \), puis \( 3(x + 5) \), puis \( 3(x + 5) – 6 \). Puis on développe :

\[ g(x) = 3(x + 5) – 6 = 3x + 15 – 6 = 3x + 9 \]

Par conséquent, La fonction est \( g : x \longmapsto 3x + 9 \). Contrôle avec a. : \( g(2) = 6 + 9 = 15 \).

En effet, c. \( g(0) = 3 \times 0 + 9 = \) 9.

d. On cherche x tel que \( g(x) = 18 \) :

\[ \begin{aligned} 3x + 9 &= 18 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

Ensuite, Vérification : \( 3 + 5 = 8 \), \( 8 \times 3 = 24 \), \( 24 – 6 = 18 \). De plus, il faut choisir 3.

Dans le tableau, les antécédents sont sur la ligne x et les images juste en dessous, sur la ligne h(x).

• a. Sous −2,5 on lit −2 : \( h(-2{,}5) = -2 \).
• b. On cherche −1,8 sur la ligne h(x) : il est sous −1,5, donc \( h(-1{,}5) = -1{,}8 \).
• c. Sous 0 on lit 2 : \( h(0) = 2 \).
• d. −1,5 apparaît deux fois sur la ligne h(x), sous −3 et sous −1 : \( h(-3) = -1{,}5 \) et \( h(-1) = -1{,}5 \). Les deux réponses conviennent.
• e. Sous −0,5 on lit 0,25 : \( h(-0{,}5) = 0{,}25 \).
• f. 1,4 est sous −2 : \( h(-2) = 1{,}4 \).

On traduit chaque indication par une égalité \( k(x) = \ldots \) :

• l’image de 2 est 5,5 : \( k(2) = 5{,}5 \) ;
• \( k : -10 \longmapsto -6 \) : \( k(-10) = -6 \), et \( k(-6) = 2 \) ;
• Pour bien réussir corrigé généralités fonctions, on retient que un antécédent de −4 est 5,5 : \( k(5{,}5) = -4 \) ;
• les antécédents de 5,5 sont 2, −4 et 125 : \( k(2) = 5{,}5 \) (déjà connu), \( k(-4) = 5{,}5 \) et \( k(125) = 5{,}5 \).

De plus, on obtient six couples différents, un par colonne. Ensuite, on les range par valeurs de x croissantes :

L’ordre des colonnes n’a pas d’importance, mais chaque image doit rester sous son antécédent. Par ailleurs, le nombre 5,5 apparaît sur les deux lignes : une fois comme antécédent (ligne x) et trois fois comme image (ligne k(x)).

Le tableau donne \( g(-2) = 1 \), \( g(-1) = 2 \), \( g(0) = -1 \), \( g(1) = -4 \) et \( g(2) = 3 \).

• a. \( g(-2) = 1 \) : 1 est l’image de −2 par g.
• b. \( g(2) = 3 \) : 2 est un antécédent de 3 par g.
• c. \( g(1) = -4 \) : −4 est l’image de 1 par g.
• d. \( g(-1) = 2 \) : 2 est l’image de −1 par g.
• e. \( g(0) = -1 \) : 0 est un antécédent de −1 par g.

Par ailleurs, f. Un nombre a une seule image par une fonction. Puis le nombre 1 a donc une image, et une seule : \( g(1) = -4 \). (Ne pas confondre avec les antécédents : 1 a un antécédent dans le tableau, −2.)

Une graduation vaut 1 sur chaque axe. Ensuite, un point de la courbe a pour coordonnées \( (x ; g(x)) \).

Ainsi, a. On part de 1 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe : on arrive à la hauteur 3. L’ordonnée de E est 3 : E(1 ; 3).

Donc, b. On part de 8 et on descend jusqu’à la courbe : on arrive à −2. L’ordonnée de F est −2 : F(8 ; −2).

Également, c. On trace la droite horizontale d’ordonnée 1 : elle coupe la courbe en quatre points, d’abscisses −4, −2, 4 et 10 :

Par conséquent, G₁(−4 ; 1), G₂(−2 ; 1), G₃(4 ; 1) et G₄(10 ; 1).

En effet, d. La droite horizontale d’ordonnée −2 coupe la courbe en deux points : H(6 ; −2) et F(8 ; −2) (le point F de la question b.).

Un carreau vaut 1 unité sur chaque axe. Puis on repère les points marqués de la courbe : (0 ; 2), (2 ; 0), (3 ; −2), (5 ; −3), (7 ; −2), (8 ; 0), (9 ; 2), (10 ; 4), (11 ; 5), (12 ; 4), (13 ; 2), (14 ; 0), (15 ; −1) et (16 ; 0).

Ensuite, a. Le point de la courbe d’abscisse 8 est sur l’axe des abscisses : \(k(8) = 0\). De plus, l’image de 8 par \(k\) est 0.

De plus, b. La droite horizontale \(y = 2\) coupe la courbe en trois points, d’abscisses 0, 9 et 13. Ensuite, les antécédents de 2 sont 0, 9 et 13.

Par ailleurs, c. Les nombres qui ont pour image −2 sont les abscisses des points de la courbe d’ordonnée −2 : 3 et 7.

Ainsi, d. La courbe coupe l’axe des abscisses en 2, 8, 14 et 16 : les antécédents de 0 sont 2, 8, 14 et 16.

Donc, e. On compte, pour chaque entier entre −3 et 5, le nombre de points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale correspondante :

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

• 5 et −3 : un seul antécédent (le sommet 11 et le creux 5) ;
• 4 : deux antécédents (10 et 12) ; 3 : deux antécédents (entre 9 et 10, puis entre 12 et 13) ;
• 2 : trois antécédents ; 1 : trois ; 0 : quatre ; −1 : trois (dont 15) ;
• −2 : deux antécédents (3 et 7).

Attention à l’échelle : les graduations 1 sont placées tous les deux carreaux, donc un carreau vaut 0,5.

• a. Le point d’abscisse −2 a pour ordonnée 1 : \(h(-2) = 1\).
• b. Le point d’abscisse −1 est à 5 carreaux au-dessus de l’axe : \(h(-1) = 2{,}5\).
• c. On cherche l’abscisse du point d’ordonnée −4 : \(h(-3) = -4\).
• d. La courbe coupe l’axe des ordonnées en 2 : \(h(0) = 2\).
• e. \(h(1) = 1\).
• f. \(h(2) = 1\).
• g. Le point d’ordonnée 3,5 a pour abscisse 3 : \(h(3) = 3{,}5\).
• h. La droite \(y = 1\) coupe la courbe en trois points, d’abscisses −2, 1 et 2 : les antécédents de 1 sont −2, 1 et 2.

Sur ce repère, un carreau vaut 0,5 sur chaque axe. Par ailleurs, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Également, a. Tableau de valeurs (lectures graphiques) :

Par conséquent, pour la deuxième colonne, on cherche un antécédent de −1 : le seul point de la courbe d’ordonnée −1 est son point le plus bas, d’abscisse 0. Puis on retrouve donc \(k(0) = -1\), qui sert aussi pour la colonne suivante. Ensuite, les sommets sont un peu au-dessus de 2,5 (entre 2,5 et 3) : \(k(-2) = k(2) \approx 2{,}6\).

En effet, b. Images :

• \(k(0{,}5) \approx -0{,}5\) ;
• \(k(-1) \approx 0{,}7\) (même valeur que \(k(1)\) par symétrie) ;
• \(k(1{,}5) = 2\) ;
• \(k(-2{,}5) = 2\).

Ensuite, c. Antécédents :

• de −0,5 : la droite \(y = -0{,}5\) coupe la courbe en deux points, d’abscisses environ −0,5 et 0,5 ;
• de 3 : la courbe ne monte jamais jusqu’à 3 (son maximum vaut environ 2,6), donc 3 n’a aucun antécédent ;

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

• de 2 : la droite \(y = 2\) coupe la courbe en quatre points : −2,5 ; −1,5 ; 1,5 et 2,5 ;
• de −2,5 : la courbe ne descend pas en dessous de −1, donc −2,5 n’a aucun antécédent.

Un carreau vaut 0,25 ; les points marqués sur la courbe sont (−1 ; 0), (0 ; −3), (1 ; −4), (2 ; −3) et (3 ; 0).

• a. Le point de la courbe d’abscisse 1 est le sommet (1 ; −4) : l’image de 1 par \(g\) est −4.
• b. La parabole coupe l’axe des abscisses en −1 et en 3 : les antécédents de 0 sont −1 et 3.
• c. \(g(2) = -3\).
• d. La droite \(y = -3\) coupe la parabole en deux points, d’abscisses 0 et 2 : les nombres qui ont pour image −3 sont 0 et 2.

On remarque que la parabole est symétrique par rapport à la droite verticale d’équation \(x = 1\) : c’est pourquoi 0 et 2, symétriques par rapport à 1, ont la même image.

Une voiture ralentit dans les virages et roule vite dans les lignes droites. Puis on analyse le graphique :

• la vitesse baisse trois fois : le circuit comporte donc trois virages ;
• le premier ralentissement arrive tôt, vers 0,4 km après le départ L : le premier virage est proche de L ;
• le deuxième ralentissement, vers 1,3 km, est le plus fort (jusqu’à 70 km/h) : c’est le virage le plus serré, et il est précédé d’une longue ligne droite (entre 0,6 et 1,1 km) ;
• le troisième, vers 2,5 km, est le plus léger (110 km/h) : c’est un virage large, suivi d’une courte ligne droite jusqu’à L.

De plus, on élimine les circuits : A, D et E ont plus de trois virages. C a trois virages mais ils sont semblables, et le départ L est loin du premier virage. De plus, le circuit B convient : un premier virage juste après L, une longue ligne droite vers la pointe très fermée à droite (le virage le plus serré), puis un virage plus ouvert en bas à gauche avant de revenir à L.

1. Lectures graphiques

• a. Au départ (distance 0), la courbe est à la hauteur 1 : la flèche est tirée d’une hauteur de 1 m.
• b. La courbe rejoint l’axe horizontal (hauteur 0) à la distance 10 : la flèche retombe au sol à 10 m de Julien.
• c. Le point le plus haut de la courbe est à environ 3 m de hauteur (pour une distance d’environ 4,5 m).

Par ailleurs, 2. Calculs avec \(f(x) = -0{,}1x^2 + 0{,}9x + 1\).

Ainsi, a.

\[ \begin{aligned} f(4) &= -0{,}1\times 4^2 + 0{,}9\times 4 + 1 = -1{,}6 + 3{,}6 + 1 = 3 \\ f(5) &= -0{,}1\times 5^2 + 0{,}9\times 5 + 1 = -2{,}5 + 4{,}5 + 1 = 3 \end{aligned} \]

Donc, b. Les points d’abscisses 4 et 5 sont à la même hauteur, 3 m. Ensuite, la courbe étant symétrique, son sommet est à mi-chemin, pour \(x = 4{,}5\) :

\[ f(4{,}5) = -0{,}1\times 20{,}25 + 0{,}9\times 4{,}5 + 1 = -2{,}025 + 4{,}05 + 1 = 3{,}025 \]

Également, Comme \(3{,}025 \gt 3\), la flèche dépasse (de peu) les 3 m.

On remplace \(x\) par le nombre donné dans l’expression \((x – 3)^2\), en calculant d’abord la parenthèse.

Par conséquent, 1)

\[ \begin{aligned} f(2) &= (2 – 3)^2 = (-1)^2 = 1 \\ f(5) &= (5 – 3)^2 = 2^2 = 4 \end{aligned} \]

En effet, 2) \(f(-1)\) représente l’image du nombre −1 par la fonction \(f\) (et −1 est un antécédent de \(f(-1)\)).

Ensuite, 3)

\[ f(-1) = (-1 – 3)^2 = (-4)^2 = 16 \]

De plus, Attention : \((-4)^2 = (-4)\times(-4) = 16\), un carré n’est jamais négatif.

1) Avec \(g(x) = x^2 + 7\) :

\[ \begin{aligned} g(0) &= 0^2 + 7 = 7 \\ g(2{,}5) &= 2{,}5^2 + 7 = 6{,}25 + 7 = 13{,}25 \end{aligned} \]

2) On calcule aussi :

\[ \begin{aligned} g(-1) &= (-1)^2 + 7 = 1 + 7 = 8 \\ g(4) &= 4^2 + 7 = 16 + 7 = 23 \end{aligned} \]

1) \(f(10) = 55\) signifie que 10 secondes après le début de l’enregistrement, le compteur du cycliste affiche une vitesse de 55 km/h.

Sur cette fiche corrigé généralités fonctions, par ailleurs, 2) Sur l’axe horizontal, une graduation vaut 5 s ; sur l’axe vertical, 10 km/h. Par ailleurs, on lit :

• \(f(20) = 60\) : à 20 s, la vitesse est de 60 km/h ;
• \(f(30) = 40\) : à 30 s, 40 km/h ;
• \(f(35) = 20\) : à 35 s, 20 km/h, c’est la vitesse la plus faible (sans doute un virage serré) ;
• \(f(50) = 50\) : à 50 s, 50 km/h.

Sur l’axe horizontal, un carreau vaut 0,5 ; sur l’axe vertical, un carreau vaut 1.

Ainsi, 1) On lit \(h(1) = 15\) et \(h(6) = 30\). Vérification par le calcul : \(1\times(17 – 2) = 15\) et \(6\times(17 – 12) = 6\times 5 = 30\).

Donc, 2) L’image de 2 est 26 (\(2\times 13 = 26\)). Puis la droite horizontale \(y = 21\) coupe la courbe en deux points, d’abscisses 1,5 et 7 : ce sont les antécédents de 21. Vérification : \(1{,}5\times 14 = 21\) et \(7\times 3 = 21\).

Également, 3) Le point le plus haut de la courbe semble avoir pour ordonnée environ 36 (atteint pour \(x\) un peu au-dessus de 4). Ensuite, le calcul confirme : \(h(4{,}25) = 4{,}25\times 8{,}5 = 36{,}125\).

Par conséquent, 4)

\[ h(3) = 3\times(17 – 2\times 3) = 3\times 11 = 33 \]

5) On résout \(x(17 – 2x) = 0\). Puis un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad 17 – 2x = 0 \iff x = \frac{17}{2} = 8{,}5 \]

En effet, Cela correspond aux deux points où la courbe touche l’axe des abscisses.

C’est la même courbe que dans l’exercice 3 de la fiche : on refait les lectures, un carreau valant 1 sur chaque axe.

• 1) Le point de la courbe d’abscisse 8 a pour ordonnée 2 : \(h(8) = 2\).
• 2) \(h(-1) = 1\) (c’est le creux de gauche).
• 3) La courbe coupe l’axe des abscisses en 3 et 7 : les antécédents de 0 sont 3 et 7.
• 4) L’image de −3 est l’ordonnée du point de départ de la courbe : \(h(-3) = 4\).
• 5) La droite \(y = -2\) coupe la courbe en 4 et 6 : les antécédents de −2 sont 4 et 6.
• 6) La droite \(y = 2\) coupe la courbe en quatre points : les antécédents de 2 sont −2, 0, 2 et 8.

Attention à l’échelle : sur l’axe des abscisses, une unité vaut deux carreaux (un carreau = 0,5) ; sur l’axe des ordonnées, une unité vaut un carreau. De plus, la fonction est définie de −1,5 à 1,5.

Ensuite, 1)

• a) Le point d’abscisse −1 est sur le palier : l’image de −1 est 3.
• b) La droite \(y = 2\) coupe la courbe en trois points : sur le segment de gauche en −1,25 (milieu entre −1,5 et −1, car on monte de 1 à 3), sur la partie descendante en environ 0,1, et à l’extrémité droite en 1,5.
• c) L’image de 1,5 est 2 (extrémité droite de la courbe).
• d) Le seul point d’ordonnée −1 est le point le plus bas (1 ; −1) : l’antécédent de −1 est 1.

De plus, 2) \(h(0{,}5) = 0\) (la courbe coupe l’axe des abscisses en 0,5) ; \(h(-1{,}5) = 1\) ; \(h(0) = 3\).

Par ailleurs, 3) Les valeurs prises par \(h\) vont de −1 à 3.

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

• a) 4 n’a aucun antécédent (aucun point de la courbe n’est aussi haut ; de même pour −2).
• b) −1 a un seul antécédent : 1.
• c) 2 a trois antécédents (question 1 b) ; c’est aussi le cas de 1,5 ou de 1.

La courbe est formée de segments joignant les points (−3 ; −1), (−1 ; −1), (0 ; 1), (3 ; 2), (4 ; 1), (5 ; 0) et (6 ; 1). Ensuite, un carreau vaut 1.

Ainsi, 1) \(f(0) = 1\) ; \(f(5) = 0\). Par ailleurs, pour \(f(2)\), le point d’abscisse 2 est sur le segment qui monte de (0 ; 1) à (3 ; 2) : on lit environ 1,7. (Sur ce segment, on monte de 1 pour 3 carreaux, donc de \(\frac{2}{3}\) pour 2 carreaux : \(f(2) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\).)

Donc, 2) La droite \(y = 1\) coupe la courbe en 0, 4 et 6 : les antécédents de 1 sont 0, 4 et 6. Puis pour −1, toute la partie horizontale entre −3 et −1 est à la hauteur −1 : tous les nombres compris entre −3 et −1 sont des antécédents de −1 (il y en a une infinité).

Également, 3) Les ordonnées des points de la courbe vont de −1 à 2. Par exemple, 3 n’a pas d’antécédent (−2 non plus).

• 1) La courbe passe par l’origine du repère : \(g(0) = 0\).
• 2) La courbe coupe l’axe des abscisses en 0 et en 4 : les antécédents de 0 sont 0 et 4.
• 3) Le seul point d’ordonnée −1 est le point le plus bas (1 ; −1) : l’antécédent de −1 est 1. La droite \(y = 1\) coupe la courbe au point de départ, d’abscisse −3, et sur la partie descendante, en environ −0,7 : les antécédents de 1 sont −3 et environ −0,7.

La fonction \(f\) est définie pour \(-7 \leqslant x \leqslant 13\). Ensuite, un carreau vaut 1 sur chaque axe. Puis il s’agit d’une capture d’écran annotée à la main : les lectures sont approchées.

Par conséquent, 1) Le point d’abscisse 5 est le creux de droite : \(f(5) = -1\). De plus, le point d’abscisse 10 est le dernier creux : \(f(10) \approx 1\).

En effet, 2) Résoudre \(f(x) = -1\), c’est chercher les antécédents de −1. Ensuite, la droite \(y = -1\) touche la courbe à ses deux points les plus bas : \(x \approx -4\) et \(x = 5\).

Ensuite, 3) La droite \(y = 4\) coupe la courbe en cinq points : les antécédents de 4 sont environ −2,6 ; −1,3 ; 1,3 ; 2,9 et 12,1.

De plus, la droite \(y = 3\) coupe la courbe sur chaque branche montante ou descendante qui dépasse 3 : environ −2,7 ; −0,9 ; 1 ; 3,1 et 11,6. Par ailleurs, les bosses situées vers \(x = -6\) et \(x = 8\) ont une hauteur d’environ 3 : la droite \(y = 3\) les touche aussi, ce qui ajoute les antécédents −6 et 8 (environ).

Suite du corrigé corrigé généralités fonctions

Par ailleurs, 4) Le point d’abscisse 2 est le sommet le plus haut de la courbe : l’image de 2 est \(f(2) \approx 6\).

• a. Le point de la courbe d’abscisse 3 est sur l’axe des abscisses : l’image de 3 par \(f\) est 0.
• b. Le point d’abscisse 1 est sur la ligne horizontale −3 : \(f(1) \approx -3\).
• c. Le point de la courbe d’abscisse −2 a pour ordonnée environ 3.
• d. La courbe coupe l’axe des abscisses en quatre points : les antécédents de 0 sont −3, −1, environ 2,4 et 3.

• e. Sur le graphique, la courbe ne monte jamais au-dessus d’environ 3,2. Le nombre 4, par exemple, n’a donc pas d’antécédent par \(f\) (pour la partie de courbe représentée).

Rappel : l’écriture \(f(a) = b\) se lit « l’image de \(a\) par \(f\) est \(b\) », ou encore « \(a\) est un antécédent de \(b\) par \(f\) ». Puis on dit « un » antécédent, car un nombre peut en avoir plusieurs, alors qu’un nombre n’a qu’une seule image.

Ainsi, 1.

Donc, 2. L’égalité \(f(-3) = 4\) se traduit par :

• « l’image de −3 par \(f\) est 4 » ;
• « −3 est un antécédent de 4 par \(f\) ».