Équations et inéquations en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Voici le corrigé exercices équations 3ème pour les dix premiers exercices de la fiche. Le parcours est complet : inéquations du premier degré avec représentation de l’ensemble des solutions sur une droite graduée, équations avec parenthèses et avec fractions, équations produit nul obtenues après factorisation (facteur commun ou identité \(a^2 – b^2\)), équations de la forme \((ax + b)^2 = 0\), puis trois problèmes à mettre en équation : un boulanger, une tirelire et l’aire maximale d’un rectangle dans un carré.

Chaque résolution suit la même rédaction : on transforme l’équation en gardant l’égalité, on isole l’inconnue, puis on vérifie la solution en la remplaçant dans l’énoncé. Pour les inéquations, on signale chaque fois qu’une division par un nombre négatif change le sens de l’inégalité. Cherche d’abord seul, puis confronte ta réponse à cette correction ; si les résultats diffèrent, la vérification par substitution te dira tout de suite qui a raison.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Les équations : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF. (15 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur les équations et inéquations en 3ème

Exercice 1 : Les inéquations

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

On regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre. Quand on divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité ; ici on s’arrange pour diviser par un nombre positif.

\[ \begin{aligned} \text{a. } 4x + 3 \lt 7x &\iff 3 \lt 3x \iff x \gt 1 \\ \text{b. } 4x + 12 \gt 7x &\iff 12 \gt 3x \iff x \lt 4 \\ \text{c. } 4x + 3 \geqslant 7x + 8 &\iff -5 \geqslant 3x \iff x \leqslant -\tfrac{5}{3} \\ \text{d. } 4x + 3 \leqslant 7x + 56 &\iff -53 \leqslant 3x \iff x \geqslant -\tfrac{53}{3} \\ \text{e. } 4x + 12 \gt 7x + 56 &\iff -44 \gt 3x \iff x \lt -\tfrac{44}{3} \\ \text{f. } -4x + 3 \geqslant 7x – 8 &\iff 11 \geqslant 11x \iff x \leqslant 1 \\ \text{g. } -4x – 12 \geqslant 7x – 56 &\iff 44 \geqslant 11x \iff x \leqslant 4 \\ \text{h. } -4x + 12 \leqslant 7x + 8 &\iff 4 \leqslant 11x \iff x \geqslant \tfrac{4}{11} \\ \text{i. } 4x – 12 \gt 7x – 56 &\iff 44 \gt 3x \iff x \lt \tfrac{44}{3} \end{aligned} \]

Pour j, k et l, on développe : les termes en \(x^2\) s’éliminent.

\[ \begin{aligned} \text{j. } 4x^2 – 12x + 9 \lt 4x^2 + 2x – 4 &\iff 13 \lt 14x \iff x \gt \tfrac{13}{14} \\ \text{k. } -4x^2 + 12x – 9 \leqslant -4x^2 + 2x – 4 &\iff 10x \leqslant 5 \iff x \leqslant \tfrac{1}{2} \\ \text{l. } 18x^2 – 18x + 4 \geqslant 18x^2 – 52x – 6 &\iff 34x \geqslant -10 \iff x \geqslant -\tfrac{5}{17} \end{aligned} \]

Sur la droite graduée, la partie solution est coloriée ; le crochet est tourné vers la partie coloriée si la borne est une solution (\(\leqslant\), \(\geqslant\)), et tourné vers l’extérieur sinon (\(\lt\), \(\gt\)).

Ensembles solutions : crochet tourné vers la partie rouge si la borne est incluse

Réponse : a. x > 1 ; b. x < 4 ; c. x ≤ −5/3 ; d. x ≥ −53/3 ; e. x < −44/3 ; f. x ≤ 1 ; g. x ≤ 4 ; h. x ≥ 4/11 ; i. x < 44/3 ; j. x > 13/14 ; k. x ≤ 1/2 ; l. x ≥ −5/17.

Exercice 2 : Résolution d'équations

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

\[ \begin{aligned} 1)\ 5x + 2 = 2x + 6 &\iff 3x = 4 \iff x = \tfrac{4}{3} \\ 2)\ 6x + 6 = -2x + 14 &\iff 8x = 8 \iff x = 1 \\ 3)\ -12x – 9 = 2x + 6 &\iff -14x = 15 \iff x = -\tfrac{15}{14} \end{aligned} \]

Pour les équations avec quotients, on utilise l’égalité des produits en croix (ou on multiplie par le dénominateur commun).

\[ \begin{aligned} 4)\ 4(x + 3) = 3(2x + 1) &\iff 4x + 12 = 6x + 3 \iff 9 = 2x \iff x = \tfrac{9}{2} \\ 5)\ 2x – 3 = 3(-5x + 1) &\iff 2x – 3 = -15x + 3 \iff 17x = 6 \iff x = \tfrac{6}{17} \\ 6)\ 4(3 – 4x) = 5(2x + 1) &\iff 12 – 16x = 10x + 5 \iff 7 = 26x \iff x = \tfrac{7}{26} \end{aligned} \]

Vérification du 2) : \(2(3 + 3) = 12\) et \(-2(1 – 7) = 12\).

Réponse : 1) 4/3 ; 2) 1 ; 3) −15/14 ; 4) 9/2 ; 5) 6/17 ; 6) 7/26.

Exercice 3 : Equations et calcul littéral

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

\[ (3x – 5)(x + 3) = 3x^2 + 9x – 5x – 15 = 3x^2 + 4x – 15 \]

2) D’après la question 1, l’équation \(3x^2 + 4x – 15 = 0\) s’écrit \((3x – 5)(x + 3) = 0\). C’est une équation produit nul :

\[ 3x – 5 = 0 \iff x = \frac{5}{3} \qquad \text{ou} \qquad x + 3 = 0 \iff x = -3 \]

Réponse : (3x − 5)(x + 3) = 3x² + 4x − 15 ; les solutions sont 5/3 et −3.

Exercice 4 : Problème et résolution d'équations

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

Soit \(n\) le nombre de baguettes cuites. Le matin, il en vend \(\frac{2}{3}n\) ; l’après-midi 90 ; il en reste 20. Donc :

\[ \begin{aligned} \frac{2}{3}n + 90 + 20 &= n \\ 110 &= n – \frac{2}{3}n = \frac{1}{3}n \\ n &= 330 \end{aligned} \]

Vérification : le matin \(\frac{2}{3} \times 330 = 220\), puis \(330 – 220 – 90 = 20\) baguettes restantes.

Réponse : le boulanger avait cuit 330 baguettes.

Exercice 5 : Développement,factorisation et équation de produit nul

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

\[ \begin{aligned} A &= (4x^2 – 12x + 9) – (8x^2 – 12x + 14x – 21) \\ &= 4x^2 – 12x + 9 – 8x^2 – 2x + 21 \\ &= -4x^2 – 14x + 30 \end{aligned} \]

2. Facteur commun \((2x – 3)\) :

\[ A = (2x – 3)\left[(2x – 3) – (4x + 7)\right] = (2x – 3)(-2x – 10) \]

3. \((2x – 3)(-2x – 10) = 0\) : \(2x – 3 = 0\) donne \(x = \dfrac{3}{2}\) ; \(-2x – 10 = 0\) donne \(x = -5\).

Réponse : A = −4x² − 14x + 30 = (2x − 3)(−2x − 10) ; solutions 3/2 et −5.

Exercice 6 : Factorisation et equations

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

1) \(E = (2x)^2 – 7^2 = (2x – 7)(2x + 7)\).

2) a)

\[ \begin{aligned} F &= -10x^2 + 18x + 35x – 63 + 4x^2 – 49 \\ &= -6x^2 + 53x – 112 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} F(1) &= -6 + 53 – 112 = -65 \\ F\left(-\tfrac{1}{2}\right) &= -6 \times \tfrac{1}{4} – \tfrac{53}{2} – 112 = -1{,}5 – 26{,}5 – 112 = -140 \\ F(\sqrt{2}) &= -6 \times 2 + 53\sqrt{2} – 112 = 53\sqrt{2} – 124 \end{aligned} \]

c) Avec la question 1, \(F = (2x – 7)(-5x + 9) + (2x – 7)(2x + 7)\), d’où :

\[ F = (2x – 7)\left[(-5x + 9) + (2x + 7)\right] = (2x – 7)(-3x + 16) \]

Contrôle : pour \(x = 1\), \((-5) \times 13 = -65\).

d) \(F = 0 \iff 2x – 7 = 0\) ou \(-3x + 16 = 0\), soit \(x = \dfrac{7}{2}\) ou \(x = \dfrac{16}{3}\).

Réponse : E = (2x − 7)(2x + 7) ; F = −6x² + 53x − 112 ; F(1) = −65, F(−1/2) = −140, F(√2) = 53√2 − 124 ; F = (2x − 7)(−3x + 16) ; solutions 7/2 et 16/3.

Exercice 7 : Equations produits à résoudre

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

Chaque expression est un carré de la forme \(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 – 2ab + b^2\). Un carré est nul si et seulement si le nombre élevé au carré est nul : il y a une seule solution.

\[ \begin{aligned} \text{a) } x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2 = 0 &\iff x = -7 \\ \text{b) } y^2 – 12y + 36 = (y – 6)^2 = 0 &\iff y = 6 \\ \text{c) } 4x^2 – 20x + 25 = (2x – 5)^2 = 0 &\iff x = \tfrac{5}{2} \\ \text{d) } 9z^2 + 24z + 16 = (3z + 4)^2 = 0 &\iff z = -\tfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Réponse : a) −7 ; b) 6 ; c) 5/2 ; d) −4/3.

Exercice 8 : Pièces en euros et équations

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

Soit \(x\) le nombre de pièces de 2 €. Il y a 35 pièces, donc \(35 – x\) pièces de 1 €. La somme totale vaut 65 € :

\[ \begin{aligned} 2x + 1 \times (35 – x) &= 65 \\ x + 35 &= 65 \\ x &= 30 \end{aligned} \]

Il y a 30 pièces de 2 € et \(35 – 30 = 5\) pièces de 1 €. Vérification : \(30 \times 2 + 5 \times 1 = 65\) €.

Réponse : 5 pièces de 1 € et 30 pièces de 2 €.

Exercice 9 : Résoudre ces équations

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

On factorise avec \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), puis on applique la règle du produit nul.

\[ \begin{aligned} (x – 7)^2 – (2x + 5)^2 &= \left[(x – 7) – (2x + 5)\right]\left[(x – 7) + (2x + 5)\right] \\ &= (-x – 12)(3x – 2) \end{aligned} \]

Solutions : \(x = -12\) ou \(x = \dfrac{2}{3}\).

\[ (7x + 1)^2 – (3x + 4)^2 = (4x – 3)(10x + 5) \]

Solutions : \(x = \dfrac{3}{4}\) ou \(x = -\dfrac{1}{2}\).

\[ (6x – 1)^2 – (2x + 1)^2 = (4x – 2)(8x) \]

Solutions : \(x = \dfrac{1}{2}\) ou \(x = 0\).

Réponse : 1. −12 et 2/3 ; 2. 3/4 et −1/2 ; 3. 1/2 et 0.

Exercice 10 : Carré et équations

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

1) N est sur [AD] qui mesure 10 cm, donc \(0 \leqslant x \leqslant 10\).

2) a) NORD est un rectangle de côtés \(ND = 10 – x\) et \(DR = x\) :

\[ \mathcal{A}(x) = x(10 – x) = 10x – x^2 \]

b) On développe l’expression proposée :

\[ 25 – (x – 5)^2 = 25 – (x^2 – 10x + 25) = 10x – x^2 \]

On retrouve bien l’aire de NORD.

3) a) Un carré est toujours positif ou nul, donc \((x – 5)^2 \geqslant 0\) et \(\mathcal{A}(x) \leqslant 25\). L’aire vaut 25 exactement quand \((x – 5)^2 = 0\), c’est-à-dire pour \(x = 5\). L’aire maximale est donc 25 cm², obtenue quand \(AN = 5\) cm : N est le milieu de [AD].

b) Dans ce cas \(ND = DR = 5\) cm : le rectangle NORD a deux côtés consécutifs égaux, c’est un carré.

Position optimale : NORD est un carré

Réponse : 0 ≤ x ≤ 10 ; aire 10x − x² = 25 − (x − 5)² ; aire maximale 25 cm² pour x = 5 (N milieu de [AD]) ; NORD est alors un carré de côté 5 cm.

La méthode à retenir sur les équations et inéquations

Pour résoudre une équation du premier degré : développer, regrouper les \(x\) d’un côté, les nombres de l’autre, puis diviser par le coefficient de \(x\).
Dans une inéquation, multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité.
Une équation produit nul \(A \times B = 0\) se résout en écrivant \(A = 0\) ou \(B = 0\) ; il faut donc d’abord factoriser.
Pour factoriser une différence de deux carrés : \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
Dans un problème : choisir l’inconnue, écrire l’équation, la résoudre, puis vérifier et conclure par une phrase.

Les erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l’inégalité en divisant par un nombre négatif.
Se tromper de crochet sur la droite graduée : la borne est incluse avec \(\leqslant\) ou \(\geqslant\), exclue avec \(\lt\) ou \(\gt\).
Développer une équation produit nul au lieu d’utiliser directement ses facteurs.
Mal enlever les parenthèses après un signe moins, par exemple dans \((x – 7) – (2x + 5)\).

Les exercices 11 à 15 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Quelle différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation est une égalité : elle a en général un nombre fini de solutions. Une inéquation compare deux expressions avec \(\lt\), \(\gt\), \(\leqslant\) ou \(\geqslant\) : ses solutions forment le plus souvent une demi-droite, qu’on représente sur une droite graduée.

Pourquoi faut-il factoriser pour résoudre certaines équations ?

Quand l’équation contient des \(x^2\) qui ne s’éliminent pas, on ne sait pas isoler \(x\) en 3ème. En écrivant l’expression comme un produit de facteurs du premier degré, la règle du produit nul ramène le problème à deux petites équations faciles.

Comment être sûr de ma solution ?

Remplace \(x\) par la valeur trouvée dans l’équation de départ et calcule séparément les deux membres. S’ils sont égaux, la solution est juste. Pour une inéquation, teste une valeur de la zone solution et une valeur en dehors.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Les équations : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF.
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