Statistiques en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

1. Dans un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur est proportionnel à la fréquence : 100 % correspondent à 360°, donc 1 % correspond à 3,6°.

2. Nombre de logements = fréquence × 29 495 000. Par exemple, pour les résidences principales :

\[ \frac{83{,}2}{100} \times 29\,495\,000 = 24\,539\,840 \approx 24\,540\,000 \]

• Logements vacants : \( 0{,}068 \times 29\,495\,000 = 2\,005\,660 \approx \) 2 006 000.
• Logements occasionnels : \( 0{,}01 \times 29\,495\,000 = 294\,950 \approx \) 295 000.
• Résidences secondaires : \( 0{,}09 \times 29\,495\,000 = 2\,654\,550 \approx \) 2 655 000.

On range les 12 lancers dans l’ordre croissant :

15,2 ; 15,9 ; 16,5 ; 17,2 ; 17,7 ; 18,6 ; 19,4 ; 19,8 ; 20,5 ; 20,8 ; 21,1 ; 21,9.

1. La somme des lancers vaut 224,6 m :

\[ \bar{x} = \frac{224{,}6}{12} \approx 18{,}72 \text{ m} \]

En moyenne, l’athlète a lancé le poids à environ 18,72 m : c’est la longueur qu’il aurait obtenue à chaque lancer si tous ses lancers avaient été identiques, pour le même total.

2. L’effectif est pair (12) : la médiane est la moyenne des 6^e et 7^e valeurs, \( \dfrac{18{,}6 + 19{,}4}{2} = 19 \) m. La moitié des lancers mesure moins de 19 m, l’autre moitié plus.

3. \( \dfrac{12}{4} = 3 \) : le premier quartile est la 3^e valeur, \( Q_1 = 16{,}5 \) m.

4. \( \dfrac{3 \times 12}{4} = 9 \) : le troisième quartile est la 9^e valeur, \( Q_3 = 20{,}5 \) m.

1. On vérifie l’effectif total : \( 2 + 6 + 11 + \ldots + 5 = 200 \) élèves. La moyenne est pondérée par les effectifs :

\[ \bar{x} = \frac{0 \times 2 + 1 \times 6 + 2 \times 11 + \ldots + 19 \times 11 + 20 \times 5}{200} = \frac{2\,068}{200} = 10{,}34 \]

La moyenne des élèves de troisième est de 10,34 sur 20.

2. Diagramme en bâtons : une note par bâton, hauteur = effectif.

Pour les quartiles et la médiane, on calcule les effectifs cumulés croissants :

3. \( \dfrac{200}{4} = 50 \) : \( Q_1 \) est la 50^e note, soit \( Q_1 = 5 \). \( \dfrac{3 \times 200}{4} = 150 \) : \( Q_3 \) est la 150^e note, soit \( Q_3 = 14 \).

4. Effectif pair : la médiane est la moyenne des 100^e et 101^e notes, qui valent 10 et 11. Médiane = 10,5.

5. Notes supérieures ou égales à 18 : \( 6 + 11 + 5 = 22 \) élèves, soit \( \dfrac{22}{200} = 0{,}11 = 11\,\% \).

Série rangée (21 étapes) : 29 ; 53 ; 143 ; 154 ; 157 ; 158 ; 163 ; 165 ; 166 ; 168 ; 174 ; 182 ; 182 ; 195 ; 195 ; 195 ; 197 ; 210 ; 216 ; 222 ; 230.

a. Étendue : \( 230 – 29 = 201 \) km.

b. Somme des distances : 3 554 km. Moyenne : \( \dfrac{3\,554}{21} \approx 169{,}2 \), soit 169 km environ. Si toutes les étapes avaient la même longueur, pour la même distance totale, chacune mesurerait environ 169 km.

c. 21 valeurs : la médiane est la 11^e, 174 km. La moitié des étapes font au plus 174 km.

d. On interprète la question comme : recalculer les indicateurs sans les deux contre-la-montre individuels (29 km et 53 km). Il reste 19 étapes, de 143 km à 230 km.

• Étendue : \( 230 – 143 = 87 \) km.
• Moyenne : \( \dfrac{3\,554 – 29 – 53}{19} = \dfrac{3\,472}{19} \approx 182{,}7 \), soit environ 183 km.
• Médiane : 10^e valeur des 19, 182 km.

Les deux petites étapes faisaient baisser la moyenne de 14 km et doublaient presque l’étendue, alors que la médiane bouge peu (de 174 à 182 km) : la médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes.

Effectif total : \( 1 + 2 + 4 + 3 + 7 + 8 = 25 \) élèves. L’effectif est impair : la médiane est la valeur de rang \( \dfrac{25 + 1}{2} = 13 \).

Effectifs cumulés : note 0 → 1 ; note 1 → 3 ; note 2 → 7 ; note 3 → 10 ; note 4 → 17 ; note 5 → 25. La 13^e note se trouve parmi les élèves ayant eu 4 (rangs 11 à 17).

Série rangée : 6 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19.

1. Somme : 159. Moyenne : \( \dfrac{159}{13} \approx 12{,}23 \).

2. Notes supérieures à 12,23 : 14, 17, 18, 18, 19, soit 5 élèves. \( \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385 \), soit environ 38,5 %.

3. 13 valeurs : médiane = 7^e valeur = 11.

4. \( \dfrac{13}{4} = 3{,}25 \) : \( Q_1 \) est la 4^e valeur, \( Q_1 = 9 \). \( \dfrac{3 \times 13}{4} = 9{,}75 \) : \( Q_3 \) est la 10^e valeur, \( Q_3 = 17 \). Au moins un quart des élèves ont 9 ou moins, et au moins trois quarts ont 17 ou moins (donc au moins un quart ont 17 ou plus).

5. Étendue : \( 19 – 6 = 13 \).

Effectif total : \( 21 + 37 + 51 + 22 + 14 = 145 \).

1. Moyenne pondérée :

\[ \bar{x} = \frac{1{,}2 \times 21 + 1{,}3 \times 37 + 1{,}4 \times 51 + 1{,}5 \times 22 + 1{,}6 \times 14}{145} = \frac{200{,}1}{145} = 1{,}38 \text{ m} \]

2. 145 valeurs : la médiane est la 73^e. Effectifs cumulés : 21 ; 58 ; 109 ; 131 ; 145. La 73^e valeur est dans la classe 1,4 m (rangs 59 à 109) : médiane = 1,4 m.

3. La hauteur moyenne est de 1,38 m. Au moins la moitié des hauteurs mesurées sont inférieures ou égales à 1,4 m et au moins la moitié sont supérieures ou égales à 1,4 m. La moyenne est un peu inférieure à la médiane : les petites valeurs (1,2 m et 1,3 m, 58 cas) pèsent plus que les grandes (1,5 m et 1,6 m, 36 cas).

Appelons \( f \) le nombre de filles ; il y a \( 25 – f \) garçons. La somme de toutes les notes vaut \( 25 \times 10{,}4 = 260 \), et c’est aussi la somme des notes des filles et des garçons :

\[ \begin{aligned} 11f + 9{,}5(25 – f) &= 260 \\ 11f + 237{,}5 – 9{,}5f &= 260 \\ 1{,}5f &= 22{,}5 \\ f &= 15 \end{aligned} \]

Vérification : \( 15 \times 11 + 10 \times 9{,}5 = 165 + 95 = 260 \) ✓.

On calcule la moyenne pondérée des salaires de chaque entreprise (masse salariale divisée par l’effectif total).

\[ \text{HITI} : \frac{168\,000 \times 50 + 120\,000 \times 50}{100} = \frac{14\,400\,000}{100} = 144\,000 \text{ F} \]
\[ \text{KALU} : \frac{180\,000 \times 20 + 132\,000 \times 80}{100} = \frac{14\,160\,000}{100} = 141\,600 \text{ F} \]

Sur l’ensemble du personnel, le salaire moyen est plus élevé chez HITI (144 000 F contre 141 600 F). Pourtant, hommes et femmes sont chacun mieux payés chez KALU ! Ce paradoxe vient de la composition du personnel : KALU emploie 80 % de femmes, dont le salaire moyen est plus bas, ce qui fait baisser sa moyenne générale.

Séries rangées dans l’ordre croissant :

• Mexico : 12 ; 12,4 ; 13,9 ; 14,1 ; 15,1 ; 16,2 ; 16,3 ; 16,7 ; 16,8 ; 17,4 ; 17,7 ; 18,4.
• Barcelone : 9,5 ; 10,3 ; 10,3 ; 12,4 ; 13,5 ; 14,6 ; 17,6 ; 17,7 ; 21,5 ; 21,8 ; 24,3 ; 24,3.

1. a. Étendue : Mexico \( 18{,}4 – 12 = 6{,}4 \) °C ; Barcelone \( 24{,}3 – 9{,}5 = 14{,}8 \) °C.

b. Moyenne annuelle : Mexico \( \dfrac{187}{12} \approx 15{,}6 \) °C ; Barcelone \( \dfrac{197{,}8}{12} \approx 16{,}5 \) °C.

c. 12 valeurs : moyenne des 6^e et 7^e. Mexico : \( \dfrac{16{,}2 + 16{,}3}{2} = 16{,}25 \) °C ; Barcelone : \( \dfrac{14{,}6 + 17{,}6}{2} = 16{,}1 \) °C.

2. a. C’est la moyenne : 16,5 °C à Barcelone contre 15,6 °C à Mexico.

b. C’est l’étendue : 6,4 °C à Mexico contre 14,8 °C à Barcelone.

c. C’est la médiane : elle vaut 16,25 °C à Mexico et 16,1 °C à Barcelone, deux valeurs supérieures à 16 °C. Au moins la moitié des mois ont donc une température supérieure ou égale à la médiane, donc supérieure à 16 °C (7 mois à Mexico, 6 à Barcelone).