Fonctions linéaires en 3ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Situation 1. \( f(x) = 1{,}2x \).

a. On multiplie chaque nombre par le coefficient 1,2 :

\[ f(5) = 1{,}2 \times 5 = 6 \qquad f(-1{,}2) = 1{,}2 \times (-1{,}2) = -1{,}44 \qquad f(0) = 0 \qquad f(100) = 120 \]

b. On cherche \( x \) tel que \( 1{,}2x = 2\,400 \) : \( x = \dfrac{2\,400}{1{,}2} = 2\,000 \). Puis \( 1{,}2x = -45 \) : \( x = \dfrac{-45}{1{,}2} = -37{,}5 \).

Situation 2. \( g(x) = -0{,}4x \).

a. Le coefficient de \( g \) est \( -0{,}4 \).

b. \( g(10) = -0{,}4 \times 10 = -4 \) ; \( g(-5) = -0{,}4 \times (-5) = 2 \) ; \( g(1) = -0{,}4 \).

c. \( g(10) = -4 \) ; \( g(-5) = 2 \) ; et \( g(\ldots) = -0{,}4 \) : on résout \( -0{,}4x = -0{,}4 \), d’où \( x = 1 \). Donc \( g(1) = -0{,}4 \).

Situation 3. Si \( f \) était linéaire, on aurait \( f(x) = ax \) et le quotient \( \dfrac{f(x)}{x} \) serait toujours égal à \( a \). Or :

\[ \frac{23}{18} \approx 1{,}28 \qquad \text{et} \qquad \frac{14}{12} \approx 1{,}17 \]

Les quotients sont différents : les images ne sont pas proportionnelles aux nombres de départ. \( f \) n’est pas une fonction linéaire.

Situation 4. On cherche \( a \) dans \( f(x) = ax \).

1. \( f(10) = -3 \) donne \( 10a = -3 \), donc \( a = -0{,}3 \) : \( f(x) = -0{,}3x \).
2. \( f(-100) = -46 \) donne \( -100a = -46 \), donc \( a = 0{,}46 \) : \( f(x) = 0{,}46x \).
3. Le coefficient est 2,5 : \( f(x) = 2{,}5x \).

Chaque droite passe par l’origine : c’est bien la représentation d’une fonction linéaire \( x \mapsto ax \). Le quadrillage a pour unité un carreau (le « 3 » est écrit au 3^e carreau). On choisit un point de la droite situé sur un nœud du quadrillage : si la droite passe par le point \( (x\,;\,y) \), alors \( a = \dfrac{y}{x} \).

• Droite 1 : elle passe par \( (4\,;\,5) \). \( a = \dfrac{5}{4} = 1{,}25 \). Fonction \( x \mapsto 1{,}25x \).
• Droite 2 : elle passe par \( (2\,;\,-1) \) (et par \( (-2\,;\,1) \)). \( a = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5 \). Fonction \( x \mapsto -0{,}5x \).
• Droite 3 : elle passe par \( (4\,;\,3) \). \( a = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \). Fonction \( x \mapsto 0{,}75x \).
• Droite 4 : elle passe par \( (3\,;\,-2) \). \( a = -\dfrac{2}{3} \). Fonction \( x \mapsto -\dfrac{2}{3}x \).

Une droite qui « monte » a un coefficient positif, une droite qui « descend » a un coefficient négatif : cela permet de contrôler le signe.

La fonction est \( f : x \mapsto -2x \) (coefficient \( -2 \)).

1. \( f(3) = -2 \times 3 = -6 \) ; \( f(-2) = -2 \times (-2) = 4 \) ; \( f(7) = -2 \times 7 = -14 \).

2. \( f(-1) = 2 \) ; \( f(6) = -12 \) ; \( f\left(\dfrac{3}{2}\right) = -2 \times \dfrac{3}{2} = -3 \).

3. On résout \( -2x = 7 \) : \( x = \dfrac{7}{-2} = -\dfrac{7}{2} = -3{,}5 \). Vérification : \( -2 \times (-3{,}5) = 7 \).

Augmenter de \( t\,\% \), c’est multiplier par \( 1 + \dfrac{t}{100} \) : c’est la fonction linéaire \( x \mapsto \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)x \).

1. Hausse de 5 % : coefficient 1,05. \( 65 \times 1{,}05 = 68{,}25 \). L’objet A coûte 68,25 €.

2. Hausse de 10 % : coefficient 1,1. Si \( x \) est l’ancien prix, \( 1{,}1x = 88 \), donc \( x = \dfrac{88}{1{,}1} = 80 \). L’objet B coûtait 80 € (et non \( 88 – 8{,}80 \) : on n’enlève pas 10 % du nouveau prix !).

3. Coefficient multiplicateur : \( \dfrac{50{,}40}{45} = 1{,}12 = 1 + \dfrac{12}{100} \). L’augmentation est de 12 %. Contrôle : \( 45 \times 0{,}12 = 5{,}40 \) € de hausse.

Si \( y = kx \) : quand \( k \gt 1 \), c’est une hausse de \( (k – 1) \times 100\,\% \) ; quand \( k \lt 1 \), c’est une baisse de \( (1 – k) \times 100\,\% \).

• (1) \( y = 1{,}4x \) : \( 1{,}4 – 1 = 0{,}4 \), hausse de 40 %.
• (2) \( y = 0{,}5x \) : \( 1 – 0{,}5 = 0{,}5 \), baisse de 50 % (le prix est divisé par 2).
• (3) \( y = 0{,}9x \) : \( 1 – 0{,}9 = 0{,}1 \), baisse de 10 %.
• (4) \( y = 1{,}05x \) : \( 1{,}05 – 1 = 0{,}05 \), hausse de 5 %.

\( f \) est linéaire, donc \( f(x) = ax \) (pas de terme constant). La donnée \( f\left(\dfrac{12}{5}\right) = \dfrac{8}{5} \) s’écrit :

\[ \begin{aligned} a \times \frac{12}{5} &= \frac{8}{5} \\ a &= \frac{8}{5} \div \frac{12}{5} = \frac{8}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{aligned} \]

Vérification : \( \dfrac{2}{3} \times \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{15} = \dfrac{8}{5} \).

a. Sur la figure : \( AB = 4 \), \( AD = 10 \) (hauteur) et \( DH = x \) (profondeur, commune aux deux pavés). Pour le pavé vert, \( GK = x \), la profondeur vaut aussi \( CG = x \) et la hauteur 10.

\[ V_1(x) = 4 \times 10 \times x = 40x \qquad V_2(x) = x \times x \times 10 = 10x^2 \]

\( V_1 \) est une fonction linéaire de coefficient 40 ; \( V_2 \) n’est pas linéaire (il y a un \( x^2 \)).

b. Tableau de valeurs (dans le tableur, on peut saisir =40*A2 et =10*A2^2 puis étirer) :

La courbe de \( V_1 \) est une droite passant par l’origine ; celle de \( V_2 \) est une courbe (une parabole), pas une droite.

c. On cherche \( x \) tel que \( 40x = 10x^2 \), c’est-à-dire \( 10x^2 – 40x = 0 \), soit \( 10x(x – 4) = 0 \). Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \( x = 0 \) ou \( x = 4 \). Le tableau et le graphique le confirment : \( V_1(4) = V_2(4) = 160 \).

Une fonction est linéaire si elle s’écrit \( x \mapsto ax \), avec \( a \) un nombre fixé.

• a) \( f : x \mapsto 3{,}5x \) : linéaire, coefficient 3,5.
• b) \( g : x \mapsto 2 + x \) : non linéaire (il y a un terme constant 2 ; \( g(0) = 2 \neq 0 \)). C’est une fonction affine.
• c) \( h : x \mapsto 7x^2 \) : non linéaire (\( x \) est au carré).
• d) \( i : x \mapsto -x \) : linéaire, coefficient \( -1 \) car \( -x = -1 \times x \).
• e) \( j : x \mapsto 5 \) : non linéaire (fonction constante, \( j(0) = 5 \neq 0 \)).
• f) \( k : x \mapsto \dfrac{5x}{3} \) : linéaire, car \( \dfrac{5x}{3} = \dfrac{5}{3}x \) ; coefficient \( \dfrac{5}{3} \).

\( f(x) = -5x \). On multiplie chaque nombre par \( -5 \), en respectant la règle des signes.

\[ \begin{aligned} f(0) &= -5 \times 0 = 0 \\ f(3) &= -5 \times 3 = -15 \\ f(-2) &= -5 \times (-2) = 10 \\ f\left(\frac{3}{7}\right) &= -5 \times \frac{3}{7} = -\frac{15}{7} \\ f(-\sqrt{3}) &= -5 \times (-\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} \end{aligned} \]

a. Baisser de 15 %, c’est multiplier par \( 1 – \dfrac{15}{100} = 0{,}85 \). La baisse est modélisée par la fonction linéaire \( f : x \mapsto 0{,}85x \), où \( x \) est l’ancien prix en euros.

b. \( f(70) = 0{,}85 \times 70 = 59{,}5 \). Le pantalon coûte maintenant 59,50 €.

c. On cherche l’antécédent de 50,12 : \( 0{,}85x = 50{,}12 \), donc

\[ x = \frac{50{,}12}{0{,}85} \approx 58{,}964\ldots \]

Arrondi au centime, l’ancien prix du pull était d’environ 58,96 € (contrôle : \( 0{,}85 \times 58{,}96 \approx 50{,}12 \)).