Corrigé des 34 exercices d’arithmétique en 3ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Les trois divisions posées se traduisent par trois égalités euclidiennes (le reste est toujours inférieur au diviseur) :

\[ 368 = 15 \times 24 + 8 \qquad 368 = 16 \times 23 + 0 \qquad 368 = 14 \times 26 + 4 \]

De plus, 1. Les nombres 14, 15 et 16 sont-ils des diviseurs de 368 ?

Par ailleurs, un entier \(d\) est un diviseur de 368 si le reste de la division euclidienne de 368 par \(d\) est nul.

• Division par 15 : le reste vaut 8, donc 15 n’est pas un diviseur de 368.
• Division par 16 : le reste vaut 0, donc \(368 = 16 \times 23\) et 16 est un diviseur de 368.
• Division par 14 : le reste vaut 4, donc 14 n’est pas un diviseur de 368.

2. Plus petit multiple de 15 supérieur à 368.

Donc, on sait que \(15 \times 24 = 360\), qui est inférieur à 368. Ensuite, le multiple suivant est \(15 \times 25 = 375\), qui dépasse 368. Par ailleurs, il n’y a pas de multiple de 15 entre 360 et 375, donc le plus petit multiple de 15 supérieur à 368 est 375.

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3. Plus grand multiple de 14 inférieur à 368.

On a \(14 \times 26 = 364\) et \(364 \lt 368\), alors que \(14 \times 27 = 378 \gt 368\). Puis le plus grand multiple de 14 inférieur à 368 est donc 364 (on retire le reste : \(368 – 4 = 364\)).

On utilise la relation dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste strictement inférieur au diviseur.

• Ligne 1 : \(16 \times 29 + 11 = 464 + 11 = 475\). Le dividende est 475.
• Ligne 2 : \(23 \times 432 + 21 = 9\,936 + 21 = 9\,957\). Le dividende est 9 957.
• Ligne 3 : \(41 \times 11 = 451\), donc le reste vaut \(456 – 451 = 5\) (et \(5 \lt 41\)). Le reste est 5.
• Ligne 4 : \(27 \times 28 = 756\), donc le reste vaut \(781 – 756 = 25\) (et \(25 \lt 27\)). Le reste est 25.
• Ligne 5 : le reste est nul, donc \(935 = \text{diviseur} \times 55\) et le diviseur vaut \(935 \div 55 = 17\). Le diviseur est 17.

Par conséquent, Égalités euclidiennes correspondantes :

\[ \begin{aligned} 475 &= 16 \times 29 + 11 \\ 9\,957 &= 23 \times 432 + 21 \\ 456 &= 41 \times 11 + 5 \\ 781 &= 27 \times 28 + 25 \\ 935 &= 17 \times 55 + 0 \end{aligned} \]

Une équipe de basket compte 5 joueurs, une équipe de hand-ball 7 joueurs, une équipe de football 11 joueurs et une équipe de rugby 15 joueurs. Ensuite, pour chaque sport, on effectue la division euclidienne de 131 par le nombre de joueurs : le quotient donne le nombre d’équipes complètes, le reste le nombre d’enfants sans équipe.

\[ \begin{aligned} 131 &= 5 \times 26 + 1 \\ 131 &= 7 \times 18 + 5 \\ 131 &= 11 \times 11 + 10 \\ 131 &= 15 \times 8 + 11 \end{aligned} \]

En effet, chaque reste est bien inférieur au nombre de joueurs d’une équipe : on ne peut pas former une équipe de plus.

On cherche les diviseurs par paires : si \(a \times b = n\), alors \(a\) et \(b\) sont deux diviseurs de \(n\). Puis on s’arrête quand les deux facteurs se rejoignent.

• 16 : \(1 \times 16 = 2 \times 8 = 4 \times 4\), donc les diviseurs sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
• 20 : \(1 \times 20 = 2 \times 10 = 4 \times 5\), donc 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.
• 36 : \(1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6\), donc 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
• 90 : \(1 \times 90 = 2 \times 45 = 3 \times 30 = 5 \times 18 = 6 \times 15 = 9 \times 10\), donc 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90.
• 59 : aucun entier de 2 à 7 ne divise 59 (et \(8 \times 8 = 64 \gt 59\)), donc 1 ; 59 : 59 est un nombre premier.
• 33 : \(1 \times 33 = 3 \times 11\), donc 1 ; 3 ; 11 ; 33.

Rappels : un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; par 10 s’il se termine par 0 ; par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ; par 3 (ou 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou 9).

• a. 5 912 : somme des chiffres 17 ; se termine par 12, divisible par 4.
• b. 34 200 : somme des chiffres 9 ; se termine par 00.
• c. 54 208 : somme des chiffres 19 ; se termine par 08, divisible par 4.
• d. 317 : somme des chiffres 11 ; nombre impair.
• e. 708 : somme des chiffres 15 ; se termine par 08, divisible par 4.

Ensuite, pour les lignes f à i, il faut trouver un nombre qui respecte la ligne : plusieurs réponses sont possibles, en voici une (vérifiée avec les critères).

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De plus, Attention à 34 200 : la somme de ses chiffres vaut \(3 + 4 + 2 + 0 + 0 = 9\), il est donc divisible par 9 ; et 708 se termine par 08, il est donc divisible par 4.

1. Somme de deux entiers impairs consécutifs.

Par ailleurs, un entier impair s’écrit \(2n + 1\) avec \(n\) entier. De plus, l’impair suivant est \(2n + 3\). Leur somme vaut :

\[ \begin{aligned} (2n + 1) + (2n + 3) &= 4n + 4 \\ &= 4 \times (n + 1) \end{aligned} \]

Ainsi, Comme \(n + 1\) est un entier, la somme est de la forme \(4 \times \text{entier}\) : c’est un multiple de 4. Exemple : \(7 + 9 = 16 = 4 \times 4\).

De même, 2. Un multiple de 8 est un multiple de 4.

Également, un multiple de 8 s’écrit \(8k\) avec \(k\) entier. Or

\[ 8k = 4 \times 2k \]

et \(2k\) est un entier. Donc \(8k\) est un multiple de 4. Exemple : \(40 = 8 \times 5 = 4 \times 10\).

Tous les paquets sont identiques et toutes les billes sont utilisées : le nombre de paquets doit donc diviser à la fois 90 et 150. C’est un diviseur commun à 90 et 150.

Par conséquent, 1. et 2. Peut-il y avoir 9 paquets ? 30 paquets ?

• 9 paquets : \(90 = 9 \times 10\), mais \(150 = 9 \times 16 + 6\) : le reste n’est pas nul, 9 ne divise pas 150. Impossible.
• 30 paquets : \(90 = 30 \times 3\) et \(150 = 30 \times 5\). C’est possible : chaque paquet contient 3 billes rouges et 5 billes noires.

3. Listes des diviseurs.

• Diviseurs de 90 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90.
• Diviseurs de 150 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 25 ; 30 ; 50 ; 75 ; 150.

Ensuite, 4. Les différentes possibilités (question 1) sont les diviseurs communs aux deux listes :

De plus, 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.

Le plus grand nombre de paquets possible est donc 30, le PGCD de 90 et 150.

On décompose chaque facteur de l’égalité donnée en produit de nombres premiers, puis on regroupe avec des puissances.

\[ \begin{aligned} \text{a. } 36 &= 4 \times 9 = 2^2 \times 3^2 \\ \text{b. } 18\,375 &= 3 \times 125 \times 49 = 3 \times 5^3 \times 7^2 \\ \text{c. } 3\,872 &= 32 \times 121 = 2^5 \times 11^2 \\ \text{d. } 1\,183 &= 91 \times 13 = 7 \times 13 \times 13 = 7 \times 13^2 \\ \text{e. } 214\,375 &= 625 \times 343 = 5^4 \times 7^3 \end{aligned} \]

Pour le d., attention : 91 n’est pas premier, car \(91 = 7 \times 13\).

Dans corrigé arithmétique 3ème, on divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…).

• \(180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\), donc \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\).
• \(63 = 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 7\), donc \(63 = 3^2 \times 7\).
• \(1\,225 = 5 \times 245 = 5 \times 5 \times 49\), donc \(1\,225 = 5^2 \times 7^2\).
• \(3\,672 = 2 \times 1\,836 = 2^2 \times 918 = 2^3 \times 459 = 2^3 \times 3 \times 153 = 2^3 \times 3^2 \times 51 = 2^3 \times 3^3 \times 17\).
• \(416 = 2 \times 208 = 2^2 \times 104 = 2^3 \times 52 = 2^4 \times 26 = 2^5 \times 13\).
• \(24\,000 = 24 \times 1\,000 = (2^3 \times 3) \times (2^3 \times 5^3) = 2^6 \times 3 \times 5^3\).

Le nombre est compris entre 100 et 150 : son chiffre des centaines est \(a = 1\). Notons \(b\) le chiffre des dizaines et \(c\) celui des unités. Ensuite, la condition s’écrit :

\[ c – 1 = 2b \quad \text{donc} \quad c = 2b + 1 \]

Par ailleurs, Comme le nombre est inférieur à 150, \(b\) vaut 0, 1, 2, 3 ou 4. Par ailleurs, on teste chaque cas :

Ainsi, pour tester si un nombre inférieur à 169 est premier, il suffit d’essayer les diviseurs premiers 2, 3, 5, 7 et 11, car \(13 \times 13 = 169\).

Donc, Plusieurs nombres conviennent : 101, 113, 137 et 149. Si l’on exclut le cas où la différence et le chiffre des dizaines sont nuls (101), il reste 113, 137 et 149. Par exemple pour 137 : \(7 – 1 = 6 = 2 \times 3\).

Les décompositions sont données : \(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\), \(13\,500 = 2^2 \times 3^3 \times 5^3\), \(4\,400 = 2^4 \times 5^2 \times 11\) et \(11\,466 = 2 \times 3^2 \times 7^2 \times 13\). Puis pour rendre une fraction irréductible, on supprime les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur, avec le plus petit exposant.

Première fraction. Seul le facteur 2 est commun, avec l’exposant 3 :

\[ \frac{504}{4\,400} = \frac{2^3 \times 3^2 \times 7}{2^3 \times 2 \times 5^2 \times 11} = \frac{3^2 \times 7}{2 \times 5^2 \times 11} = \frac{63}{550} \]

Par ailleurs, Deuxième fraction. Facteurs communs : \(2\), \(3^2\) et \(7\), soit \(2 \times 9 \times 7 = 126\).

\[ \frac{504}{11\,466} = \frac{2 \times 2^2 \times 3^2 \times 7}{2 \times 3^2 \times 7 \times 7 \times 13} = \frac{2^2}{7 \times 13} = \frac{4}{91} \]

Troisième fraction. Facteurs communs : \(2^2\) et \(3^2\), soit 36.

\[ \frac{13\,500}{504} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 3 \times 5^3}{2^2 \times 2 \times 3^2 \times 7} = \frac{3 \times 5^3}{2 \times 7} = \frac{375}{14} \]

Ensuite, Dans chaque résultat, le numérateur et le dénominateur n’ont plus aucun facteur premier commun : les fractions sont bien irréductibles.

On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis on simplifie par les facteurs communs.

De plus, Décompositions utiles : \(8\,800 = 2^5 \times 5^2 \times 11\) ; \(1\,638 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 13\) ; \(64 = 2^6\) ; \(4\,400 = 2^4 \times 5^2 \times 11\) ; \(1\,260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) ; \(810 = 2 \times 3^4 \times 5\).

\[ \begin{aligned} \frac{8\,800}{1\,638} &= \frac{2 \times 2^4 \times 5^2 \times 11}{2 \times 3^2 \times 7 \times 13} = \frac{2^4 \times 5^2 \times 11}{3^2 \times 7 \times 13} = \frac{4\,400}{819} \\ \frac{64}{4\,400} &= \frac{2^4 \times 2^2}{2^4 \times 5^2 \times 11} = \frac{2^2}{5^2 \times 11} = \frac{4}{275} \\ \frac{1\,260}{1\,638} &= \frac{2 \times 3^2 \times 7 \times 2 \times 5}{2 \times 3^2 \times 7 \times 13} = \frac{10}{13} \\ \frac{1\,638}{810} &= \frac{2 \times 3^2 \times 7 \times 13}{2 \times 3^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{7 \times 13}{3^2 \times 5} = \frac{91}{45} \end{aligned} \]

Par ailleurs, Pour la première fraction, seul le facteur 2 est commun : on divise simplement par 2.

1. La division euclidienne de a par b s’écrit \(a = b \times q + r\) avec un reste r positif et strictement inférieur au diviseur b.

• a. \(375 = 25 \times 14 + 25\) : l’égalité est vraie, mais le reste 25 est plus grand que 14. Ce n’est pas la division euclidienne.
• b. \(375 = 26 \times 14 + 11\) : \(26 \times 14 = 364\) et \(364 + 11 = 375\), et \(11 \lt 14\). C’est la division euclidienne : quotient 26, reste 11.
• c. \(375 = 27 \times 14 – 3\) : il y a une soustraction, le « reste » serait négatif. Ce n’est pas une division euclidienne.

Ainsi, 2. À la calculatrice, on calcule \(a \div b\) : la partie entière donne le quotient q, puis on calcule \(r = a – b \times q\).

• a. \(370 \div 250 = 1{,}48\), donc \(q = 1\) et \(r = 370 – 250 = 120\) : \(370 = 250 \times 1 + 120\).
• b. \(315 \div 16 = 19{,}6875\), donc \(q = 19\) et \(r = 315 – 304 = 11\) : \(315 = 16 \times 19 + 11\).
• c. \(1\,254 \div 26 \approx 48{,}2\), donc \(q = 48\) et \(r = 1\,254 – 1\,248 = 6\) : \(1\,254 = 26 \times 48 + 6\).

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• d. \(24\,576 \div 134 \approx 183{,}4\), donc \(q = 183\) et \(r = 24\,576 – 24\,522 = 54\) : \(24\,576 = 134 \times 183 + 54\).
• e. \(65 \lt 120\), donc \(q = 0\) et \(r = 65\) : \(65 = 120 \times 0 + 65\).

Donc, Dans chaque cas, on vérifie que le reste est bien inférieur au diviseur.

1. a. On cherche les diviseurs par paires : \(30 = 1 \times 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6\) et \(24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6\).

• Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
• Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Également, b. Les diviseurs communs sont ceux qui apparaissent dans les deux listes : 1, 2, 3 et 6. Ensuite, le plus grand diviseur commun est 6.

Par conséquent, 2. On divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun, 6 :

\[ \frac{30}{24} = \frac{30 \div 6}{24 \div 6} = \frac{5}{4} \]

En effet, 5 et 4 n’ont que 1 comme diviseur commun : \(\frac{5}{4}\) est irréductible.

3. On utilise la forme simplifiée puis on met au même dénominateur :

\[ \frac{30}{24} – \frac{3}{4} = \frac{5}{4} – \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Pour montrer qu’une affirmation « pour tous… » est fausse, il suffit d’un seul contre-exemple.

Ensuite, Prenons \(n = 4\) : \(2^4 – 1 = 16 – 1 = 15\). Or \(15 = 3 \times 5\) : 15 a d’autres diviseurs que 1 et lui-même, il n’est pas premier.

De plus, pour information, voici toutes les valeurs :

1. On divise successivement par les nombres premiers de la liste, du plus petit au plus grand.

\[ \begin{aligned} 140 &= 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^2 \times 5 \times 7 \\ 870 &= 2 \times 435 = 2 \times 3 \times 145 = 2 \times 3 \times 5 \times 29 \end{aligned} \]

Par ailleurs, 29 est bien un nombre premier (il est dans la liste donnée).

Ainsi, 2. Facteurs communs : 2 et 5, soit \(2 \times 5 = 10\).

\[ \frac{140}{870} = \frac{2 \times 5 \times 2 \times 7}{2 \times 5 \times 3 \times 29} = \frac{2 \times 7}{3 \times 29} = \frac{14}{87} \]

a. Avec 4 paquets identiques : \(24 \div 4 = 6\) pommes et \(36 \div 4 = 9\) poires par paquet. C’est possible car 4 divise 24 et 36.

Donc, b.

\[ 24 = 2^3 \times 3 \qquad 36 = 2^2 \times 3^2 \]

Également, c. Le nombre de paquets doit diviser à la fois 24 et 36 (tous les fruits sont utilisés, paquets identiques). Puis le nombre maximal de paquets est donc le plus grand diviseur commun de 24 et 36. De plus, on prend les facteurs premiers communs avec le plus petit exposant :

\[ 2^2 \times 3 = 12 \]

Chaque paquet contient alors \(24 \div 12 = 2\) pommes et \(36 \div 12 = 3\) poires.

On décompose le numérateur et le dénominateur, puis on supprime les facteurs communs.

\[ \begin{aligned} a.\ \frac{126}{180} &= \frac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{7}{2 \times 5} = \frac{7}{10} \\ b.\ \frac{48}{75} &= \frac{2^4 \times 3}{3 \times 5^2} = \frac{2^4}{5^2} = \frac{16}{25} \\ c.\ \frac{220}{100} &= \frac{2^2 \times 5 \times 11}{2^2 \times 5^2} = \frac{11}{5} \end{aligned} \]

On applique la méthode de l’exemple : on divise par un nombre premier tant que c’est possible.

• a. \(308 \div 2 = 154\), \(154 \div 2 = 77\), \(77 \div 7 = 11\), \(11 \div 11 = 1\) : \(308 = 2^2 \times 7 \times 11\).
• b. \(252 \div 2 = 126\), \(126 \div 2 = 63\), \(63 \div 3 = 21\), \(21 \div 3 = 7\) : \(252 = 2^2 \times 3^2 \times 7\).
• c. \(1\,470 \div 2 = 735\), \(735 \div 3 = 245\), \(245 \div 5 = 49\), \(49 \div 7 = 7\) : \(1\,470 = 2 \times 3 \times 5 \times 7^2\).
• d. \(3\,780 \div 2 = 1\,890\), \(\div 2 = 945\), \(\div 3 = 315\), \(\div 3 = 105\), \(\div 3 = 35\), \(\div 5 = 7\) : \(3\,780 = 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 7\).

Par conséquent, pour les trois dernières, on réutilise les décompositions : on additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient.

\[ \begin{aligned} e.\ 308 \times 1\,470 &= (2^2 \times 7 \times 11) \times (2 \times 3 \times 5 \times 7^2) = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7^3 \times 11 \\ f.\ \frac{3\,780}{252} &= \frac{2^2 \times 3^3 \times 5 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 7} = 3 \times 5 \\ g.\ 252 \times 308 \times 1\,470 \times 3\,780 &= 2^{2+2+1+2} \times 3^{2+1+3} \times 5^{1+1} \times 7^{1+1+2+1} \times 11 \\ &= 2^7 \times 3^6 \times 5^2 \times 7^5 \times 11 \end{aligned} \]

En effet, Vérification pour f : \(3\,780 \div 252 = 15 = 3 \times 5\).

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a. Divisions successives :

\[ \begin{aligned} 504 &= 2 \times 252 = 2 \times 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 2 \times 63 = 2^3 \times 3^2 \times 7 \\ 540 &= 2 \times 270 = 2 \times 2 \times 135 = 2^2 \times 3 \times 45 = 2^2 \times 3^3 \times 5 \end{aligned} \]

Ensuite, b. Facteurs communs : \(2^2\) et \(3^2\), soit \(4 \times 9 = 36\).

\[ \frac{504}{540} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 2 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 3 \times 5} = \frac{2 \times 7}{3 \times 5} = \frac{14}{15} \]

Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur commun. Ensuite, on le trouve avec les décompositions :

\[ 1\,204 = 2^2 \times 7 \times 43 \qquad 258 = 2 \times 3 \times 43 \]

De plus, les facteurs communs sont 2 et 43 : le plus grand diviseur commun est \(2 \times 43 = 86\).

\[ \frac{1\,204}{258} = \frac{86 \times 14}{86 \times 3} = \frac{14}{3} \]

Par ailleurs, 14 et 3 n’ont aucun facteur premier commun : la fraction est irréductible.

a. Le plus grand diviseur commun s’obtient en prenant les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant : 2 apparaît avec les exposants 3 et 5, on garde \(2^3\) ; 3 apparaît avec les exposants 3 et 2, on garde \(3^2\) ; 5 n’est pas dans 288.

\[ 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \]

Ainsi, b. On simplifie par 72 :

\[ \frac{1\,080}{288} = \frac{2^3 \times 3^2 \times 3 \times 5}{2^3 \times 3^2 \times 2^2} = \frac{3 \times 5}{2^2} = \frac{15}{4} \]

Les bouquets sont identiques et utilisent toutes les fleurs : le nombre de bouquets doit donc diviser à la fois 182 (muguet) et 78 (roses). C’est un diviseur commun de 182 et 78, et on cherche le plus grand : le PGCD.

Donc, a. On décompose en facteurs premiers :

\[ 182 = 2 \times 7 \times 13 \qquad 78 = 2 \times 3 \times 13 \]

Les facteurs communs sont 2 et 13, donc \( \text{PGCD}(182\,;78) = 2 \times 13 = 26 \).

Également, Julie pourra faire 26 bouquets identiques au maximum.

En travaillant corrigé arithmétique 3ème, on remarque que par conséquent, b. \( 182 \div 26 = 7 \) et \( 78 \div 26 = 3 \).

En effet, Chaque bouquet contiendra 7 brins de muguet et 3 roses.

Il faut un poteau à chaque coin et des poteaux régulièrement espacés d’un nombre entier de mètres : la distance entre deux poteaux doit donc diviser 78 et 102 (chaque côté est partagé en intervalles égaux).

Ensuite, a.

• 5 m : 78 ne se termine ni par 0 ni par 5, donc 78 n’est pas divisible par 5. Les poteaux ne peuvent pas être espacés de 5 m.
• 3 m : \( 7 + 8 = 15 \) et \( 1 + 0 + 2 = 3 \) sont des multiples de 3, donc 78 et 102 sont divisibles par 3 (\( 78 = 3 \times 26 \), \( 102 = 3 \times 34 \)). Les poteaux peuvent être espacés de 3 m.

De plus, b. Moins il y a de poteaux, plus ils sont espacés : la distance doit être le plus grand diviseur commun de 78 et 102.

\[ 78 = 2 \times 3 \times 13 \qquad 102 = 2 \times 3 \times 17 \]

Donc \( \text{PGCD}(78\,;102) = 2 \times 3 = 6 \) : la distance entre deux poteaux est de 6 m.

Par ailleurs, c. La clôture fait le tour du terrain : le périmètre vaut \( 2 \times (78 + 102) = 360 \text{ m} \).

Suite du corrigé corrigé arithmétique 3ème

Ainsi, Sur un contour fermé, il y a autant de poteaux que d’intervalles : \( 360 \div 6 = 60 \).

Donc, (Vérification : \( 78 \div 6 = 13 \) et \( 102 \div 6 = 17 \) intervalles par côté, soit \( 2 \times (13 + 17) = 60 \).)

L’énoncé comporte une coquille : il faut lire « les lumières bleues s’allument toutes les 6 secondes ».

Également, les lumières rouges s’allument aux instants multiples de 4 s, les bleues aux instants multiples de 6 s. Par ailleurs, elles s’allument ensemble aux instants qui sont des multiples communs de 4 et de 6 ; la première fois correspond au plus petit multiple commun.

• Multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24…
• Multiples de 6 : 6 ; 12 ; 18 ; 24…

Par conséquent, Le plus petit multiple commun non nul de 4 et 6 est 12.

En effet, Le phénomène se reproduira pour la première fois au bout de 12 secondes.

Les côtés des carrés sont en centimètres : on convertit. \( 6{,}6 \text{ m} = 660 \text{ cm} \) et \( 8{,}58 \text{ m} = 858 \text{ cm} \). Puis le côté d’un carré doit être un diviseur commun de 660 et 858.

Ensuite, 1. \( 660 = 33 \times 20 \) et \( 858 = 33 \times 26 \) : 33 divise 660 et 858.

De plus, Oui, on peut quadriller le terrain avec des carrés de 33 cm de côté (20 carrés sur la largeur et 26 sur la longueur).

Par ailleurs, 2.

\[ \begin{aligned} 660 &= 2 \times 330 = 2 \times 2 \times 165 = 2 \times 2 \times 3 \times 55 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 11 \\ 858 &= 2 \times 429 = 2 \times 3 \times 143 = 2 \times 3 \times 11 \times 13 \end{aligned} \]

Ainsi, 3. Les facteurs premiers communs sont 2, 3 et 11 (chacun une fois), donc \( \text{PGCD}(660\,;858) = 2 \times 3 \times 11 = 66 \).

Donc, des carrés de 66 cm de côté conviennent, et 66 est supérieur à 33 (c’est d’ailleurs le seul diviseur commun plus grand que 33).

Suite du corrigé corrigé arithmétique 3ème

• Sur la largeur : \( 660 \div 66 = 10 \) carrés.
• Sur la longueur : \( 858 \div 66 = 13 \) carrés.

Également, Nombre de carrés : \( 10 \times 13 = 130 \).

Étape 1 : la forme de la boîte. Une boîte contient 36 cubes de 2 cm d’arête rangés en pavé droit : si elle contient \( a \) cubes en longueur, \( b \) en largeur et \( c \) en hauteur, alors \( a \times b \times c = 36 \). Ensuite, on cherche la boîte qui utilise le moins de carton, c’est-à-dire l’aire totale la plus petite.

Par exemple, pour la boîte de 6 cm × 6 cm × 8 cm :

\[ \mathcal{A} = 2 \times (6 \times 6 + 6 \times 8 + 6 \times 8) = 2 \times (36 + 48 + 48) = 264 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, la boîte la plus économe est le pavé de 6 cm × 6 cm × 8 cm, d’aire 264 cm² (la forme la plus proche d’un cube).

Suite du corrigé corrigé arithmétique 3ème

Étape 2 : le nombre de boîtes. \( 20\,000 \div 36 \approx 555{,}6 \) : 555 boîtes ne suffisent pas (\( 555 \times 36 = 19\,980 \)), il faut donc 556 boîtes.

Par ailleurs, Étape 3 : le coût.

\[ \begin{aligned} 556 \times 264 &= 146\,784 \text{ cm}^2 = 14{,}678\,4 \text{ m}^2 \\ 14{,}678\,4 \times 15{,}50 &\approx 227{,}52 \text{ €} \end{aligned} \]

De plus, (On rappelle que \( 1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 \).)

Les carreaux sont posés bord à bord, sans découpe : leur côté doit être un diviseur commun de 240 et de 360.

Par ailleurs, 1.

• 10 cm : \( 240 = 10 \times 24 \) et \( 360 = 10 \times 36 \) : oui.
• 14 cm : \( 240 = 14 \times 17 + 2 \) : 14 ne divise pas 240, non.
• 18 cm : \( 360 = 18 \times 20 \) mais \( 240 = 18 \times 13 + 6 \) : 18 ne divise pas 240, non.

Ainsi, 2. \( 240 = 2^4 \times 3 \times 5 \) et \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \), donc \( \text{PGCD}(240\,;360) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120 \).

Donc, les diviseurs communs de 240 et 360 sont les diviseurs de 120 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Entre 10 et 20 : 10 cm, 12 cm, 15 cm et 20 cm.

Également, 3. Avec des carreaux de 15 cm : \( 240 \div 15 = 16 \) carreaux sur la largeur et \( 360 \div 15 = 24 \) carreaux sur la longueur.

Par conséquent, la rangée du pourtour compte deux côtés de 24 et deux côtés de 16, mais les 4 carreaux des coins sont comptés deux fois :

\[ 2 \times 24 + 2 \times 16 – 4 = 48 + 32 – 4 = 76 \]

En effet, (Autre méthode : \( 16 \times 24 – 14 \times 22 = 384 – 308 = 76 \).)

1.

\[ \begin{aligned} 162 &= 2 \times 81 = 2 \times 3^4 \\ 108 &= 4 \times 27 = 2^2 \times 3^3 \end{aligned} \]

Ensuite, 2. Le PGCD est \( 2 \times 3^3 = 54 \). Puis les diviseurs communs de 162 et 108 sont les diviseurs de 54 : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Deux diviseurs communs plus grands que 10 : par exemple 18 et 27 (\( 162 = 18 \times 9 = 27 \times 6 \) et \( 108 = 18 \times 6 = 27 \times 4 \)).

De plus, 3. Le nombre de barquettes doit diviser 162 (nems) et 108 (samossas).

Par ailleurs, a. \( 162 = 36 \times 4 + 18 \) : 36 ne divise pas 162. De plus, le cuisinier ne peut pas réaliser 36 barquettes.

Ainsi, b. Le nombre maximal de barquettes est le plus grand diviseur commun : \( \text{PGCD}(162\,;108) = 54 \). Ensuite, il pourra réaliser 54 barquettes.

Donc, c. \( 162 \div 54 = 3 \) et \( 108 \div 54 = 2 \) : chaque barquette contiendra 3 nems et 2 samossas.

Pour montrer qu’une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit. Remarque : l’affirmation 3 est écrite deux fois dans l’énoncé (lignes 3 et 4), on la traite une seule fois.

Affirmation 1 : VRAIE. Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Par ailleurs, les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6, qui sont exactement les diviseurs de 6 (6 est le PGCD de 12 et 18).

De même, Affirmation 2 : FAUSSE. 4 admet trois diviseurs : 1, 2 et 4.

Affirmation 3 : FAUSSE. Contre-exemple : 3 et 9 sont impairs et ont 3 comme diviseur commun (en plus de 1).

Également, Affirmation 4 : FAUSSE. Contre-exemple : 2 est un nombre premier (ses seuls diviseurs sont 1 et 2) et il est pair.

Affirmation 5 : FAUSSE. Contre-exemple : 9 est impair mais n’est pas premier, car \( 9 = 3 \times 3 \) (de même 1, 15, 21…).

On appelle \( n \) le nombre entier de départ et on traduit le programme en calcul littéral :

• je lui ajoute 3 : \( n + 3 \) ;
• je multiplie par 7 : \( 7(n + 3) \) ;
• Pour bien réussir corrigé arithmétique 3ème, on retient que j’ajoute le triple du nombre de départ : \( 7(n + 3) + 3n \) ;
• j’enlève 21 : \( 7(n + 3) + 3n – 21 \).

Par ailleurs, on développe et on réduit :

\[ 7(n + 3) + 3n – 21 = 7n + 21 + 3n – 21 = 10n \]

Ainsi, le résultat est \( 10 \times n \) avec \( n \) entier : c’est toujours un multiple de 10. Par exemple, avec 4 : \( 7 \times 7 + 12 – 21 = 40 = 10 \times 4 \).

Le panneau mesure 240 cm sur 360 cm et les carreaux carrés sont posés bord à bord sans découpe : le côté d’un carreau doit être un diviseur commun de 240 et 360.

Donc, 1. On teste la divisibilité :

• 10 cm : 240 et 360 se terminent par 0, ils sont divisibles par 10 (24 et 36 carreaux) : oui.
• 14 cm : \( 240 \div 14 \approx 17{,}1 \) n’est pas entier : non.
• 18 cm : \( 240 \div 18 \approx 13{,}3 \) n’est pas entier : non (bien que 18 divise 360).

Également, 2. On cherche le plus grand diviseur commun avec les décompositions :

\[ 240 = 2^4 \times 3 \times 5 \qquad 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \qquad \text{PGCD} = 2^3 \times 3 \times 5 = 120 \]

Par conséquent, Tout diviseur commun divise 120. Parmi les diviseurs de 120, ceux compris entre 10 et 20 sont 10, 12, 15 et 20 : ce sont les tailles possibles (en cm).

En effet, 3. Carreaux de 15 cm : \( 240 \div 15 = 16 \) et \( 360 \div 15 = 24 \), le panneau compte \( 16 \times 24 = 384 \) carreaux. Puis les carreaux blancs forment l’intérieur, un rectangle de \( (16 – 2) \times (24 – 2) = 14 \times 22 = 308 \) carreaux.

\[ 384 – 308 = 76 \]

Le motif \( n \) est un grand carré de \( n + 2 \) carreaux de côté (le carré gris plus une bordure d’un carreau de chaque côté). Ensuite, on le vérifie sur la figure : le motif 1 fait 3 × 3, le motif 2 fait 4 × 4, le motif 3 fait 5 × 5. Puis on compte les blancs : 8, 12, 16.

Ensuite, 1. Le motif 4 est un carré de 6 × 6 = 36 carreaux, dont 4 × 4 = 16 gris :

\[ 36 – 16 = 20 \]

De plus, Gaspard utilisera 20 carreaux blancs (la suite 8, 12, 16, 20 augmente de 4 à chaque motif).

De même, 2. a. Le carré gris d’un motif contient \( n \times n = n^2 \) carreaux. Or \( 144 = 12 \times 12 = 12^2 \) : 144 est un carré parfait. Gaspard peut donc réaliser le motif 12, avec un carré gris de 12 carreaux de côté.

2. b. Le motif 12 est un carré de \( 14 \times 14 = 196 \) carreaux, donc il utilise \( 196 – 144 = 52 \) carreaux blancs.

Suite du corrigé corrigé arithmétique 3ème

Donc, 3. Pour le motif \( n \), le nombre de carreaux blancs est \( (n + 2)^2 – n^2 = 4n + 4 \). De plus, on teste chaque expression, par exemple avec \( n = 1 \) (8 carreaux blancs) :

• Expression n° 1 : \( 2 \times 1 + 2 \times 3 = 8 \) ✔ ; en général \( 2n + 2(n + 2) = 4n + 4 \) : elle convient (deux côtés de \( n \) carreaux et deux côtés de \( n + 2 \) carreaux).
• Expression n° 2 : \( 4 \times 3 = 12 \neq 8 \) ✘ : elle compte 4 fois de trop les carreaux des coins.
• Expression n° 3 : \( 4 \times 3 – 4 = 8 \) ✔ ; en général \( 4(n + 2) – 4 = 4n + 4 \) : elle convient (on retire les 4 coins comptés deux fois).

Les carreaux sont carrés et posés sans découpe : leur côté doit être un diviseur commun de 108 et 225.

Également, 1.

• 3 cm : \( 1 + 0 + 8 = 9 \) et \( 2 + 2 + 5 = 9 \) sont des multiples de 3, donc 3 divise 108 et 225 (\( 108 = 3 \times 36 \), \( 225 = 3 \times 75 \)) : oui.
• 6 cm : 225 est impair, il n’est pas divisible par 2 donc pas par 6 : non.

Par conséquent, 2. La dimension maximale est le PGCD de 108 et 225 :

\[ 108 = 2^2 \times 3^3 \qquad 225 = 3^2 \times 5^2 \qquad \text{PGCD}(108\,;225) = 3^2 = 9 \]

En effet, Carole peut poser des carreaux de 9 cm de côté au maximum.

Ensuite, Nombre de carreaux : \( 108 \div 9 = 12 \) et \( 225 \div 9 = 25 \), donc \( 12 \times 25 = 300 \) carreaux.