Décomposition en facteurs premiers
En bref : La décomposition en facteurs premiers d’un entier supérieur ou égal à 2 est son écriture comme produit de nombres premiers, unique à l’ordre des facteurs près.
3èmeNombres et calculs
Définition : Décomposition en facteurs premiers
La décomposition en facteurs premiers d’un entier \(n \ge 2\) consiste à l’écrire comme un produit de nombres premiers, par exemple \(756 = 2^2 \times 3^3 \times 7\). Un facteur qui se répète s’écrit avec un exposant.
Tout entier supérieur ou égal à 2 possède une telle écriture, et elle est unique à l’ordre des facteurs près. C’est un peu la carte d’identité du nombre : elle permet de lire ses diviseurs, de simplifier une fraction et de calculer un PGCD ou un PPCM.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande d’écrire un nombre « sous la forme d’un produit de nombres premiers ».
- Il faut rendre une fraction irréductible avec des nombres à trois chiffres sans voir de diviseur commun évident.
- On cherche le PGCD ou le PPCM de deux grands nombres sans utiliser l’algorithme d’Euclide.
- La question porte sur la divisibilité d’un nombre par un autre, par exemple par 12 ou par 16.
La méthode
- Diviser le nombre par le plus petit nombre premier possible (2, puis 3, puis 5, puis 7…) tant que la division tombe juste.
- Écrire le quotient obtenu et recommencer avec lui, jusqu’à arriver au quotient 1.
- Rassembler tous les diviseurs premiers utilisés dans un produit et regrouper les facteurs identiques avec des exposants.
- Vérifier en multipliant les facteurs : on doit retrouver le nombre de départ.
Décomposition en facteurs premiers : exemple corrigé
Énoncé
Écrire la décomposition en facteurs premiers de \(840\), puis dire si \(840\) est divisible par \(12\) et par \(16\).
Corrigé
On divise : \(840 \div 2 = 420\), \(420 \div 2 = 210\), \(210 \div 2 = 105\). Ensuite \(105 \div 3 = 35\), \(35 \div 5 = 7\) et \(7 \div 7 = 1\).
Donc \(840 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7\). Contrôle : \(8 \times 3 \times 5 \times 7 = 840\).
Comme \(12 = 2^2 \times 3\) et que \(840\) contient \(2^3\) et \(3\), il est divisible par 12. Comme \(16 = 2^4\) et que \(840\) n’a que \(2^3\), il n’est pas divisible par 16.
À toi de jouer
Question 1
Décomposer \(180\) en produit de facteurs premiers.
Voir la réponse
\(180 = 2 \times 90 = 2^2 \times 45 = 2^2 \times 3^2 \times 5\). Contrôle : \(4 \times 9 \times 5 = 180\).
Question 2
Pourquoi \(91 = 7 \times 13\) est-il bien une décomposition complète ?
Voir la réponse
Parce que 7 et 13 sont des nombres premiers : on ne peut plus découper aucun des deux facteurs.
Ne pas confondre Décomposition en facteurs premiers et Diviseur
La décomposition ne contient que des nombres premiers : pour \(60\), c’est \(2^2 \times 3 \times 5\). La liste des diviseurs d’un nombre est bien plus longue : pour \(60\), elle contient aussi \(4\), \(6\), \(10\), \(12\), \(15\), \(20\), \(30\) et \(60\). On construit les diviseurs en combinant les facteurs premiers.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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