Diviseur
En bref : Un diviseur d’un entier est un entier qui le divise sans laisser de reste : 6 est un diviseur de 42 car 42 se partage en 7 groupes de 6.
6èmeNombres et calculs
Définition : Diviseur
On dit qu’un nombre est un diviseur d’un autre lorsque la division du second par le premier tombe juste, c’est-à-dire avec un reste nul.
Par exemple, \(4\) divise \(28\) parce que \(28 = 4 \times 7\). On dit aussi que \(28\) est un multiple de \(4\). Tout entier supérieur à 1 possède au moins deux diviseurs : \(1\) et lui-même. Les diviseurs vont par paires dont le produit redonne le nombre : pour \(28\), les paires sont \(1\) et \(28\), \(2\) et \(14\), \(4\) et \(7\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de répartir des objets en groupes égaux sans en laisser un seul de côté.
- On cherche toutes les façons de ranger des carreaux ou des chaises en rectangle.
- La consigne demande tous les nombres qui divisent 36, ou si 9 divise 135.
- On souhaite simplifier une fraction en cherchant un nombre qui divise le haut et le bas.
La méthode
- Tester les entiers dans l’ordre : \(1\), \(2\), \(3\), et ainsi de suite, avec les critères de divisibilité ou la table de multiplication.
- Dès qu’une division tombe juste, noter ce nombre et son partenaire, c’est-à-dire le quotient.
- S’arrêter quand le nombre testé dépasse son partenaire : la liste est alors complète.
- Écrire la liste complète dans l’ordre croissant, en vérifiant qu’elle commence par \(1\) et finit par le nombre.
Diviseur : exemple corrigé
Énoncé
Une fleuriste veut composer des bouquets identiques avec ses \(54\) tulipes, sans en laisser. Elle ne veut pas moins de \(3\) fleurs par bouquet, ni plus de \(10\). Quels nombres de tulipes par bouquet peut-elle choisir ?
Corrigé
On cherche les nombres qui divisent \(54\) : \(1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54\), car \(54 = 2 \times 27 = 3 \times 18 = 6 \times 9\).
Entre \(3\) et \(10\), il reste \(3\), \(6\) et \(9\). Elle peut faire des bouquets de 3, de 6 ou de 9 tulipes, soit \(18\), \(9\) ou \(6\) bouquets.
À toi de jouer
Question 1
Quels nombres divisent \(20\) exactement ?
Voir la réponse
\(1, 2, 4, 5, 10, 20\), car \(20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 4 \times 5\).
Question 2
\(7\) divise-t-il \(91\) ?
Voir la réponse
Oui : \(7 \times 13 = 91\), la division tombe juste.
Ne pas confondre Diviseur et Multiple
Les deux mots décrivent la même relation vue dans deux sens. Si \(5 \times 8 = 40\), alors \(5\) est un diviseur de \(40\) et \(40\) est un multiple de \(5\). Un nombre a un nombre fini de diviseurs, tous inférieurs ou égaux à lui, mais une infinité de multiples.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 6ème · Nombres et calculs
