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Nous terminerons cette leçon avec la résolution de problèmes à l’aide des divisions et la traduction mathématiques d’énoncés. Cette leçon reprend toutes les notions du programme officiel de l’éducation nationale en mathématiques et permet aux élèves de sixième d’assimiler le contenu de leur cours.
I.La division Euclidienne :
Euclide d’Alexandrie [Egypte] né vers 325 av J.C et mort vers 265 av J.C.
Définition :
Une division définit une situation de partage.
La quantité à partager est appelée dividende et le nombre de parts le diviseur.
La quantité par part est appelé le quotient.
La division est euclidienne lorsque le dividende, le diviseur et le quotient sont entiers.
Exemple :
On dispose de 789 fleurs. On veut faire des bouquets contenant 12 fleurs.
Combien y-aura-t-il de fleurs par bouquet?Combien restera-t-il de fleurs ?
Il y aura 65 bouquets de 12 fleurs et il restera 9 fleurs.
Remarque :
L’égalité euclidienne qui traduit cette division est 
.
II. Multiples et diviseurs d’un entier :
Propriété :
Si le reste de la division euclidienne de a par b () est égal à zéro ,alors on dit que : a est un multiple de b ;
ou que : b est un diviseur de a ;
ou encore que : a est divisible par b.
Exemple :
Effectuons la division euclidienne de 1 944 par 36.
Le reste est nul donc 1 944 est un multiple de 36.
En effet, .
C’est à dire :
Donc : 1 944 est un multiple de 36 mais aussi de 54 ;
36 est un diviseur de 1 944 mais 54 est aussi un diviseur de 1 944 ;
1 944 est divisible par 36 mais aussi par 54.
III. Critères de divisibilité :
Propriété :
Pour savoir si un nombre est divisible par certains chiffres, on utilise les critères suivants :Un nombre est divisible par :
• 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
• 5 s’il se termine par 0 ou 5 ;
• 10 s’il se termine par 0 ;
• 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
• 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ;
• 4 lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
Exemples :
- 512 est divisible par 2 car il se termine par 2.
- 305 est divisible par 5 car il se termine par 5.
- 135 n’est pas divisible par 10 car il ne se termine pas par 0.
- 516 est divisible par 3 car 5+1+6=12 et 12 est un multiple de 3 (12=4×3+0).
- 936 est divisible par 9 car 9+3+6=18 et 18 est un multiple de 9 (18=9×2+0).
- 728 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4 (28=7×4+0).
IV. La division décimale
Définition :
Le quotient d’un nombre décimal par un nombre entier non nul est le nombre qui, multipliépar b, donne a. Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous
suivante : .
Effectuer la division décimale du nombre par le nombre , c’est calculer la valeur exacte (ou une
valeur approchée) de ce quotient.
Exemple :
Calculer le quotient de par .
A retenir : Au moment où l’on abaisse le chiffre des dixièmes dans le dividende, on pose une virgule dans le quotient.
V. Division par 10, 100, 1000,….
Règle :
Pour diviser un nombre décimal par 10, il suffit de décaler la virgule de 1 rang vers la gauche.
Pour diviser un nombre décimal par 100, il suffit de décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche.
Pour diviser un nombre décimal par 1 000, il suffit de décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche. etc…
(on complétera par des zéros si nécessaire)
Exemples :
56÷10= 5,6 ; 14,4÷100= 0,144 ; 52÷1 000= 0,52
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