La division euclidienne et décimale : cours de maths en 6ème à imprimer en PDF.
Mis à jour le 14 juillet 2025
Nous terminerons cette leçon avec la résolution de problèmes à l’aide des divisions et la traduction mathématiques d’énoncés. Cette leçon reprend toutes les notions du programme officiel de l’éducation nationale et permet aux élèves de sixième d’assimiler le contenu de leur leçon sur la division euclidienne et décimale de deux nombres.
I. La division Euclidienne :
1. Définitions et vocabulaire.
Euclide d’Alexandrie [Egypte] né vers 325 av J.C et mort vers 265 av J.C.
Une division définit une situation de partage.
La quantité à partager est appelée dividende et le nombre de parts le diviseur.
La quantité par part est appelé le quotient.
La division est euclidienne lorsque le dividende, le diviseur et le quotient sont entiers.
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de zéro, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, tels que : 
avec reste < diviseur.
Exemple :
On dispose de 789 fleurs. On veut faire des bouquets contenant 12 fleurs.
Combien y-aura-t-il de fleurs par bouquet?Combien restera-t-il de fleurs ?
Il y aura 65 bouquets de 12 fleurs et il restera 9 fleurs.
Remarque :
L’égalité euclidienne qui traduit cette division est .
2. Multiples et diviseurs
Si le reste de la division euclidienne de a par b () est égal à zéro ,alors on dit que : a est un multiple de b ;
ou que : b est un diviseur de a ;
ou encore que : a est divisible par b.
La division euclidienne de 36 par 9 a pour reste 0.En effet : 36 = 4×9 + 0.
On dit que « 36 est un multiple de 9 », « 36 est divisible par 9″, » 9 est un diviseur de 36″.
Exemple :
Effectuons la division euclidienne de 1 944 par 36.
Le reste est nul donc 1 944 est un multiple de 36.
En effet, .
C’est à dire :
Donc : 1 944 est un multiple de 36 mais aussi de 54 ;
36 est un diviseur de 1 944 mais 54 est aussi un diviseur de 1 944 ;
1 944 est divisible par 36 mais aussi par 54.
3. Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
Un nombre entier est divisible par :
- 2 lorsqu’il se termine par 0,2 , 4, 6 ou 8.C’est un nombre pair;
- 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3;
- 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4;
- 5 lorsqu’il se termine par 0 ou 5;
- 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9;
- 10 lorsqu’il se termine par 0.
ExempleS :
- 240 est divisible par 2 car il se termine par 0 mais également par 5 et 10;
- 65 est divisible par 5 car il se termine par 5;
- 1 845 est divisible par 9 car 1+8+4+5=18 et 18 est un multiple de 9;
- 128 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4 en effet .
- 512 est divisible par 2 car il se termine par 2.
- 305 est divisible par 5 car il se termine par 5.
- 135 n’est pas divisible par 10 car il ne se termine pas par 0.
- 516 est divisible par 3 car 5+1+6=12 et 12 est un multiple de 3 (12=4×3+0).
- 936 est divisible par 9 car 9+3+6=18 et 18 est un multiple de 9 (18=9×2+0).
- 728 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4 (28=7×4+0).
II. La division décimale
Le quotient d’un nombre décimal par un nombre entier non nul est le nombre qui, multipliépar b, donne a. Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous
suivante : .
Effectuer la division décimale du nombre par le nombre , c’est calculer la valeur exacte (ou une
valeur approchée) de ce quotient.
Exemple 1 :
Calculer le quotient de par .
Exemple 2 :
Effectuer la division décimale de 9,2 par 4.
Le quotient de 9,2 par 4 est le nombre décimal 2,3.
Ainsi c’est à dire que .
Exemple 3 :
Effectuer la division décimale de 8 par 3.
Cette division ne se termine jamais.
Le quotient de 8 par 3 n’est pas un nombre décimal.
Dans ce cas, on peut donner une valeur approchée du quotient :
- ( au dixième près).
- ( au centième près).
III. Division par 10, 100, 1000,….
- Pour diviser un nombre décimal par 10, il suffit de décaler la virgule de 1 rang vers la gauche.
- Pour diviser un nombre décimal par 100, il suffit de décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche.
- Pour diviser un nombre décimal par 1 000, il suffit de décaler la virgule de 3 rangs vers la gauche. etc…
(on complétera par des zéros si nécessaire)
Exemples :
56÷10= 5,6 ; 14,4÷100= 0,144 ; 52÷1 000= 0,052.
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