Événement contraire
En bref : L’événement contraire de A, noté non A, est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas A ; sa probabilité vaut 1 moins celle de A.
3èmeProbabilités
Définition : Événement contraire
L’événement contraire d’un événement \(A\), noté \(\overline{A}\) (« non A »), regroupe toutes les issues de l’expérience qui n’appartiennent pas à \(A\). Quand l’un se réalise, l’autre ne se réalise pas, et il y en a toujours un des deux.
Comme les probabilités de tous les cas possibles s’additionnent pour faire \(1\), on a la relation \(p(\overline{A}) = 1 – p(A)\). Elle est précieuse quand l’événement demandé est compliqué mais que son contraire est simple, par exemple pour « obtenir au moins un six ».
Comment le reconnaître
- La question contient « ne … pas », « aucun », « perdre » ou « autre que ».
- L’énoncé demande « au moins un » : le contraire est « aucun », beaucoup plus simple à compter.
- On connaît la probabilité d’un événement et l’on veut celle de son opposé.
- Un événement contraire apparaît quand deux situations se partagent toutes les issues sans jamais se recouvrir.
La méthode
- Écrire précisément l’événement \(A\) et son contraire, en une phrase pour chacun.
- Calculer \(p(A)\) si elle n’est pas donnée, ou calculer directement \(p(\overline{A})\) si c’est le plus simple.
- Appliquer \(p(\overline{A}) = 1 – p(A)\), ou \(p(A) = 1 – p(\overline{A})\).
- Vérifier que le résultat est entre 0 et 1 et que les deux probabilités ont pour somme 1.
Événement contraire : exemple corrigé
Énoncé
Dans une tombola de 80 billets, 6 sont gagnants. Maël achète un seul billet. Calculer la probabilité qu’il ne gagne rien.
Corrigé
Soit \(A\) : « le billet est gagnant ». Les billets sont tirés au hasard, donc \(p(A) = \frac{6}{80} = 0{,}075\).
L’événement « ne rien gagner » est le contraire de \(A\). On obtient \(p(\overline{A}) = 1 – 0{,}075 = \) 0,925, soit \(\frac{37}{40}\) ou 92,5 %.
À toi de jouer
Question 1
La probabilité qu’un train arrive à l’heure est \(0{,}35\). Quelle est la probabilité qu’il soit en retard ?
Voir la réponse
\(1 – 0{,}35 = 0{,}65\).
Question 2
On lance un dé cubique équilibré. Quelle est la probabilité de « obtenir au moins 2 » ?
Voir la réponse
Le contraire est « obtenir 1 », de probabilité \(\frac{1}{6}\). Donc \(1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
Ne pas confondre Événement contraire et Événements incompatibles
Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps, mais ils laissent éventuellement d’autres issues possibles : sur un dé, « 1 » et « 2 » sont incompatibles. Un événement contraire et son opposé sont incompatibles et couvrent toutes les issues : leur somme vaut exactement 1.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 3ème · Probabilités
