Événements incompatibles
En bref : Des événements incompatibles ne peuvent pas se réaliser en même temps lors d’une même expérience : leur intersection est vide et la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités.
SecondeProbabilités
Définition : Événements incompatibles
Deux événements incompatibles \(A\) et \(B\) n’ont aucune issue en commun : dès que l’un se produit, l’autre est exclu. On écrit \(A\cap B=\emptyset\).
Cette absence d’issue partagée simplifie le calcul de la probabilité de « \(A\) ou \(B\) », car il n’y a rien à retrancher : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). Sinon, il faut soustraire \(P(A\cap B)\) pour ne pas compter deux fois les mêmes issues.
Comment le reconnaître
- Deux résultats ne peuvent pas arriver ensemble : un même tirage ne donne pas à la fois une boule rouge et une boule verte.
- L’énoncé précise qu’il n’y a aucune issue commune, ou que les deux cas s’excluent.
- Sur un diagramme de Venn, les deux zones dessinées ne se touchent pas.
La méthode
- Écrire la liste des issues qui réalisent chacun des deux événements.
- Chercher une issue présente dans les deux listes ; s’il n’y en a aucune, les événements incompatibles vérifient \(A\cap B=\emptyset\).
- Dans ce cas, additionner : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
- S’il existe au moins une issue commune, calculer \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Événements incompatibles : exemple corrigé
Énoncé
Une tombola vend \(40\) billets numérotés de \(1\) à \(40\). On tire un billet au hasard. \(A\) : « le numéro est un multiple de \(7\) » ; \(B\) : « le numéro est au moins \(36\) » ; \(C\) : « le numéro est pair ». Comparer \(A\) avec \(B\), puis \(A\) avec \(C\), et calculer chaque probabilité de réunion.
Corrigé
\(A=\{7\,;14\,;21\,;28\,;35\}\) et \(B=\{36\,;37\,;38\,;39\,;40\}\) n’ont aucun numéro commun : ce sont des événements incompatibles. Donc \(P(A\cup B)=\dfrac{5}{40}+\dfrac{5}{40}=\dfrac{10}{40}=\) \(0{,}25\).
Pour \(A\) et \(C\), les billets \(14\) et \(28\) sont à la fois multiples de \(7\) et pairs : l’intersection n’est pas vide. Comme \(P(C)=\dfrac{20}{40}\) et \(P(A\cap C)=\dfrac{2}{40}\), on obtient \(P(A\cup C)=\dfrac{5+20-2}{40}=\) \(\dfrac{23}{40}\).
À toi de jouer
Question 1
Deux événements incompatibles \(E\) et \(F\) vérifient \(P(E)=0{,}35\) et \(P(F)=0{,}45\). Que vaut \(P(E\cup F)\) ?
Voir la réponse
Sans issue commune, on additionne : \(0{,}35+0{,}45=0{,}8\).
Question 2
On sait que \(P(G)=0{,}5\), \(P(H)=0{,}4\) et \(P(G\cup H)=0{,}7\). \(G\) et \(H\) sont-ils incompatibles ?
Voir la réponse
Non : \(0{,}5+0{,}4=0{,}9\) dépasse \(0{,}7\), donc \(P(G\cap H)=0{,}9-0{,}7=0{,}2\), qui n’est pas nul.
Ne pas confondre Événements incompatibles et Événement contraire
Deux événements contraires sont toujours incompatibles, mais la réciproque est fausse. Les contraires partagent l’univers sans rien laisser de côté, leurs probabilités valent \(1\) en tout. Des incompatibles peuvent laisser des issues hors des deux : sur un dé, « obtenir \(1\) » et « obtenir \(6\) » s’excluent sans être contraires.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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