Intersection d’événements
En bref : L’intersection d’événements A et B, notée A ∩ B, est l’événement formé des issues qui réalisent A et B en même temps ; on la lit « A et B ».
SecondeProbabilités
Définition : Intersection d'événements
L’intersection d’événements \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\), regroupe les issues qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). Elle se réalise quand les deux événements se produisent au cours de la même expérience.
Dans un diagramme de Venn, c’est la zone où les deux disques se recouvrent. Lorsque cette zone est vide, les événements sont incompatibles. Sinon, elle intervient dans la formule générale de la réunion : \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), qui évite de compter deux fois les issues partagées.
Comment le reconnaître
- L’énoncé emploie « et » pour relier deux conditions qui doivent être remplies ensemble.
- Un effectif contient des personnes qui pratiquent deux activités à la fois.
- Le diagramme de Venn ou le tableau croisé comporte une case commune aux deux critères.
- On connaît \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A\cup B)\) et l’on cherche ce que les deux événements ont en commun.
La méthode
- Traduire l’énoncé en deux événements \(A\) et \(B\) et repérer le « et ».
- Lister ou compter les issues qui vérifient les deux conditions à la fois : c’est l’intersection d’événements.
- Calculer \(P(A\cap B)\) en divisant le nombre d’issues communes par le nombre total d’issues.
- Si l’on connaît la réunion, retrouver l’intersection par \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\).
Intersection d'événements : exemple corrigé
Énoncé
Un club compte \(150\) adhérents. \(62\) font de l’escalade (\(E\)), \(48\) font de la natation (\(N\)) et \(17\) pratiquent les deux. On interroge un adhérent au hasard. Calculer \(P(E\cap N)\), puis \(P(E\cup N)\).
Corrigé
L’événement « escalade et natation » est \(E\cap N\), qui compte \(17\) adhérents : \(P(E\cap N)=\dfrac{17}{150}\approx 0{,}113\).
Pour la réunion, on ajoute les deux effectifs puis on retire les \(17\) comptés deux fois : \(62+48-17=93\). Donc \(P(E\cup N)=\dfrac{93}{150}=0{,}62\). Il reste \(57\) adhérents qui ne font aucun des deux sports.
À toi de jouer
Question 1
On lance un dé à \(20\) faces. \(A\) : « multiple de \(3\) » ; \(B\) : « au moins \(13\) ». Calculer \(P(A\cap B)\).
Voir la réponse
Les multiples de \(3\) supérieurs ou égaux à \(13\) sont \(15\) et \(18\). Donc \(P(A\cap B)=\dfrac{2}{20}=0{,}1\).
Question 2
On sait que \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cup B)=0{,}8\). Que vaut \(P(A\cap B)\) ?
Voir la réponse
\(P(A\cap B)=0{,}6+0{,}5-0{,}8=0{,}3\).
Ne pas confondre Intersection d'événements et Réunion d'événements
L’intersection correspond au mot « et » : il faut remplir les deux conditions. La réunion correspond au mot « ou » : une seule suffit, ou les deux. L’intersection est toujours contenue dans la réunion, donc sa probabilité est toujours plus petite ou égale.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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