Réunion d’événements
En bref : La réunion d’événements A et B, notée A ∪ B, est l’événement réalisé dès qu’au moins l’un des deux se produit ; on la lit « A ou B », le ou étant inclusif.
SecondeProbabilités
Définition : Réunion d'événements
La réunion d’événements \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\), est formée de toutes les issues qui sont dans \(A\), dans \(B\), ou dans les deux. Le mot « ou » est inclusif : il n’interdit pas que les deux événements arrivent ensemble.
Pour calculer sa probabilité, il faut additionner \(P(A)\) et \(P(B)\) puis retirer ce qui a été compté deux fois, c’est-à-dire \(P(A\cap B)\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, il n’y a rien à retirer. Le contraire d’une réunion est l’événement « ni \(A\) ni \(B\) », dont la probabilité complète celle de la réunion à \(1\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé emploie « ou », « au moins l’un des deux » ou « l’un ou l’autre, voire les deux ».
- Un effectif est donné pour chaque groupe, avec une partie commune qui risque d’être comptée deux fois.
- Un diagramme de Venn montre deux disques sécants dont on doit colorier l’ensemble.
- On cherche la proportion de personnes qui font au moins une des deux choses.
La méthode
- Face à une réunion d’événements, définir \(A\) et \(B\) et repérer le « ou » de la question.
- Calculer \(P(A)\), \(P(B)\) puis \(P(A\cap B)\), la partie commune.
- Appliquer \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) pour ne compter qu’une fois les issues partagées.
- Si l’on veut « ni l’un ni l’autre », calculer \(1-P(A\cup B)\).
Réunion d'événements : exemple corrigé
Énoncé
Sur un marché de Lille, \(200\) clients sont interrogés. \(84\) ont acheté du fromage (\(F\)), \(96\) du pain (\(P\)), et \(31\) les deux. On choisit un client au hasard : quelle est la probabilité qu’il ait acheté au moins l’un des deux produits ? Et aucun des deux ?
Corrigé
Additionner \(84+96=180\) compterait deux fois les \(31\) clients qui ont acheté les deux. On les retire : \(180-31=149\) clients pour la réunion \(F\cup P\). Ainsi \(P(F\cup P)=\dfrac{149}{200}=0{,}745\).
Les autres n’ont rien acheté de tel : \(200-149=51\) clients, soit une probabilité de \(1-0{,}745=\) \(0{,}255\).
À toi de jouer
Question 1
Dans un dé à \(12\) faces, \(A\) est « pair » et \(B\) est « multiple de \(5\) ». Calculer \(P(A\cup B)\).
Voir la réponse
\(A\) a \(6\) issues, \(B=\{5\,;10\}\) en a \(2\), et \(10\) est commun. La réunion compte \(6+2-1=7\) issues : \(P(A\cup B)=\dfrac{7}{12}\).
Question 2
On sait que \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}45\) et \(P(A\cap B)=0{,}1\). Que vaut \(P(A\cup B)\) ?
Voir la réponse
\(0{,}3+0{,}45-0{,}1=0{,}65\).
Ne pas confondre Réunion d'événements et Intersection d'événements
La réunion répond au « ou » : une seule condition suffit, ce qui élargit l’événement. L’intersection répond au « et » : il faut remplir les deux, ce qui le rétrécit. La réunion contient toujours l’intersection, donc sa probabilité est la plus grande des deux.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Intersection d'événements
- Événements incompatibles
- Événement
- Probabilité
- Univers
- Événement contraire
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