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Probabilités : cours de maths en 2de

Les probabilités à travers un cours de maths en 2de à télécharger en PDF. L’élève devra savoir ce qu’est une expérience aléatoire, un événement et une issue. Développer des compétences en modélisant une expérience aléatoire et en sachant calculer une probabilité en seconde.

I. Probabilité sur un ensemble fini

1.Expérience aléatoire

Définition :

Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues ( ou résultats) possibles et que l’on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée.

On dit que l’ensemble E= \{x_1,x_2,x_3,....,x_n \} des issues possibles est l’univers de cette expérience aléatoire.

Exemple :

On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro porté par la face supérieure.

L’univers est E= \{1,2,3,4,5,6 \}, il possède 6 issues.

2.Modélisation d’un expérience aléatoire

Définition :

Modéliser une expérience aléatoire, c’est associer à chaque issue x_i, un nombre p_j appelé probabilité de x_i, tel que :

Pour tout nombre entier i avec 1\leq\, i \leq\, n, 0\leq\, p_i \leq\, 1 et p_1+p_2+p_3+...+p_n=1.

3.Modèle d’équiprobabilité

Définition et probabilité :

Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité p de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.

Si cette expérience aléatoire possède n issues alors p=\frac{1}{n}.

II. Probabilité d’un événement

1.Notion d’événement

Définition :

Un événement A est un sous ensemble ( ou une partie) de l’univers E d’une expérience aléatoire.

On note A\subset E.

événement

Vocabulaire :

  • Dire qu’une issue x_i de E  réalise l’événement A signifie que x_i est un élément de A.
  • On note x_i\in A et on lit x appartient à A.
  • Une partie \{ x_i \}  qui ne contient qu’une issue est appelée événement élémentaire.
  • L’ensemble vide \O est appelé événement impossible : aucune issue n’appartient à cet ensemble.
  • L’ensemble E de toutes les issues est appelé événement certain.

2.Probabilité d’un événement

Définition :

La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui réalisent A.

On la note P(A).

Exemple :

Un dé cubique est truqué de façon que chaque issue ait la probabilité indiquée ci-dessous.

L’événement A : « obtenir un numéro pair » est réalisé par les issues 2,4 et 6.

Donc P(A) =\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}.

tableau probabilités

Propriété :

Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est donné par la formule suivante ;

P(A)=\frac{nombre\,issues\,A}{nombre\,issues\,E}.

III. Calculs de probabilités

1.Intersection et réunion d’événements

A et B sont deux événements d’un univers E.

Définitions :

  • L’intersection de A et B est l’événement formé des issues qui réalisent à la fois l’événement A et l’événement B.
  • On le note A\cap B et on lit « A inter B ».
  • La réunion de A et B est l’événement formé des issues qui réalisent l’événement A ou l’événement B.
  • On le note A \cup B et on lit « A union B ».

union intersection

2.Une formule sur les probabilités

Propriété :

Pour tout événement A et B.

P(A \cap B)+P(A \cup B)=p(A)+P(B).

3.Les événements contraires

Définition :

L’événement contraire à A, noté \overline{A}, est formé des issues qui n’appartiennent pas à A.

événement contraires

Propriété :

Pour tout événement A, P(A)+P(\overline{A})=1.


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