Probabilités : cours de maths en 2de

Sommaire

I.Probabilité sur un ensemble fini

1.Expérience aléatoire

Définition :

Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues ( ou résultats) possibles et que l’on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée.

On dit que l’ensemble $E= \{x_1,x_2,x_3,....,x_n \}$ des issues possibles est l’univers de cette expérience aléatoire.

Exemple :

On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro porté par la face supérieure.

L’univers est $E= \{1,2,3,4,5,6 \}$ , il possède 6 issues.

2.Modélisation d’un expérience aléatoire

Définition :

Modéliser une expérience aléatoire, c’est associer à chaque issue $x_i$ , un nombre $p_j$ appelé probabilité de $x_i$ , tel que :

Pour tout nombre entier i avec $1\leq i \leq n$ , $0\leq p_i \leq 1$ et $p_1+p_2+p_3+...+p_n=1$ .

3.Modèle d’équiprobabilité

Définition et probabilité :

Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité p de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.

Si cette expérience aléatoire possède n issues alors $p=\frac{1}{n}$ .

II.Probabilité d’un événement

1.Notion d’événement

Définition :

Un événement A est un sous ensemble ( ou une partie) de l’univers E d’une expérience aléatoire.

On note $A\subset E$ .

Vocabulaire :

Dire qu’une issue $x_i$ de E réalise l’événement A signifie que $x_i$ est un élément de A.
On note $x_i\in A$ et on lit x appartient à A.
Une partie $\{ x_i \}$ qui ne contient qu’une issue est appelée événement élémentaire.
L’ensemble vide $\O$ est appelé événement impossible : aucune issue n’appartient à cet ensemble.
L’ensemble E de toutes les issues est appelé événement certain.

2.Probabilité d’un événement

Définition :

La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui réalisent A.

On la note P(A).

Exemple :

Un dé cubique est truqué de façon que chaque issue ait la probabilité indiquée ci-dessous.

L’événement A : « obtenir un numéro pair » est réalisé par les issues 2,4 et 6.

Donc $P(A) =\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$ .

Propriété :

Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est donné par la formule suivante ;

$P(A)=\frac{nombre\,issues\,A}{nombre\,issues\,E}$ .

III.Calculs de probabilités

1.Intersection et réunion d’événements

A et B sont deux événements d’un univers E.

Définitions :

L’intersection de A et B est l’événement formé des issues qui réalisent à la fois l’événement A et l’événement B.
On le note $A\cap B$ et on lit « A inter B ».
La réunion de A et B est l’événement formé des issues qui réalisent l’événement A ou l’événement B.
On le note $A \cup B$ et on lit « A union B ».

2.Une formule sur les probabilités

Propriété :

Pour tout événement A et B.

$P(A \cap B)+P(A \cup B)=p(A)+P(B)$ .

3.Les événements contraires

Définition :

L’événement contraire à A, noté $\overline{A}$ , est formé des issues qui n’appartiennent pas à A.

Propriété :

Pour tout événement A, $P(A)+P(\overline{A})=1$ .

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