cours seconde

Probabilités : cours de maths en 2de

I.Probabilité sur un ensemble fini

1.Expérience aléatoire

Définition :

Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues ( ou résultats) possibles et que l’on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée.

On dit que l’ensemble E= \{x_1,x_2,x_3,....,x_n \} des issues possibles est l’univers de cette expérience aléatoire.

Exemple :

On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro porté par la face supérieure.

L’univers est E= \{1,2,3,4,5,6 \}, il possède 6 issues.

2.Modélisation d’un expérience aléatoire

Définition :

Modéliser une expérience aléatoire, c’est associer à chaque issue x_i, un nombre p_j appelé probabilité de x_i, tel que :

Pour tout nombre entier i avec 1\leq\, i \leq\, n, 0\leq\, p_i \leq\, 1 et p_1+p_2+p_3+...+p_n=1.

3.Modèle d’équiprobabilité

Définition et probabilité :

Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité p de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.

Si cette expérience aléatoire possède n issues alors p=\frac{1}{n}.

II.Probabilité d’un événement

1.Notion d’événement

Définition :

Un événement A est un sous ensemble ( ou une partie) de l’univers E d’une expérience aléatoire.

On note A\subset E.

événement

Vocabulaire :

  • Dire qu’une issue x_i de E  réalise l’événement A signifie que x_i est un élément de A.
  • On note x_i\in A et on lit x appartient à A.
  • Une partie \{ x_i \}  qui ne contient qu’une issue est appelée événement élémentaire.
  • L’ensemble vide \O est appelé événement impossible : aucune issue n’appartient à cet ensemble.
  • L’ensemble E de toutes les issues est appelé événement certain.

2.Probabilité d’un événement

Définition :

La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui réalisent A.

On la note P(A).

Exemple :

Un dé cubique est truqué de façon que chaque issue ait la probabilité indiquée ci-dessous.

L’événement A : « obtenir un numéro pair » est réalisé par les issues 2,4 et 6.

Donc P(A) =\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}.

tableau probabilités

Propriété :

Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est donné par la formule suivante ;

P(A)=\frac{nombre\,issues\,A}{nombre\,issues\,E}.

III.Calculs de probabilités

1.Intersection et réunion d’événements

A et B sont deux événements d’un univers E.

Définitions :

  • L’intersection de A et B est l’événement formé des issues qui réalisent à la fois l’événement A et l’événement B.
  • On le note A\cap B et on lit « A inter B ».
  • La réunion de A et B est l’événement formé des issues qui réalisent l’événement A ou l’événement B.
  • On le note A \cup B et on lit « A union B ».

union intersection

2.Une formule sur les probabilités

Propriété :

Pour tout événement A et B.

P(A \cap B)+P(A \cup B)=p(A)+P(B).

3.Les événements contraires

Définition :

L’événement contraire à A, noté \overline{A}, est formé des issues qui n’appartiennent pas à A.

événement contraires

Propriété :

Pour tout événement A, P(A)+P(\overline{A})=1.


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