Trigonométrie : cours de maths en 2de à imprimer en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

📚Cours de MathématiquesSeconde • lycée

Trigonométrie

⏱️Temps de lecture : 5 min

🎯Difficulté : Avancé

📚Seconde générale

📋Prérequis : Brevet des collèges obtenu

📄Format PDF disponible gratuitement

La trigonométrie avec un cours de maths en 2de sur le cercle trigonométrique et les différentes formules à connaître en classe de seconde. L’élève devra connaître la définition du cercle trigonométrique ainsi que les différentes formules entre le cosinus et le sinus d’un angle. Développer des compétences en trigonométrie en connaissant par coeur les différentes formules de sa leçon en seconde.

I. Enroulement de la droite numérique

1.Le cercle trigonométrique

Définition :

Le cercle trigonométrique de centre O est celui qui a pour rayon 1 et qui est muni d’un sens direct qui est le sens contraire des aiguilles d’une montre.

Ce sens est appelé sens trigonométrique.

2.Enroulement de $\mathbb{R}$ sur un cercle trigonométrique.

Définition :

$\varphi$ est le cercle trigonométrique de centre O et (O,I,J) est un repère orthonormé .

A est le point de coordonnées (1,1) et d la droite (IA) munie du repère (I,A) .

On enroule cette droite, dite droite des réels, autour du cercle.

Tout nombre réel x de la droite vient s’appliquer sur un point P du cercle : on dit que M est le point image du nombre réel x.

3.Point image et nombres réels associés

Propriété :

Si et désignent des nombres réels tels que $x-x'=2k\pi$ où k est un entier relatif,

alors et ont le même point image sur ce cercle trigonométrique.

Conséquence :

Si M est le point d’un cercle trigonométrique, image d’un nombre réel , alors M est aussi

le point image des nombres réels $x+2k\pi$ où k est un entier relatif.

II. Cosinus et sinus d’un nombre réel

1.Cosinus et sinus

Définitions :

Soit (O,I,J) un repère orthonormé direct et $\varphi$ le cercle trigonométrique de centre O.

M est le point de $\varphi$ image du nombre réel x.

Le cosinus de x, noté $cos\,x$ , est l’abscisse de M.
Le sinus de x, noté , est l’ordonnée de M.

Propriétés :

Pour tout nombre réel x,

$-1\leq\,\,cos\,x\,\leq\,\,1$
$-1\leq\,\,sin\,x\,\leq\,\,1$
(théorème de Pythagore).

2.Lien entre le cosinus et le sinus d’un angle aigu vus au collège.

Propriété :

Avec les notations de la figure du paragraphe 1 (avec $0\leq\,\,x\,\leq\,\,\frac{\pi}{2}$ ), on peut écrire dans le triangle OHM rectangle en H :

$cos(IOM)=\frac{OH}{OM}=\frac{OH}{1}=OH=cosx$ ;
$sin(\widehat{IOM})=\frac{HM}{OM}=\frac{HM}{1}=HM=sinx$ .

3.Tableau des valeurs remarquables

Autre version de cette leçon

I. Les fonctions trigonométriques

Dans cette leçon, $(O,\vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormal de sens direct.

Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

Définition :

A tout réel $\alpha$ , on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ mesure $\alpha$ radian(s).

Le cosinus et le sinus de $\alpha$ sont donc les coordonnées de M dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

On a: $M(cos\alpha\,,sin\,\alpha\,)$ c’est à dire : $\vec{OM}=cos\alpha\,\vec{u}+sin\alpha\,\vec{\,v}$ .

2.Premières propriétés en trigonométrie .

Propriétés :

Si $\alpha$ =0 alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0

Si $\alpha\,=\frac{\pi}{2}$ , alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est B(0 ; 1).Donc $cos(\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(\frac{\pi}{2})=1$ .

Si $\alpha\,=\pi$ , alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc $cos(\,\pi\,)=-1$ et $sin(,\pi,)=0$ .

Si $\alpha\,=-\frac{\pi}{2}$ alors $\alpha$ est associé à B'(0 ;-1). Donc $cos(-\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ .

Si $\alpha$ est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels $\alpha$ et $\alpha\,+2k\pi$ sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:

$cos(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,cox(\,\alpha\,)$

$sin(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,sin(\,\alpha\,)$

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ , car T = $2\pi$ est le plus petit réel strictement positif tel que: cos ( $\alpha$ + T) = cos $\alpha$ et sin ( $\alpha$ + T) = sin $\alpha$ .

Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
$(sin\,\alpha\,)^2\,+\,(cos\,\alpha)^2\,=\,1$ que l’on écrit aussi sous la forme: $sin^2\,\alpha\,+\,cos^2\,\alpha\,=\,1$ .

3.Signe du sinus et du cosinus en trigonométrie

Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].

Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de $\alpha$ .

Propriétés :

On a :

Si $\alpha\,\in[0+2k\pi,\pi+\,2k\pi]$ alors $sin\alpha\,\geq\,\,0$ .
Si $\alpha\,\in[-\frac{\pi}{2}+2k\pi\,\frac{\pi}{2}+\,2k\pi]$ alors $cos\alpha\,\geq\,\,0$ .

II. Cosinus et sinus d’angles remarquables en trigonométrie

Tous ces résultats à connaître parfaitement sont résumés dans le tableau ci-dessous:

III. Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

C’est un outil indispensable, qu’il est utile de bien visualiser afin d’être capable de retrouver rapidement les valeurs indiquées ci-dessous.

IV. Formules usuelles concernant les angles associés.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

$cos(-x)\,=\,cos(x)$ et $sin(-x)\,=\,-sin(x)$ .

La fonction cosinus est donc paire et la fonction sinus est impaire.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ – x) = – cos(x) et sin( $\pi$ – x) = sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ + x) = – cos(x) et sin( $\pi$ + x) = – sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = – sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = cos(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = cos(x).

V. Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus en trigonométrie

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I. Enroulement de la droite numérique

1.Le cercle trigonométrique

2.Enroulement de <img decoding="async" class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}" alt="\mathbb{R}" /> sur un cercle trigonométrique.

3.Point image et nombres réels associés

II. Cosinus et sinus d’un nombre réel

1.Cosinus et sinus

2.Lien entre le cosinus et le sinus d’un angle aigu vus au collège.

3.Tableau des valeurs remarquables

I. Les fonctions trigonométriques

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

2.Premières propriétés en trigonométrie .

3.Signe du sinus et du cosinus en trigonométrie

II. Cosinus et sinus d’angles remarquables en trigonométrie

III. Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

IV. Formules usuelles concernant les angles associés.

V. Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus en trigonométrie

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2.Enroulement de $\mathbb{R}$ sur un cercle trigonométrique.