La trigonométrie avec un cours de maths en 2de sur le cercle trigonométrique et les différentes formules à connaître en classe de seconde. L’élève devra connaître la définition du cercle trigonométrique ainsi que les différentes formules entre le cosinus et le sinus d’un angle. Développer des compétences en trigonométrie en connaissant par coeur les différentes formules de sa leçon en seconde.
I. Enroulement de la droite numérique
1.Le cercle trigonométrique
Définition :
Le cercle trigonométrique de centre O est celui qui a pour rayon 1 et qui est muni d’un sens direct qui est le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Ce sens est appelé sens trigonométrique.
2.Enroulement de
sur un cercle trigonométrique.
Définition :
est le cercle trigonométrique de centre O et (O,I,J) est un repère orthonormé .
A est le point de coordonnées (1,1) et d la droite (IA) munie du repère (I,A) .
On enroule cette droite, dite droite des réels, autour du cercle.
Tout nombre réel x de la droite vient s’appliquer sur un point P du cercle : on dit que M est le point image du nombre réel x.
3.Point image et nombres réels associés
Propriété :
Si
et
désignent des nombres réels tels que
où k est un entier relatif,
alors
et
ont le même point image sur ce cercle trigonométrique.
Conséquence :
Si M est le point d’un cercle trigonométrique, image d’un nombre réel
, alors M est aussi
le point image des nombres réels
où k est un entier relatif.
II. Cosinus et sinus d’un nombre réel
1.Cosinus et sinus
Définitions :
Soit (O,I,J) un repère orthonormé direct et
le cercle trigonométrique de centre O.
M est le point de
image du nombre réel x.
Le cosinus de x, noté
, est l’abscisse de M.
Le sinus de x, noté
, est l’ordonnée de M.
Propriétés :
Pour tout nombre réel x,
(théorème de Pythagore).
2.Lien entre le cosinus et le sinus d’un angle aigu vus au collège.
Propriété :
Avec les notations de la figure du paragraphe 1 (avec
), on peut écrire dans le triangle OHM rectangle en H :
;
.
3.Tableau des valeurs remarquables
III. Les fonctions trigonométriques
Dans cette leçon,
est un repère orthonormal de sens direct.
Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.
Définition :
A tout réel
, on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté
mesure
radian(s).Le cosinus et le sinus de
sont donc les coordonnées de M dans le repère
.
On a:
c’est à dire :
.
2.Premières propriétés en trigonométrie .
Propriétés :
Si
=0 alors le point du cercle trigonométrique associé à
est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0
Si
, alors le point du cercle trigonométrique associé à
est B(0 ; 1).Donc
et
.
Si
, alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc
et
.
Si
alors
est associé à B'(0 ;-1). Donc
et
.
Si
est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels
et
sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période
, car T =
est le plus petit réel strictement positif tel que: cos (
+ T) = cos
et sin (
+ T) = sin
.
Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
que l’on écrit aussi sous la forme:
.
3.Signe du sinus et du cosinus en trigonométrie
Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].
Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de
.
Propriétés :
On a :
Si
alors
.
Si
alors
.
IV. Cosinus et sinus d’angles remarquables en trigonométrie
Tous ces résultats à connaître parfaitement sont résumés dans le tableau ci-dessous:
V. Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.
C’est un outil indispensable, qu’il est utile de bien visualiser afin d’être capable de retrouver rapidement les valeurs indiquées ci-dessous.
VI. Formules usuelles concernant les angles associés.
Propriétés :
Pour tout réel x, on a:
et
.
La fonction cosinus est donc paire et la fonction sinus est impaire.
Propriétés :
Pour tout réel x, on a:cos(
– x) = – cos(x) et sin(
– x) = sin(x).
Propriétés :
Pour tout réel x, on a:cos(
+ x) = – cos(x) et sin(
+ x) = – sin(x).
Propriétés :
Pour tout réel x, on a:cos(
) = – sin(x) et sin(
) = cos(x).
Propriétés :
Pour tout réel x, on a:cos(
) = sin(x) et sin(
) = cos(x).
VII. Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus en trigonométrie
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