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Développer des compétences sur les variations d’une fonction à travers des situations similaires à celles de votre manuel scolaire.
I. Comportement d’une fonction définie par sa courbe représentative
Dans un plan muni d’un repère orthonormé, on considère une fonction f définie sur l’intervalle [-2;5].
Sur l’intervalle [-2;1], les images sont décroissantes, on dit que la fonction f est décroissante sur [-2;1].
Sur l’intervalle [1;5], les images sont croissantes, on dit que la fonction f est croissante sur [1;5].
Les variations de la fonction f peuvent être synthétisée dans un tableau de variation :
Remarque :
Si une fonction f est constante sur un intervalle [a;b] alors la flèche, dans le tableau de variation, sera horizontale.
II.Tracer la courbe d’une fonction à partir de son tableau de variation
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [-4,2] et son tableau de variation ci-dessous :
En exploitant ce tableau de variation, nous pouvons en déduire que :
- f est décroissante sur l’intervalle [-4;-1];
- f est croissante sur l’intervalle [-1;0];
- f est décroissante sur l’intervalle [0;2];
La courbe passe également par les points suivants : A(-4;-1) ; B(-1;-2); C(0;1); D(2;-3).
Cependant, nous disposons pas suffisamment d’informations pour tracer de manière très précise la courbe de cette fonction f mais nous pouvons obtenir un tracé et une allure très proche de la courbe de cette fonction.
Voici deux courbes représentatives possibles pour cette fonction f :
III.Exploitation des variations d’une fonction
1.Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.f est strictement croissante sur I équivaut à dire que pour tout a,b de I :
Si 
alors .
f est strictement décroissante sur I équivaut à dire que pour tout a,b de I :
Si alors .
Propriété :
On considère l’intervalle [A;B] avec a et b deux nombres réels tels que a<b.
- Si f est une fonction croissante sur [a;b] alors pour tout , .
- Si f est une fonction décroissante sur [a;b] alors pour tout , .
2.Notion d’extremum
Définition :
On considère une fonction f définie sur un intervalle I.Soient , tels que a<b et deux points de la courbe tels que A(a;f(a)) et B(b,f(b)) avec M=f(a) et m=f(b).
- M est le maximum de la fonction f sur I si et seulement pour tout , .
- m est le minimum de la fonction f sur I si et seulement pour tout , .
Exemple :
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [-5;3].
En exploitant ce tableau de variation, nous pouvons en déduire que :
- f est croissante sur l’intervalle [- 5 ; – 2];
- f est décroissante sur l’intervalle [- 2 ; 0,5];
- f est croissante sur l’intervalle [0,5 ; 2];
- f est décroissante sur l’intervalle [2 ; 3];
- 4 est le maximum de f sur [- 5 ; 3] et il est atteint en x = – 2;
- – 1 est le minimum de f sur [- 5 ; 3] et il est atteint en x = 0,5;
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