Résolution graphique d’équations et inéquations : exercices de maths en 2de corrigés à télécharger en PDF

\(f\) est la fonction définie sur \([-4\,;2]\) par la courbe ci-contre. Résoudre graphiquement les inéquations :

1. \(f(x) \geqslant 1\)
2. \(f(x) \gt 0\)
3. \(f(x) \leqslant -1\)

Dans un repère, \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) sont les courbes représentatives de fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([-3\,;3]\). Résoudre graphiquement les inéquations :

1. \(f(x) \geqslant g(x)\)
2. \(f(x) \gt g(x)\)
3. \(f(x) \leqslant g(x)\)

\(ABCD\) est un carré de côté \(x\) (avec \(x \geqslant 0\)). \(AEFG\) est le carré obtenu en augmentant de 1 chaque côté de \(ABCD\).

On note \(\mathscr{A}(x)\) et \(\mathscr{B}(x)\) les aires respectives du carré \(ABCD\) et du polygone \(BCDGFE\).

1. Montrer que pour tout \(x \geqslant 0\), \(\mathscr{B}(x) = 2x + 1\).
2. À l^{\prime}écran de la calculatrice, afficher les courbes représentatives des fonctions \(\mathscr{A}\) et \(\mathscr{B}\).
3. Vérifier l^{\prime}affichage obtenu avec un logiciel de calcul formel.

1. Déduire des question b) et c) les solutions de l^{\prime}inéquation \(\mathscr{A}(x) \geqslant \mathscr{B}(x)\).

\(f\) est la fonction qui à chaque nombre associe son opposé.

1. Déterminer l’image par \(f\) de : • \(-3\) • \(\sqrt{2}\)
2. Déterminer l^{\prime}antécédent de 0,6 par \(f\).
3. Existe-t-il un nombre égal à son image par \(f\) ?

\(f\) et \(g\) sont des fonctions définies par les courbes \(\mathscr{C}_f\) et \(\mathscr{C}_g\) ci-dessous.

1. Lire les ensembles de définition de \(f\) et \(g\).

2. Linda affirme : « \(g(1) \gt f(1)\) ». A-t-elle raison ? Expliquer.

La courbe ci-dessous définit une fonction \(f\).

1. Lire graphiquement l’image de 2 par \(f\).
2. Lire graphiquement \(f(4)\).
3. Lire graphiquement les antécédents de 2 par \(f\).
4. Reformuler les consignes b) et c) avec une phrase comportant le mot « image ».

On considère un carré de côté 6 cm. On augmente de \(x\) cm la longueur de ses côtés.

On note \(A(x)\) l’aire, en \(\text{cm}^2\), et \(P(x)\) le périmètre, en cm, du carré obtenu.

1. Donner l^{\prime}ensemble de définition des fonctions A et P.
2. Exprimer \(A(x)\) et \(P(x)\) en fonction de \(x\).
3. Calculer \(P(x)\) lorsque \(A(x) = 51{,}84\).
4. Calculer \(A(x)\) lorsque \(P(x) = 32{,}8\).

Voici un tableau de valeurs d’une fonction \(f\) obtenu avec le tableur.

1. Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles peuvent convenir pour \(f(x)\) ? • \(x - 1\) • \((x-1)^2\) • \((x-1)^3\)
2. On sait de plus que \(f(-1) = -8\). Des expressions précédentes, quelle est celle de \(f(x)\) ?
3. Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?

Traduire chaque information par l’appartenance de \(x\) à un intervalle. Représenter cet intervalle sur une droite graduée.

1. \(3 \leqslant x \leqslant 7\)
2. \(-3 \leqslant x \lt 5\)
3. \(x \lt 5\)
4. \(x \geqslant 0\)
5. \(-2 \lt x \leqslant 1\)
6. \(x \leqslant -4\)

Traduire chacune des informations par des inégalités.

1. \(x \in [-3\,;4]\)
2. \(x \in ]0\,;4[\)
3. \(x \in [1\,;100[\)
4. \(x \in ]-\infty\,;10[\)
5. \(x \in [5\,;+\infty[\)
6. \(x \in ]-\infty\,;0]\)

\(V\) est la fonction définie par le tableau suivant :

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(V\).
2. Lire l’image de 3 par \(V\).
3. Lire \(V(7)\).
4. Lire les antécédents de 7 par \(V\).

Voici la courbe représentative d’une fonction \(f\) définie sur \([0\,;7]\). Estimer les solutions des équations suivantes.

1. \(f(x) = 2\)
2. \(f(x) = 0\)
3. \(f(x) = -1\)
4. \(f(x) = 1\)

Voici la courbe représentative d’une fonction \(g\) définie sur \([-5\,;5]\). Estimer les solutions des équations.

1. \(g(x) = 2\)
2. \(g(x) = -3\)
3. \(g(x) = 4\)
4. \(g(x) = -1\)

Voici la courbe représentative d’une fonction \(k\) définie sur \([-3\,;4]\). Estimer les solutions des équations et inéquations suivantes.

1. \(k(x) = 1\)
2. \(k(x) = 0\)
3. \(k(x) \gt -1\)
4. \(k(x) \lt 0\)
5. \(k(x) \geqslant -2\)
6. \(k(x) \geqslant 2\)

Voici la courbe représentative d’une fonction \(h\) définie sur \([-5\,;5]\). Estimer les solutions des inéquations suivantes.

1. \(h(x) \geqslant 0\)
2. \(h(x) \lt -4\)
3. \(h(x) \lt -2\)
4. \(h(x) \gt 2\)

Voici les courbes représentatives d’une fonction \(f\) et d’une fonction \(g\) définies sur \([-2\,;3]\). Résoudre graphiquement les équations et inéquations.

1. \(g(x) = f(x)\)
2. \(g(x) \leqslant f(x)\)
3. \(f(x) \lt -3\)
4. \(g(x) \lt 2\)
5. \(f(x) \geqslant -2\)

Voici les courbes représentatives de deux fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([-4\,;3]\). Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes.

1. \(f(x) = 8\)
2. \(f(x) \lt 0\)
3. \(f(x) = g(x)\)
4. \(f(x) \leqslant g(x)\)

Pour chacune des courbes ci-dessous, dire si elle semble être la courbe représentative d’une fonction paire, d’une fonction impaire ou d’une fonction qui n’est ni paire ni impaire.

a)

b)

c)

d)

On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration \(C\) d’un médicament dans le sang d’un patient. La fonction \(C\) est représentée ci-dessous.

1. Quelle est la concentration du médicament dans le sang au bout de 2 h ?
   a) environ 0,5 b) environ 1
   c) environ 1,5 d) environ 0,9
2. Laquelle (lesquelles) de(s) (in)équations suivantes a pour solution l’intervalle de temps où la concentration du médicament est au plus égale à 1 ?
   a) \(C(t) \gt 1\) b) \(C(t) = 1\)
   c) \(C(t) \lt 1\) d) \(C(t) \leqslant 1\)
3. Au bout de combien de temps la concentration dans le sang est-elle de 0,5 mg/L ?
   a) \(\approx 40\) min b) \(\approx 2\) h 20 min c) \(\approx 0{,}667\) h
4. Ce médicament est jugé efficace quand la concentration dans le sang dépasse 0,75 mg/L. Quelle est donc sa période d’efficacité ? (Arrondir grossièrement.)
   a) jusqu’à 2 h b) jusqu’à 4 h
   c) dès 45 min d) entre 0,75 et 2,2 h
5. Au bout de combien de temps le médicament est-il le plus concentré ?
   a) \(\approx 1\) h b) \(\approx 1\) h 30 min
   c) \(\approx 1\) h 50 min d) \(\approx 6\) h
6. Quelle est alors la concentration du médicament dans le sang en mg/L ?
   a) \(\approx 1\) b) \(\approx 1{,}2\)
   c) \(\approx 1{,}25\) d) \(\approx 5{,}8\)

Une fonction \(f\) a les propriétés suivantes :

• elle est définie sur \([0\,;\,8]\) ;
• l’équation \(f(x) = 3\) a deux solutions : 1 et 3 ;
• l’image de 0 est 1 ;
• l’inéquation \(f(x) \leqslant 0\) a pour ensemble de solution \([5\,;\,7]\).

Tracer dans un repère une courbe possible pour la fonction \(f\).

1. Trouver les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes d’équations \(y = 2x^2 + 2x + 6\) et \(y = 2x^2 - 3x + 7\).
2. Même question pour les courbes d’équations \(y = \dfrac{1}{x}\) et \(y = \dfrac{2 + 3x}{x}\).

On considère les courbes représentatives de la fonction carré, notée \(f\), et de la fonction affine \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x + 6\). Elles sont tracées dans le repère ci-dessous.

1. Repérer les courbes associées aux deux fonctions.
2. Résoudre graphiquement l^{\prime}équation \(x^2 = x + 6\).
3. a) Développer l^{\prime}expression \((x - 3)(x + 2)\).
   b) Retrouver algébriquement les résultats obtenus à la question 2.

On considère les courbes représentatives de la fonction inverse, notée \(f\), et de la fonction affine \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 2x + 1\). Elles sont tracées dans le repère ci-contre.

1. Repérer les courbes associées aux deux fonctions.
2. Résoudre graphiquement l^{\prime}équation \(\dfrac{1}{x} = 2x + 1\).
3. a) Développer l’expression \((2x - 1)(x + 1)\).
   b) Retrouver algébriquement les résultats obtenus à la question 2.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \([-2\,;\,5]\) par \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2x - 1\).

1. Estimer graphiquement les deux solutions de l’équation \(f(x) = 1\).
2. Voici un tableau de valeurs de la fonction \(f\).
   

   \(x\)	\(4{,}5\)	\(4{,}6\)	\(4{,}7\)	\(4{,}8\)	\(4{,}9\)	\(5{,}0\)
   \(f(x)\)	\(0{,}125\)	\(0{,}38\)	\(0{,}645\)	\(0{,}92\)	\(1{,}205\)	\(1{,}5\)

   a) Donner un encadrement d’une des solutions de l’équation \(f(x) = 1\).
   b) Quelle est la précision de cette approximation ?

3. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement au dixième près, puis au centième près de l’autre solution.

Préciser si la courbe dessinée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction et si oui en donner son ensemble de définition.

Préciser si la courbe dessinée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction et si oui en donner son ensemble de définition.

Préciser si la courbe dessinée ci-contre est la représentation graphique d’une fonction et si oui en donner son ensemble de définition.

Le plan étant rapporté à un repère orthogonal, la courbe \(\mathcal{C}\) ci-dessous est la représentation graphique d^{\prime}une fonction \(f\).

1. Déterminer l^{\prime}ensemble D de définition de \(f\).
2. Déterminer les points de \(\mathcal{C}\) ayant une ordonnée nulle.
3. Déterminer le point de \(\mathcal{C}\) ayant une abscisse nulle.
4. Déterminer le signe de \(f(x)\) selon les valeurs du réel \(x\) dans D.

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions affines définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x - 3\) et \(g(x) = -\dfrac{1}{2}x + 6\).

1. Sur quel intervalle a-t-on \(f(x) \lt g(x)\) ?
2. Quelles sont les coordonnées du point A d^{\prime}intersection des courbes représentatives de \(f\) et \(g\) ?
3. Le point A est-il au-dessus de la courbe d^{\prime}équation \(y = 4\) ?
4. Pour quelles valeurs de l^{\prime}entier relatif \(k\) le point A est-il au-dessus de la droite d^{\prime}équation \(y = k\) ?

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les représentations graphiques des fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies toutes les trois sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 6\) et \(h(x) = 2\).

1. Résoudre graphiquement les inéquations \(f(x) \leqslant g(x)\) et \(f(x) \geqslant h(x)\).
2. Résoudre graphiquement la double inéquation \(h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)\).

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, représenter en s’aidant de la calculatrice les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 2\) et \(g(x) = 5\).

1. Déterminer graphiquement l^{\prime}ensemble des solutions de l^{\prime}inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\).
2. Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation \(0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)\).

1. À l’aide de la calculatrice, construire dans un repère orthonormé \(\left(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)\), la représentation graphique de la fonction \(f\) définie sur \([-2\,;\,4]\) par \(f(x) = (x - 1)^2\).
2. Dans le même repère, construire la représentation graphique de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}\).
3. Résoudre graphiquement dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\).
4. Montrer que pour tout réel \(x\), \[ x^2 - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2} = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 3) \]
5. En déduire, grâce à un tableau de signes, les solutions dans \(\mathbb{R}\) de l^{\prime}inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-3\,;\,3]\) par \(f(x) = x^2\).

1. Représenter graphiquement la fonction \(f\) dans le plan muni d’un repère orthonormé \(\left(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)\).
2. Déterminer des entiers relatifs \(p\) et \(q\) tels que les solutions de \(x + q \leqslant f(x) \leqslant x + p\) soient les réels de l’intervalle \([-2\,;\,3]\).

Soient \(f\) la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^{*}\), \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x + p\) où \(p\) est un nombre réel.

Quelle est la plus petite valeur de \(p\) pour que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(f(x) \leqslant g(x)\) contienne le réel 5 ?

1. À l’aide de la calculatrice, construire dans un repère orthonormé \(\left(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)\) la représentation graphique de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + 2\).
2. Tracer dans le même repère les représentations graphiques des fonctions \(g\) et \(k\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 1\) et \(k(x) = \dfrac{9}{2}\).
3. Déterminer graphiquement les valeurs approchées des solutions des équations \(f(x) = g(x)\) et \(f(x) = k(x)\).
4. Montrer que pour tout réel \(x\), \(f(x) = \dfrac{1}{2}(x - 2)^2\).
5. Retrouver par le calcul les valeurs exactes des solutions des équations \(f(x) = g(x)\) et \(f(x) = k(x)\).
6. Déterminer dans \(\mathbb{R}\) les solutions de la double inéquation \(g(x) \leqslant f(x) \leqslant k(x)\).

À l’aide de la calculatrice, construire dans un repère orthonormé \(\left(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)\) la représentation graphique de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 1)^2 - 4\).

1. Déterminer graphiquement sur \(\mathbb{R}\) les solutions de la double inéquation \(-3 \leqslant f(x) \leqslant 0\).
2. Retrouver par le calcul les solutions précédentes.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x) = -2|x + 1| + 3|x - 1| + 2x. \]

1. À l^{\prime}aide de la calculatrice, construire la représentation graphique de \(f\) sur l^{\prime}intervalle \([-10\,;\,10]\).
2. Pour tout réel \(\lambda\), résoudre graphiquement l’équation \(f(x) = \lambda\).