Résoudre des équations et inéquations : cours de maths en 2de en PDF

Sommaire

I.Résoudre des équations :

Définition :

On considère deux expressions algébriques A(x) et B(x) dépendantes de la variable x qui prendses valeurs dans un ensemble E.

Résoudre dans E l’équation A(x)=B(x) d’inconnue x, c’est déterminer l’ensemble des nombres x

dans E tels que l’égalité A(x)=B(x) soit vraie.

Cet ensemble est appelé l’ensemble solution de l’équation dans E.

A(x) est appelé le premier membre de l’équation et B(x) est appelé le second membre.

Définition :

Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble solution.

Exemple :

Considérons l’équation suivante :

$2x+1=3+x\\\Leftrightarrow 2x+1-x=3+x-x\\\Leftrightarrow x+1 =3 \\\Leftrightarrow x+1-1 =3 -1\\\Leftrightarrow x =2$

L’ensemble solution dans $\mathbb{R}$ de cette équation est S={2}.

Propriété : équation-produit.

Un produit de facteur est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul. $A_1(x)\times A_2(x)\times A_3(x)\times .....A_n(x)=0$

$\Leftrightarrow A_1(x)=0$ ou $A_2(x)=0$ ou $A_3(x)=0$ ou ……. ou $A_n(x)=0$ .

Exemple :

Résoudre l’équation-produit suivantes :

$x(x+1)(2x-3)=0$ équivaut à $x=0$ ou $x=-1$ ou $x=\frac{3}{2}$ .

Propriété :

On considère des expressions algébriques A(x), B(x), C(x) et D(x) dépendantes de la variable $x$ avec $B(x)\neq0$ et $D(x)\neq0$ .Nous avons :

$\frac{A(x)}{B(x)}=0\Leftrightarrow A(x)=0$

$\frac{A(x)}{B(x)}=C(x)\Leftrightarrow A(x)=B(x)\times C(x)$

$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}\Leftrightarrow A(x)\times D(x)=B(x)\times C(x)$

Exemple :

Résoudre l’équation suivante

$\frac{2x-3}{7}=\frac{5}{2}$

$2(2x-3)=7\times 5\\4x-6=35\\4x=35+6\\4x=41\\x=\frac{41}{4}$

II.Résoudre des inéquations :

Définition :

On considère deux expressions algébriques A(x) et B(x) dépendantes de la variable x qui prendses valeurs dans un ensemble E.

Résoudre dans E l’inéquation A(x)<B(x) d’inconnue x, c’est déterminer l’ensemble des nombres x

dans E tels que l’inégalité A(x)<B(x) soit vraie.

Cet ensemble est appelé l’ensemble solution de l’inéquation dans E.

A(x) est appelé le premier membre de l’inéquation et B(x) est appelé le second membre.

Propriété :

Nous obtenons des inéquations équivalentes lorsque :On additionne un même nombre réels aux deux membres de l’inéquation;

On multiplie (ou divise) chaque membre de l’inéquation par un même nombre réel strictement positif;

On multiplie(ou divise), chaque membre de l’inéquation, par un même nombre réel strictement négatif et en changeant le sens de l’inégalité.

Exemple :

Pour tout nombre x :

$3x+1<2\Leftrightarrow 3x+1-1<2-1\Leftrightarrow 3x <1\Leftrightarrow \frac{3x}{3} <\frac{1}{3}\Leftrightarrow x<\frac{1}{3}$ .

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