cours seconde

Coordonnées et repérage dans le plan : cours de maths en 2de au programme de seconde

1.Définition et vocabulaire

On considère que le plan est muni d’un repère (O,\vec{i},\vec{j}).

Définition :

Soit \vec{u} un vecteur du plan.On considère le point M(a,b) tel que \vec{u}=\vec{OM}.

Les coordonnées du vecteur \vec{u} sont celles du point M, nous avons \vec{u}\binom\,{a}{b}.

Nous avons \vec{u}=\vec{OM}=a\vec{i}+b\vec{j}.

Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

2.Coordonnées et opérations sur les vecteurs

Propriété :

Soient deux vecteurs \vec{u}\binom\,{a}{b} et \vec{v}\binom\,{x}{y} et k un nombre réel.Les coordonnées du vecteur :

-\vec{u} sont -\vec{u}\binom\,{-a}{-b};

k\vec{u} sont k\vec{u}\binom\,{ka}{kb};

\vec{u}+\vec{v} sont \vec{u}+\vec{v}\binom\,{a+x}{b+y};

\vec{u}-\vec{v} sont \vec{u}-\vec{v}\binom\,{a-x}{b-y}.

3.Coordonnées de points et longueur

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que A\binom\,{x_A}{y_A} et B\binom\,{x_B}{y_B}.Le vecteur \vec{AB} a pour coordonnées \vec{AB}\binom\,{x_B-x_A}{y_B-y_A}.

coordonnées vecteur AB

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que A\binom\,{x_A}{y_A} et B\binom\,{x_B}{y_B}.Soit I le milieu du segment [AB].

Le point I a pour coordonnées \vec{AB}(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}).

Exemple :

Soit A\binom\,{1}{2} et B\binom\,{4}{4}.

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I (\frac{1+4}{2},\frac{2+4}{2}), soit I (\frac{5}{2},3).

coordonnées milieu segment

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que A\binom\,{x_A}{y_A} et B\binom\,{x_B}{y_B}.La longueur AB vaut AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} (théorème de Pythagore).

Exemple :

Soit A\binom\,{1}{2} et B\binom\,{4}{4}.

La longueur du segment [AB] est :

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

AB=\sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2}

AB=\sqrt{3^2+2^2}

AB=\sqrt{9+4}

AB=\sqrt{13}

coordonnées milieu segment


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