cours seconde

Mise à jour le 17 décembre 2019 | cours 2de  

Coordonnées et repérage dans le plan : cours de maths en 2de au programme de seconde

1.Définition et vocabulaire

On considère que le plan est muni d’un repère (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Définition :

Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan.On considère le point M(a,b) tel que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}.

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} sont celles du point M, nous avons \overrightarrow{u}\binom{a}{b}.

Nous avons \overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}.

Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

2.Coordonnées et opérations sur les vecteurs

Propriété :

Soient deux vecteurs \overrightarrow{u}\binom{a}{b} et \overrightarrow{v}\binom{x}{y} et k un nombre réel.Les coordonnées du vecteur :

-\overrightarrow{u} sont -\overrightarrow{u}\binom{-a}{-b};

k\overrightarrow{u} sont k\overrightarrow{u}\binom{ka}{kb};

\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} sont \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\binom{a+x}{b+y};

\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} sont \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\binom{a-x}{b-y}.

3.Coordonnées de points et longueur

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que A\binom{x_A}{y_A} et B\binom{x_B}{y_B}.Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}.

coordonnées vecteur AB

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que A\binom{x_A}{y_A} et B\binom{x_B}{y_B}.Soit I le milieu du segment [AB].

Le point I a pour coordonnées \overrightarrow{AB}(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}).

Exemple :

Soit A\binom{1}{2} et B\binom{4}{4}.

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées I (\frac{1+4}{2},\frac{2+4}{2}), soit I (\frac{5}{2},3).

coordonnées milieu segment

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que A\binom{x_A}{y_A} et B\binom{x_B}{y_B}.La longueur AB vaut AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} (théorème de Pythagore).

Exemple :

Soit A\binom{1}{2} et B\binom{4}{4}.

La longueur du segment [AB] est :

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

AB=\sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2}

AB=\sqrt{3^2+2^2}

AB=\sqrt{9+4}

AB=\sqrt{13}

coordonnées milieu segment

 


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