Coordonnées et repérage dans le plan : cours de maths en 2de au programme de seconde

Sommaire

1.Définition et vocabulaire

On considère que le plan est muni d’un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

Définition :

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan.On considère le point M(a,b) tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}$ .

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ sont celles du point M, nous avons $\overrightarrow{u}\binom{a}{b}$ .

Nous avons $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$ .

Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

2.Coordonnées et opérations sur les vecteurs

Propriété :

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}\binom{a}{b}$ et $\overrightarrow{v}\binom{x}{y}$ et k un nombre réel.Les coordonnées du vecteur :

$-\overrightarrow{u}$ sont $-\overrightarrow{u}\binom{-a}{-b}$ ;

$k\overrightarrow{u}$ sont $k\overrightarrow{u}\binom{ka}{kb}$ ;

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ sont $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\binom{a+x}{b+y}$ ;

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ sont $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\binom{a-x}{b-y}$ .

3.Coordonnées de points et longueur

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que $A\binom{x_A}{y_A}$ et $B\binom{x_B}{y_B}$ .Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$ .

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que $A\binom{x_A}{y_A}$ et $B\binom{x_B}{y_B}$ .Soit I le milieu du segment [AB].

Le point I a pour coordonnées $\overrightarrow{AB}(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$ .

Exemple :

Soit $A\binom{1}{2}$ et $B\binom{4}{4}$ .

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées $I (\frac{1+4}{2},\frac{2+4}{2})$ , soit $I (\frac{5}{2},3)$ .

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que $A\binom{x_A}{y_A}$ et $B\binom{x_B}{y_B}$ .La longueur AB vaut $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ (théorème de Pythagore).

Exemple :

Soit $A\binom{1}{2}$ et $B\binom{4}{4}$ .

La longueur du segment [AB] est :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$AB=\sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2}$

$AB=\sqrt{3^2+2^2}$

$AB=\sqrt{9+4}$

$AB=\sqrt{13}$

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