Coordonnées dans le plan : cours de maths en 2de en PDF seconde

Mise à jour le 17 décembre 2019

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Sommaire

1 1.Définition et vocabulaire
2 2.Coordonnées et opérations sur les vecteurs
3 3.Coordonnées de points et longueur

1.Définition et vocabulaire

On considère que le plan est muni d’un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Définition :

Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan.On considère le point M(a,b) tel que $\vec{u}=\vec{OM}$ .

Les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ sont celles du point M, nous avons $\vec{u}\binom\,{a}{b}$ .

Nous avons $\vec{u}=\vec{OM}=a\vec{i}+b\vec{j}$ .

Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

2.Coordonnées et opérations sur les vecteurs

Propriété :

Soient deux vecteurs $\vec{u}\binom\,{a}{b}$ et $\vec{v}\binom\,{x}{y}$ et k un nombre réel.Les coordonnées du vecteur :

$-\vec{u}$ sont $-\vec{u}\binom\,{-a}{-b}$ ;

$k\vec{u}$ sont $k\vec{u}\binom\,{ka}{kb}$ ;

$\vec{u}+\vec{v}$ sont $\vec{u}+\vec{v}\binom\,{a+x}{b+y}$ ;

$\vec{u}-\vec{v}$ sont $\vec{u}-\vec{v}\binom\,{a-x}{b-y}$ .

3.Coordonnées de points et longueur

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que $A\binom\,{x_A}{y_A}$ et $B\binom\,{x_B}{y_B}$ .Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $\vec{AB}\binom\,{x_B-x_A}{y_B-y_A}$ .

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que $A\binom\,{x_A}{y_A}$ et $B\binom\,{x_B}{y_B}$ .Soit I le milieu du segment [AB].

Le point I a pour coordonnées $\vec{AB}(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$ .

Exemple :

Soit $A\binom\,{1}{2}$ et $B\binom\,{4}{4}$ .

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées $I (\frac{1+4}{2},\frac{2+4}{2})$ , soit $I (\frac{5}{2},3)$ .

Propriété :

Soient A et B deux points du plan tels que $A\binom\,{x_A}{y_A}$ et $B\binom\,{x_B}{y_B}$ .La longueur AB vaut $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ (théorème de Pythagore).

Exemple :

Soit $A\binom\,{1}{2}$ et $B\binom\,{4}{4}$ .

La longueur du segment [AB] est :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$AB=\sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2}$

$AB=\sqrt{3^2+2^2}$

$AB=\sqrt{9+4}$

$AB=\sqrt{13}$

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1.Définition et vocabulaire

2.Coordonnées et opérations sur les vecteurs

3.Coordonnées de points et longueur

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