Calcul littéral, fractions, puissances, racines carrées : cours de maths en 2de au programme de seconde

Un cours de maths en seconde qui nous permet de revoir toutes les principales notions d’algèbre et de calculs. Des notions qu’il sera impératif de maîtriser afin d’aborder les autres leçons dans les meilleures conditions possibles et également, de pouvoir développer d’autres compétences à travers les différents chapitres abordés dans les programmes officiels de l’éducation nationale en classe de seconde (2de).

Sommaire

I.Calculer avec des fractions :

Propriétés :

On considère des nombres réels $a,b,c,d$ tels que $b\neq 0$ et $d\neq 0$ .

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ équivaut à $ad=bc$ (communément appelée la règle du produit en croix).
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ab+bc}{bd}$ (somme de deux fractions).
$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ab-bc}{bd}$ (différence de deux fractions).
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ (produit de deux fractions).
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ (quotient de deux fractions)

Exemples :

$A=\frac{5}{3}+\frac{7}{4}=\frac{5\times 4}{3\times 4}+\frac{7\times 3}{4\times 3}=\frac{20+21}{12}=\frac{41}{12}$

$B=\frac{5}{3}-\frac{7}{4}=\frac{5\times 4}{3\times 4}-\frac{7\times 3}{4\times 3}=\frac{20-21}{12}=-\frac{1}{12}$

$C=\frac{5}{3}\times \frac{7}{4}=\frac{5\times 7}{3\times 4}=\frac{35}{21}$

$D=\frac{5}{3}:\frac{7}{4}=\frac{5}{3}\times \frac{4}{7}=\frac{ 5\times 4}{3\times 7}=\frac{20}{21}$

II.Calculer avec des identités remarquables :

Propriétés :

On considère 5 nombres réels $a,b,c,d,k$ .Nous avons :

$k(a+b)=ka+kb$ ( propriété de la simple distributivité)
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ ( propriété de la double distributivité)
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ( carré d’une somme)
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ( carré d’une différence)
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ (différence de carrés)

Exemples :

Développer et réduire ou calculer la valeur des différentes expressions suivantes :

$A=-7(2x-3)=-14x+21$

$B=(2x-1)(5x+4)=10x^2+8x-5x-4=10x^2+3x-4$

$C=(5x+2)^2=(5x)^2+2\times 5x\times 2+2^2=25x^2+20x+4$

$D=(3x-4)^2=(3x)^2-2\times 3x\times 4+4^2=9x^2-24x+16$

$E=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2\times\sqrt{2} \times 1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$

III.Calculer avec des puissances :

Définition : puissance d’un nombre.

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul. $a^n=a\times a\times a\times ...\times a \,\,\,\,\,\,\, (n\,fois)$ et $a^0=1$

Ce nombre se lit « a puissance n » ou encore, « a exposant n« .

Définition : l’inverse de la puissance d’un nombre.

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un entier relatif positif non nul. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Propriétés :

Soient $a,b$ des nombres réels et $m,n$ des entiers relatifs non nuls.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ (produit de deux puissances)
$(a^m)^n=a^{mn}$ (puissance d’une puissance)
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (quotient de deux puissances)

Remarque :

$a^0=1$ car d’une part, $\frac{a^n}{a^n}=1$ et d’autre part, $\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$ .

Exemples :

Calculer la valeur des expressions numériques suivantes :

$A=10^{-7}\times 10^{+9}=10^{-7+9}=10^2=100$

$B=10^{-3}+ (10^{-1})^3\\B=0,001+10^{-1\times 3}\\B=0,001+10^{-3}\\B=0,001+0,001\\B=0,002$

$C=\frac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^{-4+7}=10^3=1000$

IV.Calculer avec des racines carrées :

Définition :

On considère $a$ un nombre réel positif ou nul, on appelle racine carrée de $a$ , noté $\sqrt{a}$ ,l’unique nombre positif ou nul vérifiant $(\sqrt{a})^2=a$ .

Propriétés :

Pour tout nombre réel x positif :

$(\sqrt{x})^2=x$
$\sqrt{x^2}= | x |$

Pour tous nombres réels positif $a$ et $b$ tel que b soit non nul, nous avons :

$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ (racine du produit)
$\sqrt{\frac{a}{ b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (racine du quotient)

Propriété :

pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs, nous avons : $\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}$

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