Calcul littéral, fractions, puissances, racines carrées, équations et inéquations : cours de maths en 2de au programme de seconde

Un cours de maths en seconde qui nous permet de revoir toutes les principales notions d’algèbre et de calculs. Des notions qu’il sera impératif de maîtriser afin d’aborder les autres leçons dans les meilleures conditions possibles et également, de pouvoir développer d’autres compétences à travers les différents chapitres abordés dans les programmes officiels de l’éducation nationale en classe de seconde (2de).

Sommaire

I.Calculer avec des fractions :

Propriétés :

On considère des nombres réels $a,b,c,d$ tels que $b\neq 0$ et $d\neq 0$ .

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ équivaut à $ad=bc$ (communément appelée la règle du produit en croix).
$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ab+bc}{bd}$ (somme de deux fractions).
$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ab-bc}{bd}$ (différence de deux fractions).
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ (produit de deux fractions).
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ (quotient de deux fractions)

Exemples :

$A=\frac{5}{3}+\frac{7}{4}=\frac{5\times 4}{3\times 4}+\frac{7\times 3}{4\times 3}=\frac{20+21}{12}=\frac{41}{12}$

$B=\frac{5}{3}-\frac{7}{4}=\frac{5\times 4}{3\times 4}-\frac{7\times 3}{4\times 3}=\frac{20-21}{12}=-\frac{1}{12}$

$C=\frac{5}{3}\times \frac{7}{4}=\frac{5\times 7}{3\times 4}=\frac{35}{21}$

$D=\frac{5}{3}:\frac{7}{4}=\frac{5}{3}\times \frac{4}{7}=\frac{ 5\times 4}{3\times 7}=\frac{20}{21}$

II.Calculer avec des identités remarquables :

Propriétés :

On considère 5 nombres réels $a,b,c,d,k$ .Nous avons :

$k(a+b)=ka+kb$ ( propriété de la simple distributivité)
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ ( propriété de la double distributivité)
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ( carré d’une somme)
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ( carré d’une différence)
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ (différence de carrés)

Exemples :

Développer et réduire ou calculer la valeur des différentes expressions suivantes :

$A=-7(2x-3)=-14x+21$

$B=(2x-1)(5x+4)=10x^2+8x-5x-4=10x^2+3x-4$

$C=(5x+2)^2=(5x)^2+2\times 5x\times 2+2^2=25x^2+20x+4$

$D=(3x-4)^2=(3x)^2-2\times 3x\times 4+4^2=9x^2-24x+16$

$E=(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2\times\sqrt{2} \times 1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$

III.Calculer avec des puissances :

Définition : puissance d’un nombre.

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul. $a^n=a\times a\times a\times ...\times a \,\,\,\,\,\,\, (n\,fois)$ et $a^0=1$

Ce nombre se lit « a puissance n » ou encore, « a exposant n« .

Définition : l’inverse de la puissance d’un nombre.

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un entier relatif positif non nul. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Propriétés :

Soient $a,b$ des nombres réels et $m,n$ des entiers relatifs non nuls.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ (produit de deux puissances)
$(a^m)^n=a^{mn}$ (puissance d’une puissance)
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ (quotient de deux puissances)

Remarque :

$a^0=1$ car d’une part, $\frac{a^n}{a^n}=1$ et d’autre part, $\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$ .

Exemples :

Calculer la valeur des expressions numériques suivantes :

$A=10^{-7}\times 10^{+9}=10^{-7+9}=10^2=100$

$B=10^{-3}+ (10^{-1})^3\\B=0,001+10^{-1\times 3}\\B=0,001+10^{-3}\\B=0,001+0,001\\B=0,002$

$C=\frac{10^{-4}}{10^{-7}}=10^{-4+7}=10^3=1000$

IV.Calculer avec des racines carrées :

Définition :

On considère $a$ un nombre réel positif ou nul, on appelle racine carrée de $a$ , noté $\sqrt{a}$ ,l’unique nombre positif ou nul vérifiant $(\sqrt{a})^2=a$ .

Propriétés :

Pour tout nombre réel x positif :

$(\sqrt{x})^2=x$
$\sqrt{x^2}= | x |$

Pour tous nombres réels positif $a$ et $b$ tel que b soit non nul, nous avons :

$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ (racine du produit)
$\sqrt{\frac{a}{ b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (racine du quotient)

Propriété :

pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs, nous avons : $\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}$

V.Résoudre des équations :

Définition :

On considère deux expressions algébriques A(x) et B(x) dépendantes de la variable x qui prendses valeurs dans un ensemble E.

Résoudre dans E l’équation A(x)=B(x) d’inconnue x, c’est déterminer l’ensemble des nombres x

dans E tels que l’égalité A(x)=B(x) soit vraie.

Cet ensemble est appelé l’ensemble solution de l’équation dans E.

A(x) est appelé le premier membre de l’équation et B(x) est appelé le second membre.

Définition :

Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble solution.

Exemple :

Considérons l’équation suivante :

$2x+1=3+x\\\Leftrightarrow 2x+1-x=3+x-x\\\Leftrightarrow x+1 =3 \\\Leftrightarrow x+1-1 =3 -1\\\Leftrightarrow x =2$

L’ensemble solution dans $\mathbb{R}$ de cette équation est S={2}.

Propriété : équation-produit.

Un produit de facteur est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul. $A_1(x)\times A_2(x)\times A_3(x)\times .....A_n(x)=0$

$\Leftrightarrow A_1(x)=0$ ou $A_2(x)=0$ ou $A_3(x)=0$ ou ……. ou $A_n(x)=0$ .

Exemple :

Résoudre l’équation-produit suivantes :

$x(x+1)(2x-3)=0$ équivaut à $x=0$ ou $x=-1$ ou $x=\frac{3}{2}$ .

Propriété :

On considère des expressions algébriques A(x), B(x), C(x) et D(x) dépendantes de la variable $x$ avec $B(x)\neq0$ et $D(x)\neq0$ .Nous avons :

$\frac{A(x)}{B(x)}=0\Leftrightarrow A(x)=0$

$\frac{A(x)}{B(x)}=C(x)\Leftrightarrow A(x)=B(x)\times C(x)$

$\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}\Leftrightarrow A(x)\times D(x)=B(x)\times C(x)$

Exemple :

Résoudre l’équation suivante

$\frac{2x-3}{7}=\frac{5}{2}$

$2(2x-3)=7\times 5\\4x-6=35\\4x=35+6\\4x=41\\x=\frac{41}{4}$

VI.Résoudre des inéquations :

Définition :

On considère deux expressions algébriques A(x) et B(x) dépendantes de la variable x qui prendses valeurs dans un ensemble E.

Résoudre dans E l’inéquation A(x)<B(x) d’inconnue x, c’est déterminer l’ensemble des nombres x

dans E tels que l’inégalité A(x)<B(x) soit vraie.

Cet ensemble est appelé l’ensemble solution de l’inéquation dans E.

A(x) est appelé le premier membre de l’inéquation et B(x) est appelé le second membre.

Propriété :

Nous obtenons des inéquations équivalentes lorsque :On additionne un même nombre réels aux deux membres de l’inéquation;

On multiplie (ou divise) chaque membre de l’inéquation par un même nombre réel strictement positif;

On multiplie(ou divise), chaque membre de l’inéquation, par un même nombre réel strictement négatif et en changeant le sens de l’inégalité.

Exemple :

Pour tout nombre x :

$3x+1<2\Leftrightarrow 3x+1-1<2-1\Leftrightarrow 3x <1\Leftrightarrow \frac{3x}{3} <\frac{1}{3}\Leftrightarrow x<\frac{1}{3}$ .

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