cours seconde

Géométrie dans l’espace : cours de maths en 2de

Un cours de géométrie dans l’espace en seconde qui fait intervenir les notions de point, droite et plan. Le repérage sur une sphère ainsi que les positions relatives de droites et plans dans l’espace. L’élève devra connaître la définition de la longitude et de la latitude et savoir donner les coordonnées sphériques d’un point ainsi que, savoir déterminer la position relative entre une droite et un plan de l’espace.

I. Repérage sur la sphère terrestre

1. La sphère terrestre

Définition :

La sphère de centre O et de rayon R est formée des points M de l’espace tels que OM=R.

On assimile la terre à une sphère de rayon 6 400 km et de centre O. Les points N et S représentent respectivement le pôle nord et le pôle sud.

Définitions :

M est un point de la sphère terrestre distinct des pôles N et S.

Le méridien du lieu M est le demi-cercle de diamètre [NS] passant par M.

Le parallèle du lieu M est le cercle section de la sphère par le plan passant par M et perpendiculaire à la droite (NS).

sphère

L’équateur est le seul parallèle qui est un grand cercle (de centre O) de la sphère.

2. Repérage sur la sphère terrestre

Définition :

Le méridien origine de la sphère terrestre  est le méridien de Greenwich (banlieue de Londres) en Angleterre.

Définitions :

M est un plan de la sphère distinct des pôles N et S.

Le méridien de M coupe l’équateur en P et le méridien de Greenwich coupe l’équateur en A.

  • La longitude du lieu M est la mesure, en degrés, de l’angle \widehat{AOP} suivie de l’indication ouest(O) ou est (E).
  • La latitude du lieu M est la mesure, en degrés, de l’angle \widehat{POM}  suivie de l’indication nord (N) ou sud (S).

longitude latitude

II. Positions relatives de droites et plans

1. Règle d’incidence

Règle :

  • Par deux points distincts de l’espace, il passe une unique droite;
  • Par trois points non alignés A,B et C de l’espace, il passe un unique plan noté (ABC);
  • Si deux points distincts A et B de l’espace appartiennent à un plan P, alors tout point de la droite (AB) appartient au plan P. On dit que la droite (AB) est contenue dans le plan P et on note (AB)\subset P.
  • Dans chaque plan de l’espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie plane.

plan

2.Les positions relatives

Position relative de deux droites :

position relative droite

  • Deux droites sont coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan:
  • Deux droites sont strictement parallèles lorsqu’elles sont coplanaires et non sécantes.

Position relative de deux plans :

position relative plans

Position relative d’une droite et d’un plan :

positions relatives droites-

III. Droites et plans parallèles

1.Parallélisme entre droites

Propriétés :

  • Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles;
  • Si deux droites sont parallèles , alors tout plan qui coupe l’une, coupe l’autre.

2.Parallélisme entre plans

Propriété :

parallélisme plans

3.Parallélisme entre droites et plans

Propriété :

parallélisme droite plan


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