Vecteurs et propriétés : cours de maths en 2de en PDF

Mise à jour le 17 décembre 2019

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Sommaire

1 I.Notion de vecteur et somme de vecteurs
2 II.Autres opérations sur les vecteurs
3 III.Les vecteurs colinéaires

I.Notion de vecteur et somme de vecteurs

1.Définition d’un vecteur et vocabulaire

Définition :

A la translation qui transforme le point A en B (A distinct de B), on associe le vecteur $\vec{AB}$ .

Le vecteur a trois caractéristiques :

Sa direction : la droite (AB);
Son sens de A vers B;
Sa norme, notée $\| \vec{AB} \|$ , qui correspond à la longueur AB.

Définition :

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont :

la même direction;
le même sens;
la même norme.

On peut noter $\vec{u}$ l’ensemble des vecteurs égaux au vecteur $\vec{AB}$ , nous avons $\vec{u}=\vec{AB}$ .

Propriété :

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

Définition :

Le vecteur associé à la transformation qui transforme un point en lui-même est le vecteur nul, noté $\vec{0}$ .Nous avons $\vec{AA}= \vec{BB}=\vec{CC}=....=\vec{0}$ .

2.Somme de vecteurs

Définition :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques.La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , noté $\vec{u}+\vec{v}$ , est le vecteur $\vec{w}$ associé à la translation

résultant de l’enchaînement des translations de vecteur $\vec{u}$ et de vecteur $\vec{v}$ .

Nous avons $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ .

3.La relation de Chasles

Propriété : la relation de Chasles.

Soient A,B et C trois points quelconques du plan, nous avons : $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

II.Autres opérations sur les vecteurs

1.Vecteurs opposés

Définition :

Le vecteur opposé au vecteur $\vec{AB}$ , que l’on note $-\vec{AB}$ , est le vecteur ayant :

la même direction que $\vec{AB}$ ;
la même norme que $\vec{AB}$ ;
un sens contraire que $\vec{AB}$ .

2.Différence de vecteurs

Définition : différence de deux vecteurs.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques.La différence du vecteur $\vec{u}$ et du vecteur $\vec{v}$ est le vecteur $\vec{u}-\vec{v}$ tel que $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$ .

Pour représenter le vecteur $\vec{u}-\vec{v}$ , on trace le vecteur $\vec{u}$ puis, a son extrémité, le vecteur $-\vec{v}$ (méthode dite du bout à bout).

3.Produit d’un vecteur par un nombre k

Définition :

Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et soit k un nombre réel.Le produit du vecteur $\vec{u}$ par le nombre k est le vecteur $k\vec{u}$ ayant les caractéristiques suivantes :

la même direction que le vecteur $\vec{u}$ ;
le même sens que $\vec{u}$ si k>0 et le sens contraire à si k<0.
une norme égale à $| k |\times \| \vec{u } \|$ .

4.Règles de calculs

Propriétés :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques et k,k’ deux nombres réels.

$k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$
$k\vec{u}+k'\vec{u}=(k+k')\vec{u}$
$k(k'\vec{u})=kk'\vec{u}$

Propriété :

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$ .

III.Les vecteurs colinéaires

Définition :

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls sont colinéaires lorsqu’il ont la même direction.Il existe un nombre k non nul tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ .

Exemple :

Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ suivants sont colinéaires.

Définition :

Soient O,M et M’ trois points et k un nombre réel non nul.L’homothétie de centre O et de rapport k qui transforme M en M’ est telle que :

$\vec{OM'}=k\vec{OM}$ .

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