Vecteurs : cours de maths en 2de à imprimer en PDF.
Mis à jour le 29 mai 2025
I. Notion de vecteur et somme de vecteurs
1.Définition d’un vecteur et vocabulaire
A la translation qui transforme le point A en B (A distinct de B), on associe le vecteur .
Le vecteur a trois caractéristiques :
- Sa direction : la droite (AB);
- Son sens de A vers B;
- Sa norme, notée
, qui correspond à la longueur AB.
Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont :
- la même direction;
- le même sens;
- la même norme.
On peut noter l’ensemble des vecteurs égaux au vecteur
, nous avons
.
Le vecteur associé à la transformation qui transforme un point en lui-même est le vecteur nul, noté .Nous avons
.
2.Somme de vecteurs
Soient et
deux vecteurs quelconques.
La somme des vecteurs et
, noté
, est le vecteur
associé à la translation
résultant de l’enchaînement des translations de vecteur et de vecteur
.
Nous avons .
3.La relation de Chasles
Soient A,B et C trois points quelconques du plan, nous avons :
II. Autres opérations sur les vecteurs
1.Vecteurs opposés
Le vecteur opposé au vecteur , que l’on note
, est le vecteur ayant :
- la même direction que
;
- la même norme que
;
- un sens contraire que
.
2.Différence de vecteurs
Soient et
deux vecteurs quelconques.
La différence du vecteur et du vecteur
est le vecteur
tel que
.
Pour représenter le vecteur , on trace le vecteur
puis, a son extrémité, le vecteur
(méthode dite du bout à bout).
3.Produit d’un vecteur par un nombre k
Soit un vecteur non nul et soit k un nombre réel. Le produit du vecteur
par le nombre k est le vecteur
ayant les caractéristiques suivantes :
- la même direction que le vecteur
;
- le même sens que
si k>0 et le sens contraire à si k<0.
- une norme égale à
.
4.Règles de calculs
Soient et
deux vecteurs quelconques et k, k’ deux nombres réels.
III. Les vecteurs colinéaires
Deux vecteurs et
non nuls sont colinéaires lorsqu’il ont la même direction.
Il existe un nombre k non nul tel que .
Exemple :
Les vecteurs ,
et
suivants sont colinéaires.
Soient O,M et M’ trois points et k un nombre réel non nul. L’homothétie de centre O et de rapport k qui transforme M en M’ est telle que :
.
Autre version de cette leçon
I. Notion de vecteur et translation
1.Translation de vecteur 
Soient A et B deux points du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point du plan C le point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.
On l’appelle la translation de vecteur , souvent notée
.
Remarque :
Le quadrilatère ABDC est alors un parallélogramme, éventuellement aplati.
Construire l’image du point C et celle du point N par la translation de vecteur .
2. Vecteurs égaux
Deux vecteurs et
sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme également C en D.
On note .
Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
3.Représentant d’un vecteur
La translation de vecteur transforme aussi C en D, E en F.
On a .
Ils sont les représentants d’un même vecteur, que l’on peut noter par exemple.
4.Vecteurs particuliers
Le vecteur nul, associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C….
Nous avons
Le vecteur opposé au vecteur est le vecteur associé à la translation qui
transforme B en A : c’est le vecteur .
Nous avons .
Le point I est le milieu du segment [AB], si et seulement si, .
II. Coordonnées dans un repère orthonormé du plan
Dans un repère orthonormé du plan , on considère un vecteur
et M l’image du point O par la translation de vecteur
.
1.Définition et propriétés
Les coordonnées du vecteur sont les coordonnées du point M tel que :
.
On note ou
.
Remarque :
Le vecteur nul a pour coordonnées .
Propriété :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans le même repère.
2.Coordonnées d’un vecteur dans le plan
Dans un repère orthonormé du plan, Soient A et B les points de coordonnées et
.
Les coordonnées du vecteurs coordonnées du sont
.
3.Norme d’un vecteur.
La norme d’un vecteur est la longueur du vecteur
que l’on note
.
Dans un repère orthonormé du plan :
Si alors
.
Remarque :
Cette égalité provient du théorème de Pythagore.
4. Distance entre deux points ou longueur d’un segment
Dans un repère orthonormé du plan.
Si et
alors
.
5.Coordonnées du milieu d’un segment
Le point I est le milieu du segment [AB] a pour coordonnées :
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