cours seconde

Vecteurs : cours de maths en 2de en PDF

Mise à jour le 17 décembre 2019 .

I.Notion de vecteur et somme de vecteurs

1.Définition d’un vecteur et vocabulaire

Définition :

A la translation qui transforme le point A en B (A distinct de B), on associe le vecteur \vec{AB}.

Le vecteur a trois caractéristiques :

  • Sa direction : la droite (AB);
  • Son sens de A vers B;
  • Sa norme, notée  \| \vec{AB} \|, qui correspond à la longueur AB.

vecteurs

Définition :

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont :

  • la même direction;
  • le même sens;
  • la même norme.

On peut noter \vec{u} l’ensemble des vecteurs égaux au vecteur \vec{AB}, nous avons \vec{u}=\vec{AB}.

Propriété :

Les vecteurs \vec{AB} et \vec{CD}  sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

vecteurs égaux parallélogramme

Définition :

Le vecteur associé à la transformation qui transforme un point en lui-même est le vecteur nul, noté \vec{0}.Nous avons \vec{AA}= \vec{BB}=\vec{CC}=....=\vec{0}.

2.Somme de vecteurs

Définition :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs quelconques.La somme des vecteurs \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u}+\vec{v}, est le vecteur \vec{w} associé à la translation

résultant de l’enchaînement des translations de vecteur \vec{u} et de vecteur \vec{v}.

Nous avons \vec{u}+\vec{v}=\vec{w}.

somme vecteurs

3.La relation de Chasles

Propriété : la relation de Chasles.

Soient A,B et C trois points quelconques du plan, nous avons :\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}

relation chasles

II.Autres opérations sur les vecteurs

1.Vecteurs opposés

Définition :

Le vecteur opposé au vecteur \vec{AB}, que l’on note -\vec{AB}, est le vecteur ayant :

  • la même direction que \vec{AB};
  • la même norme que \vec{AB};
  • un sens contraire que \vec{AB}.

vecteurs opposés

2.Différence de vecteurs

Définition : différence de deux vecteurs.

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs quelconques.La différence du vecteur \vec{u} et du vecteur \vec{v} est le vecteur \vec{u}-\vec{v} tel que \vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}).

Pour représenter le vecteur \vec{u}-\vec{v}, on trace le vecteur \vec{u} puis, a son extrémité, le vecteur -\vec{v} (méthode dite du bout à bout).

différence vecteurs

3.Produit d’un vecteur par un nombre k

Définition :

Soit \vec{u} un vecteur non nul et soit k un nombre réel.Le produit du vecteur \vec{u} par le nombre k est le vecteur k\vec{u} ayant les caractéristiques suivantes :

  • la même direction que le vecteur \vec{u};
  • le même sens que \vec{u} si k>0 et le sens contraire à  si k<0.
  • une norme égale à | k |\times \| \vec{u } \|.

vecteur ku

4.Règles de calculs

Propriétés :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs quelconques et k,k’ deux nombres réels.

  • k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}
  • k\vec{u}+k'\vec{u}=(k+k')\vec{u}
  • k(k'\vec{u})=kk'\vec{u}

Propriété :

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}.

III.Les vecteurs colinéaires

Définition :

Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} non nuls sont colinéaires lorsqu’il ont la même direction.Il existe un nombre k non nul tel que \vec{v}=k\vec{u}.

Exemple :

Les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} suivants sont colinéaires.

vecteurs colinéaires

Définition :

Soient O,M et M’ trois points et k un nombre réel non nul.L’homothétie de centre O et de rapport k qui transforme M en M’ est telle que :

\vec{OM'}=k\vec{OM}.


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