Sommaire
I. Notion de vecteur et somme de vecteurs
1.Définition d’un vecteur et vocabulaire
A la translation qui transforme le point A en B (A distinct de B), on associe le vecteur .
Le vecteur a trois caractéristiques :
- Sa direction : la droite (AB);
- Son sens de A vers B;
- Sa norme, notée , qui correspond à la longueur AB.
Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont :
- la même direction;
- le même sens;
- la même norme.
On peut noter l’ensemble des vecteurs égaux au vecteur , nous avons .
Le vecteur associé à la transformation qui transforme un point en lui-même est le vecteur nul, noté .Nous avons .
2.Somme de vecteurs
Soient et deux vecteurs quelconques.
La somme des vecteurs et , noté , est le vecteur associé à la translation
résultant de l’enchaînement des translations de vecteur et de vecteur .
Nous avons .
3.La relation de Chasles
Soient A,B et C trois points quelconques du plan, nous avons :
II. Autres opérations sur les vecteurs
1.Vecteurs opposés
Le vecteur opposé au vecteur , que l’on note , est le vecteur ayant :
- la même direction que ;
- la même norme que ;
- un sens contraire que .
2.Différence de vecteurs
Soient et deux vecteurs quelconques.
La différence du vecteur et du vecteur est le vecteur tel que .
Pour représenter le vecteur , on trace le vecteur puis, a son extrémité, le vecteur (méthode dite du bout à bout).
3.Produit d’un vecteur par un nombre k
Soit un vecteur non nul et soit k un nombre réel. Le produit du vecteur par le nombre k est le vecteur ayant les caractéristiques suivantes :
- la même direction que le vecteur ;
- le même sens que si k>0 et le sens contraire à si k<0.
- une norme égale à .
4.Règles de calculs
Soient et deux vecteurs quelconques et k, k’ deux nombres réels.
III. Les vecteurs colinéaires
Deux vecteurs et non nuls sont colinéaires lorsqu’il ont la même direction.
Il existe un nombre k non nul tel que .
Exemple :
Les vecteurs , et suivants sont colinéaires.
Soient O,M et M’ trois points et k un nombre réel non nul. L’homothétie de centre O et de rapport k qui transforme M en M’ est telle que :
.
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