cours seconde

L’étude graphique et algébrique des fonctions : cours de maths en 2de à imprimer en PDF.

Les fonctions avec un cours de maths en 2de à télécharger en PDF. Cette leçon porte sur la représentation graphique d’une fonction ainsi que la détermination de l’image ou d’un antécédent graphiquement. L’élève devra connaître la définition d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Résoudre graphiquement une inéquation et développer des compétences en établissant son tableau de signes et son tableau de variation en seconde.

I. Représenter graphiquement une fonction

Définition :

Dans un repère orthonormé du plan, une fonction f définie sur un ensemble D_f est représentée graphiquement par l’ensemble des points M(x;y) avec y=f(x).

Cet ensemble de points est appelée la courbe représentative de la fonction f et l’ensemble D_f est l’ensemble (ou domaine) de définition de la fonction f.

courbe fonction

Exemple :

Soit la fonction f définie par f(x)=\frac{1}{x-2}.

Une fraction est définie lorsque son dénominateur est non nul, par conséquent, D_f=\mathbb{R}-\,\{\,2\,\}.

Définition :

Soit f définie sur un ensemble D_f symétrique par rapport à 0.Si pour tout x\in,D_f, f(x)=f(-x) alors la fonction est paire et sa courbe représentative dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Si pour tout x\in\,D_f, f(-x)=-f(x) alors la fonction est impaire et sa courbe représentative dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à l’origine du repère.

fonction paire impaire

Exemple :

La fonction f définie par f(x)=x^2 est paire car f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).

La fonction f définie par f(x)=x^3 est impaire car f(-x)=(-x)^3=-x^3=-\,f(x).

II. Résoudre graphiquement une équation

Définition :

Résoudre graphiquement l’équation f(x)=k revient à déterminer les abscisses des points d’intersection des courbes y=f(x) et y=k.

équation fonction f(x)=k

Définition :

Résoudre graphiquement l’équation f(x)=g(x) revient à déterminer les abscisses des points d’intersection des courbes C_f et C_g.

équation f(x)=g(x) fonctions

Définition :

Soit f une fonction définie sur un ensemble D_f . Encadrer la racine \alpha de l’équation f(x)=k revient à déterminer un intervalle [a ; b] où a et b sont deux nombres réels appartenant à D_f, tel que \alpha\,\in\,[a;b].

C’est à dire que a\leq\,\,\alpha\,\leq\,\,b.

La précision de l’encadrement correspond à l’amplitude de l’intervalle [a ; b] et elle est de b-a.

encadrement racine fonctions

III. Résoudre graphiquement une inéquation

Définition :
Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)\geq\,\,k revient à déterminer les abscisses des points de la courbe C_f ayant une ordonnée supérieure ou égale à k.

inéquation fonction f supérieure à k

Définition :
Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)\,\leq\,\,g(x) revient à déterminer les abscisses
des points de C_f dont les ordonnées sont inférieures à celles de  C_g.

inéquation fonction f(x)>g(x)

Définition :

Dresser le tableau de signe d’une fonction f définie sur un ensemble D_f revient à étudier la position de sa courbe C_f par rapport à l’axe des abscisses dans un repère orthonormé du plan.

  • Si C_f coupe l’axe des abscisses alors la fonction f s’annule;
  • Si C_f est strictement au-dessus de l’axe des abscisses alors la fonction f est strictement positive;
  • Si C_f est strictement en-dessous de l’axe des abscisses alors f est strictement négative.

courbe et tableau de signes

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