Les équations et inéquations : exercices de maths en 2de corrigés à télécharger en PDF

\(f\) est la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = 4x - 3\)

1. Donner le tableau de signes de \(f(x)\).
2. En déduire la résolution de l^{\prime}inéquation : \(4x - 3 \gt 0\)

\(g\) est la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = -3x - 1\)

1. Donner le tableau de signes de \(g(x)\).
2. Célia affirme : « Sans calcul, je peux donner le signe de \(g(-0{,}502)\) ». Est-ce possible ?
3. Déduire du tableau de signes obtenu au a) la résolution de chacune des inéquations :
   • \(-3x - 1 \leqslant 0\)
   • \(-3x - 1 \gt 0\)

\(f\) et \(g\) sont des fonctions affines définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -5x + 5\) et \(g(x) = 5x - 3\).

1. Donner le tableau de signes :
   1. de \(f(x)\) ;
   2. de \(g(x)\).
2. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier à l^{\prime}aide de la question 1.
   1. Elie affirme : « Je peux dire que \(f(0{,}982)\) est positif sans effectuer de calcul ».
   2. Quentin déclare : « Il existe un nombre réel inférieur à 2 dont l^{\prime}image par \(f\) est positive ».
   3. Karen note : « Pour tout nombre réel \(x\) négatif, son image \(g(x)\) est négative ».
   4. Geoffroy dit : « Il existe des nombres réels \(x\) tels qu^{\prime}à la fois \(f(x)\) et \(g(x)\) sont positifs ».

(S) est le système \(\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - y = 5 \end{cases}\).

1. Expliquer pourquoi ce système (S) a un seul couple solution.
2. Résoudre ce système.

Voici un programme de calcul.

• Prendre un nombre.
• Lui ajouter 8.
• Multiplier le résultat par 3.
• Enlever 24.
• Enlever le nombre de départ.

Faïza choisit des nombres et applique ce programme à chaque fois. Il conjecture : « Pour n’importe quel nombre choisi, on trouve le double du nombre choisi. »

Cette conjecture est-elle vraie ? Justifier.

Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d’un triangle équilatéral de côté 6 cm.

Gabriel émet une conjecture : « La somme des périmètres des trois petits triangles équilatéraux est égale au périmètre de l’hexagone orange. »

Cette conjecture est-elle vraie ? Justifier.

Voici un programme de calcul.

• Choisir un nombre.
• Soustraire 3.
• Élever au carré.
• Soustraire le carré du nombre de départ.

1. Quel nombre obtient-on si au départ on choisit \(-4\) ?
2. Est-il possible de choisir un nombre de façon à obtenir 0 ?

Voici deux programmes de calcul.

a) Joseph affirme : « Ces deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre choisi ». Qu’en pensez-vous ?

b) Est-il possible d’obtenir 0 ?

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Voici deux programmes de calcul.

1. Quel nombre obtient-on avec chaque programme lorsqu’on choisit :

a) \(-1\) ?   b) 0 ?   c) 1 ?   d) 2 ?

2. a) Émettre une conjecture quant à ces deux programmes de calcul.

b) Démontrer cette conjecture.

a) Avec un tableur, saisir la feuille de calcul ci-contre. Recopier la cellule B1 vers le bas.

b) Émettre une conjecture. La démontrer.

\(A=3x+6+(x+2)(x-8)\)

1. a) Factoriser \(3x+6\).

b) En déduire une factorisation de A.

2. Factoriser :

1. \(B=x^2-4+(x-1)(x+2)\)
2. \(C=x^2+4x+(x+1)(x+4)\)

« Le coup du 1 »

\(A=(x+4)(x-3)+(x+4)(x-1)+x+4\)

Voici la factorisation obtenue par Alice :

\(A=(x+4)(2x-4)\)

1. a) Calculer les deux expressions de A pour \(x=0\). Que peut-on en conclure ?

b) Kenza commence à factoriser A en écrivant :

\(A=(x+4)(x-3)+(x+4)(x-1)+(x+4)\times 1\)

Poursuivre le travail de Kenza afin de factoriser A.

2. Factoriser :

1. \(B=(2x-1)(x+3)+2x-1\)
2. \(C=(x+1)^2+(x+1)(x-2)+x+1\)

3. Démontrer que pour tout nombre réel \(x\),

\[(x+6)(x+7)=(x+6)^2+x+6\]

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=(x-3)^2-25 \qquad (1)\]

1. Prouver que pour tout nombre réel \(x\) :

1. \(f(x)=x^2-6x-16\)   (2)
2. \(f(x)=(x-8)(x+2)\)   (3)

2. Répondre à chaque question en utilisant celle des formes (1), (2) ou (3) qui est la plus adéquate.

1. Calculer \(f(3)\).
2. Résoudre \(f(x)=0\).
3. Résoudre \(f(x)=-16\).
4. Résoudre \(f(x)=-25\).

Emma et Pierre travaillent en binôme pour résoudre l’équation :

\[(x+3)(x-7)-(x-1)(x+2)=0\]

Emma affirme : « Je peux résoudre l’équation à l’aide d’une factorisation ».

Pierre répond : « Inutile de factoriser, si je développe chaque produit, les \(x^2\) s’éliminent ».

1. Que penser des arguments de chacun ?
2. En déduire la résolution de cette équation.

M est un point variable du segment [CD] et les triangles ADM et BCM sont rectangles.

Déterminer la distance CM afin que MA = MB.

\(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=(x+2)^2-1\]

1. On se propose de résoudre l^{\prime}équation \(f(x)=0\).

a) Pour cela, vaut-il mieux factoriser ou développer l^{\prime}expression de \(f(x)\) ?

b) Résoudre alors l^{\prime}équation \(f(x)=0\).

2. Résoudre chacune des équations :

1. \(f(x)=-1\)
2. \(f(x)=3\)

Fred a utilisé l’affichage ci-dessous pour résoudre chacune des équations :

(E) \((x-4)(2x-1)-x(x-5)=0\)

(F) \((x-4)(2x-1)-x(x-5)=16\)

Qu’en pensez-vous ?

Calcul formel : \((x-4)(2x-1)-x(x-5)\) ; Factoriser : \((x-2)^2\)

Résoudre les systèmes suivants.

Dans chaque cas, proposer trois fonctions affines qui admettent pour tableau de signes :

a)

b)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \((x+4)(x-7)=0\)
2. \((2x+3)(4x-5)=0\)
3. \(-x(5-4x)=0\)
4. \((-15x+3)(3x+9)=0\)
5. \((2x-4)^2=0\)
6. \(3x(x-5)=0\)

1. Factoriser \(x^2-16\).

2. Résoudre \(x^2-16=0\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(5x^2-6x=0\)
2. \((2x+1)(x+4)+(x+4)(3-5x)=0\)
3. \((x-7)(3x-5)-(9x-4)(x-7)=0\)
4. \(4x^2+8x+4=0\)
5. \((4x-7)(9x+5)=(8x-3)(4x-7)\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(x^2=81\)
2. \(x^2=-7\)
3. \(x^2=15\)
4. \(3x^2=48\)
5. \(2x^2+20=0\)
6. \(4x^2-2=1\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(x^2+6x+9=0\)
2. \(36x^2-12x+22=21\)
3. \(4x^2=8x\)
4. \(5(2x+1)^2=20\)
5. \((3x+4)^2=(5x-6)^2\)
6. \((x-2)^2-100=0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(\sqrt{x}=12\)
2. \(\sqrt{x}=-2\)
3. \(\sqrt{x}=11{,}5\)
4. \(3\sqrt{x}=21\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(\dfrac{x-2}{x+9}=0\)
2. \(\dfrac{2x-7}{x+3}=0\)
3. \(\dfrac{20-4x}{x-5}=0\)
4. \(\dfrac{5x-1}{2x+3}=0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(\dfrac{2x-1}{x+6}=1\)
2. \(\dfrac{4}{2x+6}=9\)
3. \(\dfrac{2x}{x-4}=-3\)
4. \(\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{1}{2}\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(\dfrac{x}{2x+2}+5=0\)
2. \(\dfrac{10+x}{x-2}-2=0\)
3. \(\dfrac{3}{2x-4}=-5\)
4. \(\dfrac{x+1}{3-x}=1\)

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\).

1. \(\dfrac{1}{x}=4\)
2. \(\dfrac{1}{x}=-1\)
3. \(\dfrac{1}{x}=10\)
4. \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}\)
5. \(\dfrac{1}{x}=0\)
6. \(\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{5}\)

Soit \(A=x^2+5x+10\). Calculer A si \(x\) vaut :

1. 0
2. \(-2\)
3. 10
4. \(\sqrt{2}\)

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\).

1. \((3x-1)^2=0\)
2. \((3-2x)(5-x)(6+10x)=0\)
3. \((x^2-9)(x+20)=0\)

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\).

a) \((x+4)^{2}=121\)
b) \((2x+1)^{2}-9=0\)
c) \(3(2-x)^{2}=48\)
d) \((5-x)^{2}=-2\)

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=(5x+1)(x-4)\) pour tout nombre réel \(x\). Déterminer les antécédents de 0 par la fonction \(f\).

On étudie dans un certain milieu l’évolution d’une population de bactéries. Le nombre de bactéries en milliers a été modélisé en fonction du temps écoulé en jours sur les dix premiers jours d’étude par la fonction \(N\) définie par \(N(t)=(0{,}5t+1)^{2}\) pour tout nombre réel \(t\in[0\,;\,10]\).

1. Donner une estimation du nombre de bactéries au bout d’un jour.

2. Au bout de combien de temps le nombre de bactéries a-t-il atteint 16 000 ?

On veut construire une boîte en bois avec couvercle ayant une base carrée de côté \(x\) et une hauteur égale à 2.

1. Montrer que la surface extérieure de la boîte est donnée en fonction de \(x\) par la formule \(S(x)=2(x+2)^{2}-8\).

2. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) la boîte a-t-elle une surface extérieure égale à 72 ?

On considère l’expression \(h(x)=(x-5)(x+11)\) pour tout réel \(x\).

1. Calculer la forme développée de \(h(x)\).

2. Montrer que \(h(x)=(x+3)^{2}-64\).

3. Utiliser la forme la plus adéquate pour répondre aux questions suivantes.

a) Calculer \(h(0)\).
b) Résoudre \(h(x)=0\) et \(h(x)=-64\).

On considère l’expression \(\text{A}=\dfrac{x+3}{3x+1}\).

1. Pour quelle valeur de \(x\) cette expression n’est-elle pas définie ?

2. Sans calculatrice, calculer le résultat de A si \(x\) prend la valeur :

a) 1 b) \(-2\) c) \(\dfrac{1}{2}\) d) \(-\dfrac{2}{7}\)

3. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) l’expression A s’annule-t-elle ?

4. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) l’expression A sera-t-elle égale à 3 ?

Georges est un funambule. Il se promène dans la montagne à la recherche de deux arbres séparés par un ravin pour tendre un câble. Il souhaite, à chaque site qu’il découvre, estimer la longueur du câble à utiliser.

Il se construit un U en bois (un carré avec un côté en moins) d’un mètre de côté. Il posera et fixera celui-ci au sol avec des piquets afin d’estimer la distance entre les deux arbres. Voici le schéma vue de dessus et les instructions à suivre pour déterminer cette distance (le U en bois est tracé en marron gras sur le schéma, fixé en ses quatre sommets par des piquets ).

Georges est un étourdi, il a perdu le tableau de correspondance. Il a effectué les 4 premières étapes et a mesuré une distance de 1,1 m entre lui et l’arbre 1. Calculer la distance entre les arbres 1 et 2.

Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

On considère un parallélépipède rectangle de longueur \(L\), de largeur \(\ell\), et de hauteur \(h\). Son volume est noté \(\mathcal{V}\) et son aire est notée \(\mathcal{A}\).

1. Exprimer \(h\) en fonction de \(\ell\), \(L\) et \(\mathcal{V}\).

2. Exprimer \(h\) en fonction de \(\ell\), \(L\) et \(\mathcal{A}\).

Recopier et compléter la résolution de l’inéquation \(2x+8\lt 100\).

Même exercice que le précédent pour les inéquations suivantes.

a) \(4x+5\leqslant -x+100\)
b) \(x-10\leqslant 4x+23\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes et donner l^{\prime}ensemble des solutions sous forme d^{\prime}intervalle.

a) \(2x+2\leqslant 10\)
b) \(4x+5\lt -25\)
c) \(-2x+6\leqslant 0\)
d) \(-3x-7\geqslant 101\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes.

a) \(3x+2\leqslant x-14\)
b) \(-2x-5\gt 4x+31\)
c) \(9x+19\leqslant -x+51\)
d) \(-3x+5\lt -x+17\)

Donner, sous forme d’intervalle, l’ensemble des solutions des inéquations suivantes.

a) \(2(x+1)-7x\gt 5-x\)
b) \(4x+5\leqslant 3(x-1)+3\)
c) \(3(x+4)\gt 0\)
d) \(\dfrac{x-5}{2}\leqslant 0\)

Assia a acheté des graines de carottes à 2,90 euros pour les semer dans son jardin. Elle compte revendre quelques kilos de carottes à ses amis au prix de 1,50 euros le kilo. Elle cherche à connaître le nombre de kilos qu’elle doit vendre pour faire un bénéfice de 25 euros.

1. En notant \(x\) le nombre de kilos de carottes à vendre, modéliser le problème par une inéquation.

2. Résoudre le problème.

Rémi a gagné au loto : il a le choix entre deux lots :

• une somme de 100 000 euros puis 1 400 euros par mois à vie.
• une somme de 5 000 euros puis 2 000 euros par mois à vie.

Il cherche à savoir au bout de combien de mois écoulés la deuxième offre devient plus intéressante.

1. En notant \(x\) le nombre de mois, modéliser le problème par une inéquation.

2. Résoudre le problème.

On considère la figure ci-contre. Les longueurs sont en cm. On souhaite que l’aire de cette figure dépasse \(50\ \text{cm}^{2}\). Modéliser ce problème par une inéquation puis le résoudre.

Un pré est représenté par un trapèze rectangle ABCD tel que \(\text{AB}=12\), \(\text{AD}=8\) et \(\text{DC}=5\) en dam.

On souhaite partager ce pré par un segment [CM] où M est un point du segment [AB] en deux parcelles ADCM et CBM. On pose \(\text{AM}=x\).

1. Déterminer la valeur de \(x\) pour que les deux aires soient égales.

2. Pour quelle valeur de \(x\) l’aire de ADCM est-elle supérieure à celle de CBM ?

ABCD est un rectangle tel que \(\text{AB}=5\) cm et \(\text{AD}=3\) cm. M est un point du segment [AD] On place alors les points P sur [AB] et N tel que AMNP soit un carré. Le point I est l’intersection de (PN) et (CD) et le point J est celle de (BC) et (MN).

1. À quelle distance du point A faut-il placer M pour que les aires de AMNP et CJNI soit égale ?

2. À quelle distance du point A faut-il placer M pour que le périmètre de NICJ soit supérieur à 10 ?

ABCD est un rectangle tel que \(\text{AB}=8\) et \(\text{AD}=10\). M est un point du segment [AD] et N est le point de [BC] tel que ABNM est un rectangle. On pose \(x=\text{AM}\).

1. À quel intervalle appartient \(x\) ?

2. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) l’aire de ABNM est-elle supérieure ou égale à celle du triangle NDC ?