Tableau de signes
En bref : Un tableau de signes résume le signe de chaque facteur d’un produit ou d’un quotient sur tous les intervalles de x, puis déduit le signe de l’ensemble avec la règle des signes.
SecondeCalcul littéral
Définition : Tableau de signes
Un tableau de signes est un outil de présentation. La première ligne contient les valeurs de \(x\) qui annulent un facteur, rangées dans l’ordre croissant entre \(-\infty\) et \(+\infty\). Chaque facteur reçoit ensuite sa propre ligne avec ses signes et ses zéros.
La dernière ligne donne le signe du produit ou du quotient, en appliquant la règle des signes colonne par colonne : deux signes identiques donnent un plus, deux signes opposés un moins. Un zéro d’un facteur devient un zéro du produit. Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est marquée d’une double barre : elle est interdite.
Comment le reconnaître
- On doit résoudre une inéquation de la forme \((ax+b)(cx+d)\ge 0\) ou un quotient comparé à zéro.
- L’expression est factorisée en facteurs du premier degré.
- Il faut savoir où une expression change de signe, sans tracer sa courbe.
- On rencontre une inéquation qui ne se résout pas en isolant \(x\) d’un seul côté.
La méthode
- Factoriser l’expression et chercher la valeur de \(x\) qui annule chaque facteur.
- Dresser le tableau de signes : première ligne avec les zéros ordonnés, une ligne par facteur.
- Donner à chaque facteur du premier degré le signe de son coefficient à droite de son zéro, l’opposé à gauche.
- Multiplier les signes en colonne dans la dernière ligne, puis lire l’ensemble des solutions.
Tableau de signes : exemple corrigé
Énoncé
Dresser le tableau de signes de \(A(x)=(3x-12)(-2x+10)\), puis résoudre \(A(x)\ge 0\).
Corrigé
\(3x-12=0\) pour \(x=4\) et \(-2x+10=0\) pour \(x=5\). Le facteur \(3x-12\) a un coefficient positif : il est négatif avant \(4\), positif après. Le facteur \(-2x+10\) a un coefficient négatif : il est positif avant \(5\), négatif après.
En multipliant les signes, le produit est négatif sur \(]-\infty\,;\,4[\), positif sur \(]4\,;\,5[\) et négatif sur \(]5\,;\,+\infty[\). Les zéros étant admis, l’ensemble solution de \(A(x)\ge 0\) est \([4\,;\,5]\).
À toi de jouer
Question 1
Résoudre \(\dfrac{x+1}{x-3}<0\) à l’aide d’un tableau.
Voir la réponse
Le numérateur s’annule en \(-1\), le dénominateur en \(3\) (valeur interdite). Le quotient est négatif entre les deux : l’ensemble solution est \(]-1\,;\,3[\).
Question 2
Pour \(B(x)=(x-1)(x+2)(x-7)\), quel est le signe de \(B(x)\) quand \(x>7\) ?
Voir la réponse
Les trois facteurs sont alors positifs, donc \(B(x)\) est positif sur \(]7\,;\,+\infty[\).
Ne pas confondre Tableau de signes et Tableau de variation
Le tableau de signes indique si les images sont positives ou négatives, avec des plus, des moins et des zéros. Le tableau de variations indique si la fonction monte ou descend, avec des flèches et des valeurs aux changements de sens. Une fonction positive peut très bien descendre, et une fonction négative peut monter.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Signe d'une fonction
- Inéquation
- Tableau de variation
- Équation produit nul
- Zéro d'une fonction
- Factoriser
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