Zéro d’une fonction
En bref : Un zéro d’une fonction f est un réel x tel que f(x) = 0 ; graphiquement, c’est l’abscisse d’un point où la courbe de f rencontre l’axe des abscisses.
SecondeFonctions
Définition : Zéro d'une fonction
Un zéro d’une fonction \(f\), appelé aussi racine, est un nombre \(x\) de son ensemble de définition dont l’image est nulle : \(f(x)=0\). C’est donc une solution de l’équation \(f(x)=0\).
Sur la courbe, on le lit à l’endroit où celle-ci coupe ou touche l’axe horizontal. Une fonction peut avoir plusieurs zéros, un seul ou aucun : la fonction \(x\mapsto x^2+4\) n’en a pas. Pour une expression factorisée, la propriété du produit nul est précieuse : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de résoudre \(f(x)=0\), de trouver quand une quantité s’annule ou les points d’intersection avec l’axe des abscisses.
- La courbe traverse ou effleure l’axe horizontal en des points repérables.
- L’expression est un produit de facteurs du premier degré, ce qui facilite la recherche.
- Pour étudier le signe, il faut d’abord savoir où la fonction s’annule.
La méthode
- Pour trouver un zéro d’une fonction, écrire l’équation \(f(x)=0\) à résoudre.
- Si l’expression est un produit, annuler chaque facteur séparément (équation produit nul).
- Si elle est une différence de carrés ou possède un facteur commun, factoriser d’abord.
- Garder les solutions qui appartiennent à l’ensemble de définition et vérifier en remplaçant dans \(f\).
Zéro d'une fonction : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer les zéros de \(f(x)=(2x-5)(x+4)\) et de \(g(x)=x^2-81\). La fonction \(h(x)=x^2+4\) en possède-t-elle ?
Corrigé
Pour \(f\), un produit est nul si un facteur l’est : \(2x-5=0\) donne \(x=2{,}5\) et \(x+4=0\) donne \(x=-4\). Les zéros sont \(-4\) et \(2{,}5\).
Pour \(g\), \(x^2-81=(x-9)(x+9)\), d’où \(x=9\) ou \(x=-9\). Enfin \(x^2+4\ge 4\) ne s’annule jamais : \(h\) n’a aucun zéro.
À toi de jouer
Question 1
Quels sont les zéros de \(k(x)=x(x-7)\) ?
Voir la réponse
\(x=0\) ou \(x-7=0\), donc les zéros sont \(0\) et \(7\).
Question 2
Peut-on affirmer que \(3\) est un zéro de \(m(x)=x^2-2x-3\) ?
Voir la réponse
\(m(3)=9-6-3=0\) : oui, \(3\) est un zéro de \(m\).
Ne pas confondre Zéro d'une fonction et Ordonnée à l'origine
Un zéro est une abscisse : l’endroit où la courbe rencontre l’axe horizontal, caractérisé par \(f(x)=0\). L’ordonnée à l’origine est une ordonnée : l’endroit où la courbe rencontre l’axe vertical, donnée par \(f(0)\). Une fonction peut avoir plusieurs zéros mais une seule ordonnée à l’origine.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Signe d'une fonction
- Tableau de signes
- Équation produit nul
- Solution d'une équation
- Courbe représentative
- Ordonnée à l'origine
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