Signe d’une fonction
En bref : Le signe d’une fonction indique pour quels réels x l’image f(x) est positive, négative ou nulle ; sur la courbe, il se lit selon que celle-ci passe au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses.
SecondeFonctions
Définition : Signe d'une fonction
Étudier le signe d’une fonction \(f\), c’est dire, pour chaque réel \(x\) de son ensemble de définition, si \(f(x)\) est strictement positif, strictement négatif ou nul. Graphiquement, une image positive correspond à un point de la courbe au-dessus de l’axe horizontal, une image négative à un point en dessous.
Les valeurs de \(x\) où l’image s’annule sont les zéros de la fonction : ce sont les seuls endroits où le signe peut changer. Entre deux zéros consécutifs, le signe est constant. On présente le résultat dans un tableau de signes ou sous la forme d’intervalles.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de résoudre \(f(x)\ge 0\), \(f(x)<0\) ou de préciser quand une quantité est positive.
- On lit sur une courbe les intervalles où elle est située au-dessus ou en dessous de l’axe des abscisses.
- Une fonction s’écrit comme un produit de facteurs du premier degré.
- On cherche quand un bénéfice, une température ou une altitude passe du négatif au positif.
La méthode
- Pour étudier le signe d’une fonction, chercher ses zéros : les valeurs de \(x\) qui annulent chaque facteur.
- Placer ces valeurs dans l’ordre croissant : elles découpent l’axe en plusieurs intervalles.
- Pour chaque intervalle, tester une valeur simple ou appliquer la règle des signes pour trouver le signe.
- Conclure en écrivant les intervalles où la fonction est positive, négative ou nulle.
Signe d'une fonction : exemple corrigé
Énoncé
Donner le signe de \(f(x)=(x+2)(x-5)\) selon les valeurs de \(x\), puis résoudre \(f(x)\le 0\).
Corrigé
Les zéros sont \(-2\) et \(5\). Ils délimitent trois intervalles. Pour \(x=-3\), \(f(-3)=(-1)\times(-8)=8\), positif. Pour \(x=0\), \(f(0)=2\times(-5)=-10\), négatif. Pour \(x=6\), \(f(6)=8\times 1=8\), positif.
Donc \(f\) est positive sur \(]-\infty\,;\,-2[\) et sur \(]5\,;\,+\infty[\), négative sur \(]-2\,;\,5[\). Les solutions de \(f(x)\le 0\) comprennent les zéros : \([-2\,;\,5]\).
À toi de jouer
Question 1
Pour quelles valeurs de \(x\) la fonction \(g(x)=-3x+12\) est-elle positive ?
Voir la réponse
\(-3x+12\ge 0\) donne \(x\le 4\). Elle est positive ou nulle sur \(]-\infty\,;\,4]\).
Question 2
Quel est le signe de \(h(x)=x^2+1\) ?
Voir la réponse
Un carré est positif ou nul, donc \(x^2+1\ge 1\) : \(h(x)\) est strictement positif pour tout réel \(x\).
Ne pas confondre Signe d'une fonction et Zéro d'une fonction
Un zéro est un point précis, une valeur de \(x\) où \(f(x)=0\). Le signe est une propriété de tout un intervalle : positive ici, négative là. Les zéros servent de frontières, puisque le signe ne peut changer qu’en passant par eux, mais une fonction peut aussi toucher zéro sans changer de signe.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Zéro d'une fonction
- Tableau de signes
- Inéquation
- Ensemble de définition
- Fonction affine
- Courbe représentative
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