Inéquation
En bref : Une inéquation est une comparaison entre deux expressions contenant une inconnue, avec un signe d’inégalité ; la résoudre consiste à chercher l’ensemble des valeurs de l’inconnue pour lesquelles la comparaison est exacte.
3èmeCalcul littéral
Définition : Inéquation
Une inéquation ressemble à une équation, mais le signe égal est remplacé par un signe de comparaison : \(\le\), \(\ge\), « inférieur à » ou « supérieur à ». Par exemple, \(5 – 3x > 17\).
Son ensemble de solutions n’est presque jamais un seul nombre : c’est un intervalle entier de valeurs, comme « tous les nombres plus petits que \(-4\) ». Pour la résoudre on isole l’inconnue avec les mêmes opérations que pour une équation, avec une règle de plus à ne jamais oublier : dès que l’on multiplie ou que l’on divise par un nombre négatif, le signe se retourne.
Comment le reconnaître
- L’énoncé contient « au moins », « au plus », « strictement plus que » ou « ne doit pas dépasser ».
- Un budget ou un seuil est donné et l’on demande à partir de combien de séances ou de kilomètres une offre devient avantageuse.
- Une consigne demande de résoudre une relation avec un signe \(\le\) ou \(\ge\) et de représenter la réponse.
- On compare deux tarifs écrits sous forme affine et l’on cherche quand l’un dépasse l’autre.
La méthode
- Rassembler les termes en \(x\) à gauche et les constantes à droite, en changeant le signe de chaque terme qui passe de l’autre côté.
- Réduire chaque membre pour obtenir une forme comme \(-3x > 12\).
- Diviser par le coefficient de \(x\) ; si ce coefficient est négatif, retourner le signe d’inégalité.
- Écrire l’ensemble des solutions et le placer sur une droite graduée, avec un cercle ouvert pour une borne exclue.
Inéquation : exemple corrigé
Énoncé
Résoudre l’inéquation \(5 – 3x > 17\), puis vérifier avec \(x = -5\).
Corrigé
On retranche 5 aux deux membres : \(-3x > 12\).
On divise par \(-3\), nombre négatif : le sens change, donc \(x < -4\).
Contrôle avec \(x = -5\) : \(5 – 3 \times (-5) = 5 + 15 = 20\), et \(20 > 17\) est vrai. L’ensemble des solutions est tous les nombres strictement inférieurs à \(-4\).
À toi de jouer
Question 1
Résoudre \(3x + 4 \ge 19\).
Voir la réponse
\(3x \ge 15\), puis \(x \ge 5\). On divise par un nombre positif : le sens ne change pas.
Question 2
Résoudre \(-2x < 10\).
Voir la réponse
On divise par \(-2\) et l’on retourne le signe : \(x > -5\).
Ne pas confondre Inéquation et Équation
Une équation a en général une ou deux solutions isolées : \(2x = 8\) donne seulement \(x = 4\). Une inéquation en a une infinité : \(2x \le 8\) est vraie pour 4, mais aussi pour 3, 0, \(-17\) et tous les nombres plus petits. De plus, le changement de sens après une division par un négatif n’existe pas pour les équations.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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