Système d’équations
En bref : Un système d’équations est un ensemble de deux équations portant sur les mêmes inconnues, que l’on doit vérifier en même temps ; sa solution est un couple de nombres.
3èmeCalcul littéral
Définition : Système d'équations
Un système d’équations à deux inconnues \(x\) et \(y\) regroupe deux équations qui doivent être vraies simultanément, comme \(3x + 2y = 7{,}1\) et \(2x + 4y = 9{,}4\). Sa solution est un couple \((x\,;\,y)\) qui rend les deux égalités exactes.
Graphiquement, chaque équation est une droite et la solution correspond à leur point d’intersection. Trois cas existent : les droites se croisent (une seule solution), elles sont parallèles (aucune solution) ou elles sont confondues (une infinité). On résout par substitution, ou par combinaison en additionnant ou soustrayant les équations pour éliminer une inconnue.
Comment le reconnaître
- Un problème fait intervenir deux quantités inconnues et deux renseignements, comme deux achats différents au même marché.
- Les mots « à la fois » ou « en même temps » relient deux conditions sur les mêmes nombres.
- Deux droites sont tracées et l’on cherche leur point commun.
- L’énoncé fournit déjà deux équations avec les lettres \(x\) et \(y\) et demande le couple solution.
La méthode
- Mettre le problème en système d’équations : choisir deux inconnues et traduire chaque phrase par une égalité.
- Multiplier au besoin une ou deux équations pour que les coefficients d’une même inconnue soient égaux.
- Soustraire ou additionner les équations pour éliminer cette inconnue, puis résoudre l’équation restante.
- Reporter la valeur trouvée dans une équation pour obtenir l’autre inconnue, puis vérifier dans les deux.
Système d'équations : exemple corrigé
Énoncé
Au marché, 3 pains et 2 brioches coûtent \(7{,}10\) € ; 2 pains et 4 brioches coûtent \(9{,}40\) €. Quel est le prix d’un pain \(x\) et d’une brioche \(y\) ?
Corrigé
Le système est \(3x + 2y = 7{,}1\) et \(2x + 4y = 9{,}4\). On multiplie la première équation par 2 : \(6x + 4y = 14{,}2\).
On soustrait la seconde : \(4x = 14{,}2 – 9{,}4 = 4{,}8\), donc \(x = 1{,}2\). Puis \(2y = 7{,}1 – 3{,}6 = 3{,}5\), donc \(y = 1{,}75\).
Vérification : \(2 \times 1{,}2 + 4 \times 1{,}75 = 2{,}4 + 7 = 9{,}4\). Un pain coûte 1,20 € et une brioche 1,75 €.
À toi de jouer
Question 1
Résoudre le système d’équations \(x + y = 10\) et \(x – y = 4\).
Voir la réponse
En additionnant : \(2x = 14\), donc \(x = 7\) ; puis \(y = 10 – 7 = 3\). Le couple est \((7\,;\,3)\).
Question 2
Combien de solutions a le système \(x + y = 5\) et \(2x + 2y = 12\) ?
Voir la réponse
Aucune : la seconde équation équivaut à \(x + y = 6\), incompatible avec \(x + y = 5\). Les droites sont parallèles.
Ne pas confondre Système d'équations et Équation
Une équation à une inconnue se résout avec une seule condition et donne un nombre. Un système d’équations exige deux conditions simultanées sur deux inconnues et donne un couple. Une seule équation à deux inconnues, comme \(x + y = 10\), a une infinité de solutions et ne suffit donc pas.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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