Factoriser
En bref : Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit en mettant en évidence le facteur qu’ils ont en commun, sans changer la valeur de l’expression.
4èmeCalcul littéral
Définition : Factoriser
Pour factoriser une expression comme \(3x + 6\), on cherche ce que ses termes ont en commun : ici \(3\) divise \(3x\) comme \(6\). On le place devant une parenthèse qui contient ce qui reste : \(3(x + 2)\).
Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou les deux, comme \(5a\) dans \(10a^2 + 5a\). La factorisation est la lecture « à l’envers » de la distributivité. Elle sert à simplifier, à résoudre des équations et à repérer des valeurs qui annulent une expression.
Comment le reconnaître
- Une somme ou une différence dont tous les termes se divisent par un même nombre ou une même lettre.
- L’énoncé demande d’écrire une expression « sous la forme d’un produit ».
- Un résultat doit être mis sous une forme plus compacte avant de poursuivre un calcul.
- On cherche à vérifier qu’une expression est un multiple d’un nombre donné.
La méthode
- Repérer le plus grand facteur qui divise chaque terme : nombre, lettre, ou les deux.
- Écrire ce facteur devant une parenthèse.
- Dans la parenthèse, placer le quotient de chaque terme par le facteur, avec son signe.
- Vérifier en développant : on doit retrouver l’expression de départ.
Factoriser : exemple corrigé
Énoncé
Factoriser \(A = 8x + 20\) puis \(B = 7y^2 – 14y\), et vérifier le résultat de \(A\) en développant.
Corrigé
Pour \(A\) : \(8\) et \(20\) sont tous deux des multiples de \(4\). Donc \(A = 4 \times 2x + 4 \times 5 = 4(2x + 5)\).
Pour \(B\) : le facteur commun est \(7y\), car \(7y^2 = 7y \times y\) et \(14y = 7y \times 2\). Donc \(B = 7y(y – 2)\). Vérification pour \(A\) : \(4(2x + 5) = 8x + 20\), c’est bien l’expression de départ.
À toi de jouer
Question 1
Factoriser \(9a + 12\).
Voir la réponse
Le facteur commun est \(3\) : \(9a + 12 = 3(3a + 4)\).
Question 2
Développer \(5(x – 2)\) pour montrer que \(5x – 10 = 5(x – 2)\).
Voir la réponse
\(5 \times x + 5 \times (-2) = 5x – 10\) : l’égalité est vraie.
Ne pas confondre Factoriser et Développer
Les deux opérations sont inverses. Développer transforme un produit en somme en distribuant : \(4(2x + 5) \to 8x + 20\). Factoriser fait le trajet retour, d’une somme vers un produit. Le test de sécurité est de repasser par l’autre opération pour retomber sur l’expression de départ.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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