Développer
En bref : Développer, c’est transformer un produit en une somme de termes en distribuant chaque facteur sur tous les termes d’une parenthèse, sans que la valeur de l’expression change.
4èmeCalcul littéral
Définition : Développer
Pour développer une expression, on supprime les parenthèses d’un produit en multipliant chaque terme de l’une par chaque terme de l’autre. Le produit \(k(a + b)\) devient la somme \(ka + kb\) : c’est la distributivité simple.
Avec deux parenthèses, on distribue deux fois : \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\). Il y a donc quatre produits à écrire avant de réduire. Le résultat est égal à l’expression de départ pour toutes les valeurs des lettres, mais il se présente sous forme de somme, souvent plus pratique pour calculer ou comparer.
Comment le reconnaître
- Une parenthèse est précédée d’un nombre ou d’une lettre, sans signe d’opération visible.
- L’énoncé demande de « supprimer les parenthèses » ou d’écrire l’expression sous forme de somme.
- Deux parenthèses sont accolées : \((x + 3)(x + 5)\).
- On compare deux écritures pour savoir si elles sont égales.
La méthode
- Repérer chaque terme de la première parenthèse, ou le facteur devant la parenthèse.
- Multiplier ce facteur par chacun des termes de la seconde, en gardant leurs signes.
- Écrire tous les produits sous forme de somme.
- Réduire la somme obtenue en regroupant les termes de même nature.
Développer : exemple corrigé
Énoncé
Développer et réduire \(A = 5(2x – 7)\) puis \(B = (x + 4)(x – 3)\).
Corrigé
Pour \(A\) : \(5 \times 2x = 10x\) et \(5 \times (-7) = -35\). Donc \(A = 10x – 35\).
Pour \(B\) : \(x \times x = x^2\), \(x \times (-3) = -3x\), \(4 \times x = 4x\) et \(4 \times (-3) = -12\). On additionne : \(B = x^2 – 3x + 4x – 12\), puis on réduit : \(B = x^2 + x – 12\). Test avec \(x = 2\) : \((6)(-1) = -6\) et \(4 + 2 – 12 = -6\).
À toi de jouer
Question 1
Développer \(7(a + 2)\).
Voir la réponse
\(7 \times a + 7 \times 2 = 7a + 14\).
Question 2
Développer et réduire \((y + 1)(y + 6)\).
Voir la réponse
\(y^2 + 6y + y + 6 = y^2 + 7y + 6\).
Ne pas confondre Développer et Factoriser
Ces deux opérations sont inverses l’une de l’autre. Développer passe d’un produit à une somme : \(3(x + 2) \to 3x + 6\). Factoriser fait le chemin inverse, de la somme au produit : \(3x + 6 \to 3(x + 2)\). Les deux écritures sont égales ; seul leur usage change.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Factoriser
- Distributivité
- Réduire une expression
- Expression littérale
- Identité remarquable
- Terme d'une expression
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