Distributivité
En bref : La distributivité est la propriété qui permet de multiplier un nombre par une somme ou une différence en le multipliant par chaque terme : k × (a + b) = k × a + k × b.
5èmeNombres et calculs
Définition : Distributivité
La distributivité de la multiplication sur l’addition permet de « distribuer » un facteur à chacun des termes d’une somme entre parenthèses. On écrit \(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\), et la même règle vaut pour la soustraction : \(k \times (a – b) = k \times a – k \times b\).
On peut l’utiliser dans les deux sens. De gauche à droite, on développe ; de droite à gauche, on factorise. Elle sert au calcul mental : \(6 \times 98 = 6 \times (100 – 2) = 600 – 12 = 588\). Elle s’applique aussi aux lettres : \(3 \times (x + 4) = 3x + 12\).
Comment le reconnaître
- Un facteur est placé devant une parenthèse qui contient une somme ou une différence.
- On veut calculer de tête une multiplication avec un nombre voisin d’un nombre rond, comme \(98\) ou \(102\).
- L’énoncé demande de développer une expression avec une lettre.
- L’aire d’un rectangle est partagée en deux rectangles qui se touchent.
La méthode
- Repérer le facteur placé devant la parenthèse et les termes qu’elle contient.
- Multiplier ce facteur par le premier terme, puis par le second, en gardant les signes.
- Additionner ou soustraire les deux produits obtenus selon l’opération de départ.
- Vérifier en calculant les deux écritures avec une valeur simple.
Distributivité : exemple corrigé
Énoncé
Calculer de tête \(7 \times 23\) en séparant \(23\) en deux termes, puis \(6 \times 98\) en utilisant une différence.
Corrigé
On écrit \(23 = 20 + 3\) : \(7 \times 23 = 7 \times 20 + 7 \times 3 = 140 + 21 = 161\).
Pour le second, \(98 = 100 – 2\) : \(6 \times 98 = 6 \times 100 – 6 \times 2 = 600 – 12 = 588\). Les résultats sont 161 et 588.
À toi de jouer
Question 1
Développer \(3 \times (x + 4)\).
Voir la réponse
\(3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12\).
Question 2
Calculer astucieusement \(15 \times 102\).
Voir la réponse
\(15 \times (100 + 2) = 1500 + 30 = 1530\).
Ne pas confondre Distributivité et Calcul littéral
Le calcul littéral est tout le travail sur les expressions avec des lettres. La distributivité n’en est qu’une règle parmi d’autres : elle indique comment transformer un produit avec une parenthèse en somme de produits. On ne l’applique que lorsque la parenthèse contient une somme ou une différence.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 5ème · Nombres et calculs
