Identité remarquable
En bref : Une identité remarquable est une égalité toujours vraie qui permet de développer ou de factoriser sans passer par la double distributivité ; il en existe trois à connaître.
3èmeCalcul littéral
Définition : Identité remarquable
Une identité remarquable est une égalité vraie pour tous les nombres \(a\) et \(b\), que l’on reconnaît par sa forme. Trois sont au programme :
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \qquad (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\]
Chaque identité remarquable se lit dans les deux sens : de gauche à droite elle sert à développer vite. Lues de droite à gauche, elles servent à factoriser. Le double produit \(2ab\) est l’oubli classique : \((a+b)^2\) n’est pas égal à \(a^2 + b^2\).
Comment le reconnaître
- Une expression contient un carré de parenthèse, comme \((3x+5)^2\), à développer.
- Une somme de trois termes avec deux carrés et un double produit, comme \(x^2 – 14x + 49\), est à factoriser.
- Une différence de deux carrés, comme \(16x^2 – 25\), apparaît dans une équation ou une factorisation.
- Un calcul mental de grand carré, comme \(997^2\), devient possible en écrivant le nombre près d’un multiple de 100.
La méthode
- Identifier la forme : carré d’une somme, carré d’une différence ou produit somme par différence.
- Nommer \(a\) et \(b\) : ce sont les deux termes, avec leurs coefficients (par exemple \(a = 3x\) et \(b = 5\)).
- Remplacer \(a\) et \(b\) dans la formule, sans oublier le double produit \(2ab\) quand il existe.
- Réduire le résultat et contrôler avec une valeur simple de \(x\), comme \(x=1\).
Identité remarquable : exemple corrigé
Énoncé
Développer \((3x+5)^2\), puis calculer mentalement \(997^2\) en écrivant \(997 = 1000 – 3\).
Corrigé
Avec \(a = 3x\) et \(b = 5\) : \((3x+5)^2 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25\).
Pour \(997^2\), on utilise \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) avec \(a = 1000\) et \(b = 3\) : \(1\,000\,000 – 6\,000 + 9\).
On obtient \(994\,009\).
À toi de jouer
Question 1
Développer \((x-7)^2\).
Voir la réponse
\(x^2 – 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 – 14x + 49\).
Question 2
Factoriser \(16x^2 – 25\).
Voir la réponse
C’est \((4x)^2 – 5^2\), donc \((4x-5)(4x+5)\).
Ne pas confondre Identité remarquable et Distributivité
La distributivité est la règle générale \(k(a+b) = ka + kb\), qui sert à développer n’importe quel produit. Une identité remarquable est un raccourci : elles donnent directement le résultat de trois produits très fréquents, sans refaire la double distributivité chaque fois.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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