Tableau de variation
En bref : Un tableau de variation résume le comportement d’une fonction : une ligne pour les valeurs de x, une autre avec des flèches montantes ou descendantes et les images aux points où le sens change.
SecondeFonctions
Définition : Tableau de variation
Un tableau de variation est une synthèse de la courbe d’une fonction sous forme de tableau à deux lignes. Sur la première, on range les valeurs de \(x\) où la fonction change de sens, avec les bornes de l’intervalle. Sur la seconde, des flèches montrent si la fonction est croissante (flèche vers le haut) ou décroissante (flèche vers le bas).
Aux extrémités de chaque flèche, on écrit l’image correspondante. Le tableau permet de lire en un coup d’œil les extrema, de comparer des images et de savoir combien de fois une valeur est atteinte. Il ne donne pas la forme précise de la courbe, seulement ses montées et ses descentes.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande les variations d’une fonction, ses extrema, ou de justifier un sens de variation.
- On voit une grille avec des flèches obliques et des nombres aux sommets de ces flèches.
- Il faut compter combien de fois l’équation \(f(x)=k\) possède une solution.
- On veut comparer deux images sans connaître l’expression de la fonction.
La méthode
- Pour dresser un tableau de variation, placer sur la première ligne les bornes et les valeurs où le sens change.
- Dessiner entre elles une flèche montante pour une croissance, descendante pour une décroissance.
- Écrire au bout de chaque flèche l’image de la valeur de \(x\) correspondante.
- Pour lire une information, suivre les flèches : le plus haut nombre donne le maximum, le plus bas le minimum.
Tableau de variation : exemple corrigé
Énoncé
On lit le tableau de variation ci-dessus d’une fonction \(f\) définie sur \([-2\,;\,7]\). Donner son maximum et son minimum, le nombre de solutions de \(f(x)=2\), et comparer \(f(2)\) et \(f(3)\).
Corrigé
Les valeurs extrêmes sont les images aux bornes ou aux changements de sens : \(-3\), \(5\), \(0\) et \(6\). Le maximum est \(6\) en \(x=7\) et le minimum \(-3\) en \(x=-2\).
La valeur \(2\) est comprise entre \(-3\) et \(5\), entre \(5\) et \(0\), et entre \(0\) et \(6\) : chaque flèche la traverse une fois, d’où trois solutions. Enfin \(2<3\) sur un intervalle où \(f\) décroît, donc \(f(2)>f(3)\).
À toi de jouer
Question 1
Dresser le tableau de variation de \(f(x)=-2x+3\) sur \([-1\,;\,4]\).
Voir la réponse
Le coefficient \(-2\) est négatif : une seule flèche descendante, de \(f(-1)=5\) à \(f(4)=-5\).
Question 2
Une fonction part de \(1\) en \(x=0\), monte jusqu’à \(7\) en \(x=3\), puis descend jusqu’à \(2\) en \(x=8\). Quel est son maximum ?
Voir la réponse
Le maximum est \(7\), atteint en \(x=3\), au sommet entre la flèche montante et la flèche descendante.
Ne pas confondre Tableau de variation et Tableau de signes
Dans un tableau de variation, on lit où la fonction monte et descend ; ce sont les flèches qui comptent, et les nombres sont des images. Dans un tableau de signes, on lit si l’image est positive ou négative ; ce sont les symboles plus et moins qui comptent. Les deux outils répondent à des questions différentes.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Variations d'une fonction
- Fonction croissante
- Fonction décroissante
- Extremum
- Courbe représentative
- Tableau de signes
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