Fonction décroissante
En bref : Une fonction décroissante sur un intervalle renverse l’ordre : plus le nombre de départ augmente, plus son image diminue (ou reste égale), sans jamais augmenter.
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Définition : Fonction décroissante
Une fonction décroissante sur un intervalle \(I\) est une fonction qui inverse l’ordre : pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a < b\), on a \(f(a) \ge f(b)\). Si l'inégalité est stricte, \(f(a) > f(b)\), la décroissance est dite stricte.
Sur la représentation graphique, la courbe descend quand on la lit de gauche à droite. Dans le tableau de variations, la flèche pointe vers le bas. Comme pour la croissance, la propriété dépend de l’intervalle choisi : la fonction inverse \(x \mapsto \frac{1}{x}\) décroît sur \(]0\,;\,+\infty[\) et aussi sur \(]-\infty\,;\,0[\), mais pas sur l’ensemble des deux réunis.
Comment le reconnaître
- La courbe descend quand on avance de gauche à droite sur l’intervalle étudié.
- Dans le tableau de variations, une flèche descendante relie deux valeurs de \(x\).
- Une grandeur diminue quand l’autre augmente : le temps de trajet diminue quand la vitesse augmente.
- L’énoncé demande de comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) en sachant que \(a\) est plus petit que \(b\), et le résultat attendu est \(f(a)\) plus grand que \(f(b)\).
La méthode
- Choisir deux réels \(a\) et \(b\) de l’intervalle avec \(a < b\).
- Calculer \(f(a) – f(b)\) (et non \(f(b) – f(a)\)), le réduire au même dénominateur et le factoriser.
- Si cette différence est positive pour tous les couples, l’image diminue : la fonction est décroissante sur l’intervalle.
- Rédiger la conclusion en précisant l’intervalle et le caractère strict.
Fonction décroissante : exemple corrigé
Énoncé
Démontrer que la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{1}{x}\) est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Corrigé
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 < a < b\). On calcule \(f(a) - f(b) = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}\).
Le numérateur \(b – a\) est strictement positif, et le dénominateur \(ab\) aussi, car \(a\) et \(b\) sont positifs.
Donc \(f(a) > f(b)\) : la fonction inverse est strictement décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
À toi de jouer
Question 1
La fonction \(k(x) = -3x + 1\) est-elle décroissante sur \(\mathbb{R}\) ?
Voir la réponse
Oui : \(k(a) – k(b) = -3(a – b) = 3(b – a)\), positif quand \(a < b\). Son coefficient est négatif.
Question 2
On sait que \(f(1) = 5\) et \(f(4) = 2\). Peut-on affirmer que \(f\) est décroissante sur \([1\,;\,4]\) ?
Voir la réponse
Non : deux valeurs ne suffisent pas. La fonction pourrait monter puis redescendre entre 1 et 4.
Ne pas confondre Fonction décroissante et Fonction croissante
Une fonction décroissante renverse l’ordre : \(a \lt b\) donne \(f(a) \ge f(b)\). Une fonction croissante le conserve. Attention : décroissante ne signifie pas négative. La fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) reste positive sur \(]0\,;\,+\infty[\) tout en diminuant.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction croissante
- Fonction monotone
- Variations d'une fonction
- Tableau de variation
- Fonction inverse
- Extremum
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